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1、努力学习，报效祖国！8-3 8-3 用叠加法计算梁的变形及用叠加法计算梁的变形及梁的刚度计算梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下提下, ,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷几个载荷共同作用共同作用下在某截面上引起的变形，下在某截面上引起的变形，则可则可分别计算分别计算各个载荷单独作用下的变形，然各个载荷单独作
2、用下的变形，然后后叠加叠加。 例例8-38-3如图用叠加法求如图用叠加法求解：解：1.求各载荷产生的位移求各载荷产生的位移2.将同点的位移叠加将同点的位移叠加=+ 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面所示简支梁的跨中截面的挠度的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A 及及 B。已知。已知EI为为常量。常量。例题例题 5-4为了能利用简单荷载作用为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，下梁的挠度和转角公式，将图将图a所示荷载视为与跨所示荷载视为与跨中截面中截面C正对称和反对称正对称和反对称荷载的叠加荷载的叠加(图图b)。例题例题 5-4解解: 在集度为在集度为q/
3、2的正对称均的正对称均布荷载作用下，查有关梁的布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得挠度和转角的公式，得C A1 B1wC例题例题 5-4注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分别视为受分别视为受集度为集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得查有关梁的挠度和转角的公式得 在集度为在集度为q/2的反对称均布的反对称均
4、布荷载作用下，由于挠曲线也是荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有与跨中截面反对称的，故有C A2 B2例题例题 5-4按叠加原理得按叠加原理得例题例题 5-4 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的转角的转角 B，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。已知。已知EI为常量。为常量。例题例题 5-5 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图图b)和简支梁和简支梁BC(图图c)所组成。所组成。 和弯矩和弯矩 应当作为应当作为外力和外力
5、偶矩施加在悬臂梁和简支梁的外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，截面处，它们的指向和转向如图它们的指向和转向如图b及图及图c所示。所示。例题例题 5-5解解: 图图c中所示简支梁中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况的受力情况以及约束情况与原外伸梁与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁段完全相同，注意到简支梁B支座处支座处的外力的外力2qa将直接传递给支座将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。，而不会引起弯曲。简支梁简支梁BC，由，由q产生的产生的 Bq 、wDq(图图d)，由，由MB产生的产生的 BM 、wDM (图图e)。可查有关式，将它们分别叠加后。可查有关式，将它们分别叠加后可得
6、可得 B、wD，它们也是外伸梁的，它们也是外伸梁的 B和和wD。例题例题 5-5例题例题 5-5 图图b所示悬臂梁所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，截面是可以转动的，其转角就是上面求得的其转角就是上面求得的 B，由此引起的，由此引起的A端挠度端挠度w1=| B|a，应叠加到图，应叠加到图b所示悬臂梁的所示悬臂梁的A端挠度端挠度w2上去上去, ,才是原外伸梁的才是原外伸梁的A端挠度端挠度wA例题例题 5-5逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：AB AB BC BC变形后变形后AB部分为曲线，部分为曲线，B
7、C部分为直线。部分为直线。C点的位移为：wc例：求外伸梁例：求外伸梁C点的位移。点的位移。LaCABP解：将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP刚化EI=PCfc11）BC部分引起的位移fc1、 c1c12）AB部分引起的位移fc2、 c2CABP刚化EI=fc2B2PPaB2例例8-4 欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P与与q的关系。的关系。解：解：例例8-5 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。解解:例例8-6求图示梁求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 wB、 wD 。解：解： 例例8-78-7求图示梁求图示梁C C点的挠
8、度点的挠度 w wC C。解：解：三三. . 梁的刚度条件梁的刚度条件 例例8-88-8图示工字钢梁，图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3， w/l = 1500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷的刚度条件，确定梁的许可载荷 P P，并校核强度。，并校核强度。刚度条件：刚度条件：w、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。件正常工作时的要求。CL9TU40机械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000机械：0.0050.001radP解：由刚度条件解
9、：由刚度条件 图图a所示简支梁由两根槽钢组成所示简支梁由两根槽钢组成( (图图b) )，试按，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知 =170 MPa， =100 MPa，E=210 GPa， 。例题例题 5-7 一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条
10、件不满足，应适当增加横截面尺寸。度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。例题例题 5-7解解:1. 按正应力强度条件选择槽钢型号按正应力强度条件选择槽钢型号 梁的剪力图和弯矩梁的剪力图和弯矩图分别如图图分别如图c和图和图e所所示。最大弯矩为示。最大弯矩为Mmax=62.4 kNm。梁。梁所需的弯曲截面系数所需的弯曲截面系数为为例题例题 5-7 而每根槽钢所需的弯曲截面系数而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz36710-6 m3/2=183.510-6 m3=183.5 cm3。由型钢表查得。由型钢表查得20a号槽钢其号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的，虽略小于所需的Wz= 183.5 cm
11、3，但，但所以可取所以可取20a号槽钢。号槽钢。例题例题 5-72. 按切应力强度条件校核按切应力强度条件校核 图图c最大剪力最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最。每根槽钢承受的最大剪力为大剪力为例题例题 5-7 Sz,max 为为20a号槽钢的中性轴号槽钢的中性轴z以下以下半个横截面的面积对中性轴半个横截面的面积对中性轴z的静的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图图d)可计算如下：可计算如下：z例题例题 5-7当然，当然， 的值也可按下式得出：的值也可按下式得出： 每根每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为得为 I
12、z =1780.4 cm4 1780cm4例题例题 5-7 故故20a号槽钢满足切应力强度条件。号槽钢满足切应力强度条件。于是于是例题例题 5-73. 校核梁的刚度条件校核梁的刚度条件 如图如图a，跨中点，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得由叠加原理可得例题例题 5-7梁的许可挠度为梁的许可挠度为由于由于因此，所选用的槽钢满足刚度条件。因此，所选用的槽钢满足刚度条件。例题例题 5-7四四. . 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状
13、和情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI；二、减小跨度二、减小跨度L或增加支承降低弯矩或增加支承降低弯矩M；三、改变加载方式和支承方式、位置等。三、改变加载方式和支承方式、位置等。8-5 8-5 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能一一. .梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能1.纯弯曲：纯弯曲：2.横力弯曲：横力弯曲：W二二. .小结小结：1 1、杆件变形能在数值上等于变形过程中、杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功。外力所
14、做的功。V=W2 2、线弹性范围内，若外力从、线弹性范围内，若外力从0 0缓慢的增加到缓慢的增加到最终值：最终值：其中：其中：P-P-广义力广义力 -广义位移广义位移拉、压：拉、压：扭转：扭转：弯曲：弯曲： 例例8-128-12试求图示悬臂梁的变形能，并试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端利用功能原理求自由端B B的挠度。的挠度。解：解：8-4 8-4 用比较变形用比较变形法解超静定梁法解超静定梁一一. . 静不定梁的基本概念静不定梁的基本概念 二二. .变形比较法解静不定梁变形比较法解静不定梁用多余反力代替多余约用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上束，就得到一个形式上的静定梁，
15、该梁称为原的静定梁，该梁称为原静不定梁的静不定梁的相当系统相当系统，又称又称静定基静定基。梁的约束个数多于独立梁的约束个数多于独立静力平衡方程的个数。静力平衡方程的个数。 解：将支座解：将支座B B看成多看成多余约束，变形协调条件为：余约束，变形协调条件为：三三. .用变形比较法解静不定梁的步骤用变形比较法解静不定梁的步骤 （1 1）选取基本静定结构（静定基如图），）选取基本静定结构（静定基如图），B端端解除多余约束，代之以约束反力；解除多余约束，代之以约束反力； （2 2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约）求静定基仅在原有外力作用下于解除约束处产生的位移；束处产生的位移； （4 4）比较两
16、次计算的变形量，其值应该满足）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。变形相容条件，建立方程求解。 （3 3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移；约束处的位移；6-4 简单超静定梁简单超静定梁.超静定梁的解法超静定梁的解法 解超静定梁的基本解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问思路与解拉压超静定问题相同。求解图题相同。求解图a所示一所示一次超静定梁时可以铰支次超静定梁时可以铰支座座B为为“多余多余”约束，约束，以以约束力约束力FB为为“多余多余”未知力。解除未知力。解除“多余多余”约束后的基本静定系为约束后的基本静定系为A
17、端固定的悬臂梁。端固定的悬臂梁。基本静定系基本静定系基本静定系在原有均布基本静定系在原有均布荷载荷载q和和“多余多余”未知未知力力FB作用下作用下( (图图b) )当满当满足位移相容条件足位移相容条件( (参见参见图图c、d) ) 时该系统即为原超静定时该系统即为原超静定梁的相当系统。梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系关系(参见教材中的附录参见教材中的附录)所得的补充方程为所得的补充方程为从而解得从而解得“多余多余”未知力未知力所得所得FB为正值表示原来为正值表示原来假设的指向假设的指向( (向上向上) )正确。正确。固定端的
18、两个固定端的两个约束力约束力利利用相当系统由静力平衡用相当系统由静力平衡条件求得为条件求得为该超静定梁的剪力图和该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系弯矩图亦可利用相当系统求得，如图统求得，如图所示所示。思考思考 1. . 该梁的反弯该梁的反弯点点( (弯矩变换正负号弯矩变换正负号的点的点) )距梁的左端的距梁的左端的距离为多少？距离为多少？ 2. . 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？如何求解？ 例例8-108-10为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁ABAB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求：相
19、同，试求：二梁接触处的压力二梁接触处的压力解：解除约束代之以解：解除约束代之以约束反力约束反力变形协调条件为：变形协调条件为： 例例8-118-11梁梁ABC由由AB、BC两段组成，两段梁的两段组成，两段梁的EI相同。相同。试绘制剪力图与弯矩图。试绘制剪力图与弯矩图。解：变形协调解：变形协调条件为：条件为： 试求图试求图a所示结构中所示结构中AD杆内的拉力杆内的拉力FN。梁。梁AC和杆和杆AD的材料相同，弹性模量为的材料相同，弹性模量为E； AD杆的横截杆的横截面积为面积为A，AC梁的横截面对中性轴的惯性矩为梁的横截面对中性轴的惯性矩为I 。例题例题 6-71.梁梁AC共有三个未知力共有三个未
20、知力( (图图b) )FN，FB，FC ，但平面，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。例题例题 6-7解：解： 2. 把把AD杆视为梁杆视为梁AC的的“多余多余”约束，相应的约束，相应的“多多余余”未知力为未知力为FN。位移。位移(变形变形)相容条件为梁的相容条件为梁的A截面截面的挠度的挠度wA等于杆的伸长量等于杆的伸长量D DlDA(图图b)，即，即wA=D DlDA。例题例题 6-73. 求求wA和和D DlDA wA是由荷载产生的是由荷载产生的wAq(图图c)和和FN产生的产生的wAF (图图d)两部分组成，两部分组成，例题例题 6-7把图把
21、图d所示外伸梁，所示外伸梁，视为由悬臂梁视为由悬臂梁AB(图图e)和简支梁和简支梁BC(图图f)两部分组成。两部分组成。例题例题 6-74. 把把wA和和D DlDA代入代入位移位移( (变形变形) )相容条件得补充方程：相容条件得补充方程：由此求得由此求得例题例题 6-7 试求图试求图a所示等截面连续梁的所示等截面连续梁的约束反力约束反力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度曲刚度EI=5106 Nm2。例题例题 6-81. 该梁有三个未知力该梁有三个未知力FA、 FB 、 FC ，仅有两个平，仅有两个平衡方程。故为一次超
22、静定问题。衡方程。故为一次超静定问题。例题例题 6-8解：解： 2. 若取中间支座若取中间支座B处阻止其左、右两侧截面相对处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为转动的约束为“多余多余”约束，则约束，则B截面上的一对弯矩截面上的一对弯矩MB为为“多余多余”未知力，相当系统如图未知力，相当系统如图b。例题例题 6-8 相当系统的位移条件是相当系统的位移条件是B处两侧截面的相对转角处两侧截面的相对转角等于零，即等于零，即例题例题 6-83. 查关于梁位移公式的附录查关于梁位移公式的附录可得可得 4. 将将 B B代入位移相容条件补充方程，从代入位移相容条件补充方程，从而解得而解得 这里的负号表示这里
23、的负号表示MB的实际转向与图的实际转向与图b中所设相中所设相反，即为反，即为MB负弯矩。负弯矩。例题例题 6-85. 利用图利用图b可得可得约束力分别为约束力分别为例题例题 6-8绘出剪力图和弯矩图分别如图绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。所示。(c)(d)FS例题例题 6-8 超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座若以支座B为多余约束，为多余约束，FB为多余未知力，位移条件为多余未知力，位移条件为为wB=0，相当系统如图，相当系统如图(e)所示。有如以支座所示。有如以支座C为多余为多余约束，约束，FC为多余未知，位移条件为为多余未知，
24、位移条件为wC=0，相当系统，相当系统如图如图(f)所示。所示。 位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。(f)FC(e)FB例题例题 6-8*II. *II. 支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响 超静定梁由于有超静定梁由于有“多余多余”约束存在，因而支约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上座的不均匀沉陷和梁的上, ,下表面温度的差异会对下表面温度的差异会对梁的梁的约束力约束力和内力产生明显影响，在工程实践中和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。这是一个重要问题。(1) (1) 支座不均匀沉陷的影响支座不均匀
25、沉陷的影响 图图a所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷座若发生沉陷 A 、 B 、 C，而沉陷后的支点，而沉陷后的支点A1 、B1 、C1不在同一直线上时不在同一直线上时( (即沉陷不均匀时即沉陷不均匀时) )，支座，支座约束力约束力和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。 现按如图现按如图a中所示各支点沉陷中所示各支点沉陷 B C A的情的情况进行分析。此时，支座况进行分析。此时，支座B相对于支座相对于支座A 、C 沉陷沉陷后的点后的点A1 、C1 的连线有位移的连线有位移于是，如以支座于是，如以支座B1作为
26、作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多余多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共同作共同作用下应满足的位移相容条件就是用下应满足的位移相容条件就是于是得补充方程于是得补充方程由此解得由此解得其中的其中的wB按叠加原理有按叠加原理有( (参见图参见图c、d):):再由静力平衡方程可得再由静力平衡方程可得(2) (2) 梁的上梁的上, ,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装安装就位，其后，由于梁
27、的就位，其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面面温度升高至温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如图如图中所示。中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方个，而独立的平衡方程只有程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。l 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，则解除约束，则解除“多余多余”约束后的基本静定系为约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。左端固定的悬臂梁。它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和挠度和挠
28、度wBt( (见图见图c) )以及轴向位移以及轴向位移 Bt。 如果如果忽略忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和转角的影对挠度和转角的影响，则由上响，则由上,下表面温差和下表面温差和“多余多余”未知力共同引起的未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：原超静定梁的相当系统：式中一些符号的意义见图式中一些符号的意义见图c、d、e。 现在先来求现在先来求 Bt和和wBt与梁的上与梁的上, ,下表面温差下表面温差( (t2- - t1) )之间的物理关系。之间的物理关系。 从上面所示的图从上面所示的图a中取出的微
29、段中取出的微段dx, 当其下表当其下表面和上表面的温度由面和上表面的温度由t0分别升高至分别升高至t2和和t1时，右侧时，右侧截面相对于左侧截面的转角截面相对于左侧截面的转角d 由图由图b可知为可知为 上式中的负号用以表示图上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角所示坐标系中该转角 d 为负。为负。将此式积分，并利用边界条件将此式积分，并利用边界条件得得根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为曲线微分方程为从而有从而有至于温差引起轴向位移至于温差引起轴向位移 Bt则为则为 位移相容条件表达式中由位移相容条件表达式中由“多余多余”未知力引未知力引起的位移所对应的物理关系显然为起的位移所对应的物理关系显然为位移相容条件位移相容条件已得出的物理关系已得出的物理关系 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得的表达式即可解得谢谢 谢谢 大大 家家 ! !
