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1、数学建模数学建模第五讲第五讲 足球射门的数学模型足球射门的数学模型一、问题的提出一、问题的提出 足足球球运运动动已已成成为为一一种种世世界界性性的的运运动动，也也是是我我们们大大家家喜喜欢欢欣欣赏赏的的一一种种体体育育活活动动。在在比比赛赛的的过过程程中中，运运动动员员在在对对方方球球门门前前不不同同的的位位置置起起脚脚射射门门对对球球门门的的威威胁胁是是不不相相同同的的。在在球球门门的的正正前前方方的的威威胁胁要要大大于于在在球球门门两两侧侧的的射射门门；近近距距离离射射门门对对球球门门的的威威胁胁要要远远大大于于远远距距离离的的射射门门。在在实实际际中中，球球员员之之间间的的基基本本素素质
2、质可可能能有有所所差差异异，但但对对于于职职业业球球员员来来讲讲一一般般可可以以认认为为这这种种差差异异不不大大。请请你你结结合合球球场场和和足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题： 1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门命中率相同？命中率相同？ 2. 针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究，针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究，并绘制出球门的危险区域；并绘制出球门的危险区域； 3. 在有一名守门员在有一名守门员的情况下，对于球员射门的情况下，对于球员射门威胁程度和威胁区域作进威胁
3、程度和威胁区域作进一步研究一步研究.二、问题分析二、问题分析 根据这个问题根据这个问题,要确定球门的危险区域要确定球门的危险区域, 也就是要确也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性小一些。我们把进球可能性大的区域称为小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域危险区域。同样。同样球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角
4、度，不球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场上的最大射门角度之比称为上的最大射门角度之比称为命中率命中率。 某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个
5、固定的概率分布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。态分布，这是我们解决问题的关键所在。 球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在球场上选择射门的目
6、标点是任意的，而命中球门的概员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上某点某点对球门的对球门的威胁程度威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门，根据威胁程度的大小来确定球门的危险区域。的危险区域。 三、模型假设三、模型假设 为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、适当的假设：适当的假设： 1 1足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即足球
7、相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将足球看成一个质点。将足球看成一个质点。 2 2不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据统计资料，射门时球的速度为据统计资料，射门时球的速度为v0=10=10米米/ /秒。秒。 3 3射门时无对手进行有效的防守。射门时无对手进行有效的防守。 4 4不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等因素。等因素。 5 5足球场地是国际上的标准场地。足球场地是国际上的标准场地。 四、模型建立与求解四、模型建立与求解 根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长根据我们调查，国际标准
8、足球场地的规格为：长104104米、宽米、宽6969米，足球门宽米，中圈半径米米，足球门宽米，中圈半径米 。 球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧米处的球门线球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧米处的球门线上，向场内各画一条长米与球门线垂直的线，一端与球门上，向场内各画一条长米与球门线垂直的线，一端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这三条线与线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这三条线与球门线范围内的地区叫球门区。球门线范围内的地区叫球门区。罚球区：罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧米处的球门在比赛场地两端距球门柱内侧米处的球门线上，向场内各画一条长米与球门线垂直的线线上，向场内
9、各画一条长米与球门线垂直的线, ,一端与球一端与球门线相接门线相接, ,另一端画一条连接线与球门线平行另一端画一条连接线与球门线平行, ,这三条线与这三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点线中点垂垂直向场内量直向场内量1111米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。以米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。以罚球点为圆心，以米为半径罚球点为圆心，以米为半径, ,在罚球区外画一段弧线在罚球区外画一段弧线, ,叫罚叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1 1图图1 1. 1. 问题问题1 1的讨论的讨论 由平面几何知
10、识知由平面几何知识知: :沿边线沿边线 总可以找到一点使得总可以找到一点使得APB 最大。最大。 大家知道，大家知道， 球员水平一定的情况下，角球员水平一定的情况下，角APB越大，在越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使得点射门的命中率就越大，因此我们称使得APB最大的点最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球场为足球场射门的最佳点。那么在足球场内，哪些点属于足内，哪些点属于足球射门的最佳点呢？球射门的最佳点呢？为研究方便，我们把为研究方便，我们把足球场地划分为三条足球场地划分为三条带型区域：带型区域：并以并以AB所在的直线为所在的直线为oy轴，以垂直于轴，以垂直于AB平分线为平分线为
11、ox轴轴, ,建立平面直角坐标系如图建立平面直角坐标系如图 2 2，因此可求得，因此可求得图图2 (1) (1) 若若y保持不变，则动点保持不变，则动点P只能在线段只能在线段 EE上移动。上移动。连接连接PA，PB。 1)1)在区域在区域 内射门最佳点的轨迹方程在区域内射门最佳点的轨迹方程在区域 内任取一点内任取一点 1)1)在区域在区域 内射门最佳点的轨迹方程在区域内射门最佳点的轨迹方程在区域 内任取一点内任取一点 (1) (1) 若若y保持不变，则动点保持不变，则动点P只能在线段只能在线段 EE上移动。上移动。连接连接PA，PB。 由于由于y不变，不变， x与与 积为常数。也就是积为常数。
12、也就是即即当且仅当当且仅当 ，即，即 时取等号。所时取等号。所以以又因为又因为 ，所以当，所以当 时，取最大值时，取最大值, , P 是最佳射门点，此时是最佳射门点，此时 （1 1） 于是，对于区域于是，对于区域 内每一个确定内每一个确定y ，都存在相，都存在相应的应的 ，使得点使得点P(x,y)是最佳射门点，故方程（是最佳射门点，故方程（1 1）是区域）是区域 内射门最佳轨迹方程，整理为内射门最佳轨迹方程，整理为 即为等轴双曲线的一部分。即为等轴双曲线的一部分。 综上所述，在区域综上所述，在区域 内与边线平行位置射门内与边线平行位置射门, ,在曲线在曲线上较好，在与底线平行位置射门，越居中越
13、好。这就打破上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与点与N点比较，较远的点点比较，较远的点N处射门较好，处射门较好，K点与点与H点比较，点比较，K点点射门较好。射门较好。 ( 2 2）若）若x保持不变，显然，保持不变，显然，P(x,y)越靠近越靠近ox 轴，轴， 越大，射门命中率越高。越大，射门命中率越高。区域区域 内射门最佳轨迹方程内射门最佳轨迹方程类似可求区域类似可求区域 内射门的最佳轨迹方程为：内射门的最佳轨迹方程为： 2) 2) 在区域在区域 内射门最佳点轨迹方程内射门最佳点轨迹方程
14、 如示图如示图3 3，在区域，在区域 内任取一点内任取一点P(x,y) . . ( 1) ( 1) 若若y保持不变，显然保持不变，显然P(x,y) 离球门越近，离球门越近， 越大，射门命中率越高。越大，射门命中率越高。 图图3( 2) 若若x保持不变保持不变，作作 于于F 。( 2) 若若x保持不变保持不变，作作 于于F 。由于由于AF 与与FB 和为定值和为定值(AF+FB=7.32m) 。所以所以 当且仅当当且仅当AF=FB 时取等号时取等号, 又又 . 当且仅当且仅当当AF=FB时时， 最大最大，此时此时P(x, y) 在在ox轴上轴上。可见，在区域可见，在区域 内内，最佳点的轨迹方程为
15、最佳点的轨迹方程为： 在区域在区域 内，平行于底线位置射门越居中越好。内，平行于底线位置射门越居中越好。 3足球场射门的等效线足球场射门的等效线 如图如图3 3，在圆弧，在圆弧ABAB上任取一点上任取一点 ， 由圆弧所对圆周角由圆弧所对圆周角 相等知相等知 为定值。我们称为圆弧为定值。我们称为圆弧ABAB的等效线。等效的等效线。等效线上的每一点称之为射门的等效点，如点线上的每一点称之为射门的等效点，如点M M和点和点N N是等效是等效点。点。Q 依次定义，以依次定义，以ox轴上的任意一点轴上的任意一点Q(k,0)为圆心为圆心，以以QA长为半径的圆包含在场内的每一段圆弧均为等效线，等长为半径的圆
16、包含在场内的每一段圆弧均为等效线，等效线的方程为效线的方程为：等效线层层包含，内层总要比外层要好一些。比如，在等效线层层包含，内层总要比外层要好一些。比如，在点点M射门比在点射门比在点M处效果要好，较远处处效果要好，较远处 与较近处点与较近处点 是等效位置，点是等效位置，点M与与N点也是等效位置点也是等效位置。Q2. 2. 问题问题2, 32, 3的讨论的讨论 首先建立如下图所示的空间直角坐标系，即以端首先建立如下图所示的空间直角坐标系，即以端线中点位置为原点线中点位置为原点o，地面为，地面为xoy面，球门所在的平面面，球门所在的平面为为yoz面面.2. 2. 问题问题2, 32, 3的讨论的
17、讨论 问题问题2 根据前面对问题的分析，再此假设基本素质为根据前面对问题的分析，再此假设基本素质为 k 的球员从的球员从点点A(x0, y0, 0) 向距离为向距离为d的球门内目标点的球门内目标点B(0, y1, z1) 射门时，球在目标平面射门时，球在目标平面上的落点呈现二维正态上的落点呈现二维正态分布，且随机变量分布，且随机变量y, z是相互独立的，其密度函数为是相互独立的，其密度函数为 其中其中与球员的素质成反比，与射门点与球员的素质成反比，与射门点A(x0, y0, 0)和目标和目标点点 B(0, y1, z1) 之间的距离之间的距离d成正比，且偏角越大方差成正比，且偏角越大方差 越越
18、小。当偏角为小。当偏角为/2时，方差仅与时，方差仅与k，d 有关有关. 于是，我们可以确定于是，我们可以确定的表达式为的表达式为 其中，其中， 注意到密度函数的表达式中，关于变量注意到密度函数的表达式中，关于变量 y, z是对称是对称的，但实际中只能落在地面以上，即只有的，但实际中只能落在地面以上，即只有z0. 为了平衡为了平衡这个密度函数，我们令这个密度函数，我们令 我们把取两者的比值定义为这次射门的概率，即我们把取两者的比值定义为这次射门的概率，即 对命中球门的概率在球门区域对命中球门的概率在球门区域D内做积分，定义为内做积分，定义为球场上某一点球场上某一点A(x0，y0，0) 对球门的威
19、胁度对球门的威胁度 ，即，即 综上所述，对球场上任意一点综上所述，对球场上任意一点A(x，y，0) 关于对球关于对球门的威胁度为门的威胁度为 其中，其中， 要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解。首先确定反映球员素质的基本参数分的方法求解。首先确定反映球员素质的基本参数k，具，具体的方法如下：体的方法如下： 根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（门的正前方（=/2/2） 距离球门距离球门10米处（米处（d=10）向球门）向球门内的目标点劲射，标准差应该在内的目标点劲射，标
20、准差应该在1米以内，即取米以内，即取=1=1，由，由公式公式 得得 k=10。于是，当。于是，当球员的基本素质球员的基本素质k=10=10时，求解该模型可以得到球场上任意一点对球门的威时，求解该模型可以得到球场上任意一点对球门的威胁度，部分特殊点的威胁度如下表。根据各点的威胁独的胁度，部分特殊点的威胁度如下表。根据各点的威胁独的值可以作出球场上等威胁度的曲线值可以作出球场上等威胁度的曲线( (x, x, y y) )(0, 1)(0, 1)(0, 5)(0, 5)(0, 10)(0, 10)(0, 20)(0, 20)(0,30)(0,30)(0, 50)(0, 50)D D14.459614
21、.459614.535114.535112.689112.68918.63718.63715.71155.71152.81112.8111( (x, x, y y) )(3, 1)(3, 1)(3, 5)(3, 5)(3, 10)(3, 10)(3, 20)(3, 20)(3,30)(3,30)(3, 50)(3, 50)D D11.564911.564913.480113.480111.757811.75787.95277.95275.32085.32082.67502.6750( (x, x, y y) )(5, 1)(5, 1)(5, 5)(5, 5)(5, 10)(5, 10)(5,
22、20)(5, 20)(5,30)(5,30)(5, 50)(5, 50)D D6.30466.304611.410611.410610.364010.36407.15937.15934.86694.86692.50632.5063( (x, x, y y) )(10, 1)(10, 1)(10, 5)(10, 5)(10, 10)(10, 10)(10, 20)(10, 20)(10,30)(10,30)(10, 50)(10, 50)D D0.89230.89235.33065.33066.46506.46505.24255.24253.81753.81752.11892.1189( (x,
23、 x, y y) )(20, 1)(20, 1)(20, 5)(20, 5)(20, 10)(20, 10)(20, 20)(20, 20)(20,30)(20,30)(20, 50)(20, 50)D D0.06020.06020.87010.87011.84741.84742.42652.42652.18842.18841.48151.4815( (x, x, y y) )(30, 1)(30, 1)(30, 5)(30, 5)(30, 10)(30, 10)(30, 20)(30, 20)(30,30)(30,30)(30, 50)(30, 50)D D0.01210.01210.218
24、70.21870.58630.58631.08531.08531.20521.20521.01331.0133 问题问题3 假设守门员站在射门点与两球们住所夹角的角平假设守门员站在射门点与两球们住所夹角的角平分线上，即守门员站在垂直射门线平面的投影区域中心分线上，即守门员站在垂直射门线平面的投影区域中心位置是最佳防守位置。球员在球场上某一点对球门任意位置是最佳防守位置。球员在球场上某一点对球门任意一点一点(0, y, z)起脚射门，经过时间起脚射门，经过时间t到达球门锁在平面，球到达球门锁在平面，球到达该点时，守门员对球都有一个捕获概率到达该点时，守门员对球都有一个捕获概率P0(t, y, z
25、)，下面先分析一下这个函数的形式。下面先分析一下这个函数的形式。 首先注意到，当时间首先注意到，当时间t一定时，此函数应该是以守一定时，此函数应该是以守门员为中心向四周辐射衰减的二维函数，如图门员为中心向四周辐射衰减的二维函数，如图 当时间当时间t 变小时，此函数图像的峰度增加，而相应变小时，此函数图像的峰度增加，而相应面积减小。如图面积减小。如图 从图中我们看到该曲面的形势与二维正态分布的密从图中我们看到该曲面的形势与二维正态分布的密度函数图像相似，因此，我们采用该函数的形式描述这度函数图像相似，因此，我们采用该函数的形式描述这种变化趋势。参数种变化趋势。参数 t 表示从起脚射出到球到达球门
26、的时表示从起脚射出到球到达球门的时间，也就是给守门员反应时间，该时间越长，曲面越平间，也就是给守门员反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上我们得到滑，综上我们得到其中其中c1，c2为守门员沿纵向、竖向的反映系数，据专家测为守门员沿纵向、竖向的反映系数，据专家测试，一般正常人的反应速度约为秒。试，一般正常人的反应速度约为秒。 在根据著名的在根据著名的“纸条试验纸条试验”可以得到一般人反映时可以得到一般人反映时间约为间约为 秒（即设想将一张纸条放在人的两手之间，当秒（即设想将一张纸条放在人的两手之间，当纸条在重力的作用下自由下落时，纸条在重力的作用下自由下落时， 可计算出人的可计算出人的反应时间）
27、。因此，我们在此取反应时间）。因此，我们在此取c1=c2 =1/7(实验值）。容实验值）。容易得到守门员防守时偏离球门中心的距离易得到守门员防守时偏离球门中心的距离 我们在问题我们在问题2 2的基础上，对球员在球场上某意的基础上，对球员在球场上某意一点一点 A(x0，y0，0) 射入球门的概率应征如下：射入球门的概率应征如下： 即即P0(t, y, z) 表表示示守守门门员员捕捕获获球球的的概概率率， 1-P0(t, y, z) 就就 表表示示捕捕不不住住球球的的概概率率。 那那么么类类似似可可求求得得球球场场上上任任意意一一点点 A(x, y, 0)对球门的威胁度为对球门的威胁度为其中，其中
28、， 在这里这里同样取球员的基本素质在这里这里同样取球员的基本素质k=10，守门员的反，守门员的反映系数映系数 c1=c2=1/7 ，球的速度球的速度v0=10米米/ /秒，类似于问题秒，类似于问题2 2的的求解可以求得球场上任意一点对球门的威胁程度，这里给求解可以求得球场上任意一点对球门的威胁程度，这里给出一些特殊点的数值，如下表。根据各点的威胁度的职业出一些特殊点的数值，如下表。根据各点的威胁度的职业可以作出球场上的等威胁度的曲线。可以作出球场上的等威胁度的曲线。( (x, x, y y) )(0, 1)(0, 1)(0, 5)(0, 5)(0, 10)(0, 10)(0, 20)(0, 2
29、0)(0,30)(0,30)(0, 50)(0, 50)D D12.937812.937812.008012.00808.96608.96604.80044.80042.76222.762210.99810.998( (x, x, y y) )(3, 1)(3, 1)(3, 5)(3, 5)(3, 10)(3, 10)(3, 20)(3, 20)(3,30)(3,30)(3, 50)(3, 50)D D10.065710.065710.928710.92878.38238.38234.57204.57202.66372.66371.06731.0673( (x, x, y y) )(5, 1)
30、(5, 1)(5, 5)(5, 5)(5, 10)(5, 10)(5, 20)(5, 20)(5,30)(5,30)(5, 50)(5, 50)D D5.89715.89718.94618.94617.26427.26424.12534.12532.45362.45361.01351.0135( (x, x, y y) )(10, 1)(10, 1)(10, 5)(10, 5)(10, 10)(10, 10)(10, 20)(10, 20)(10,30)(10,30)(10, 50)(10, 50)D D0.81560.81563.91943.91944.13354.13353.00853.0
31、0851.93031.93030.85700.8570( (x, x, y y) )(20, 1)(20, 1)(20, 5)(20, 5)(20, 10)(20, 10)(20, 20)(20, 20)(20,30)(20,30)(20, 50)(20, 50)D D0.04210.04210.58640.58641.15501.15501.34061.34061.07681.07680.58810.5881( (x, x, y y) )(30, 1)(30, 1)(30, 5)(30, 5)(30, 10)(30, 10)(30, 20)(30, 20)(30,30)(30,30)(30,
32、 50)(30, 50)D D0.00700.00700.12430.12430.32330.32330.55060.55060.55640.55640.38670.3867 比较问题比较问题 2，问题，问题 3的结果可以看出，问题的结果可以看出，问题3有防守的有防守的情况比问题情况比问题1无防守的情况有很大的差别，问题无防守的情况有很大的差别，问题2主要是守主要是守门员的作用，使得危险区域明显缩小。为亵渎最大的区域门员的作用，使得危险区域明显缩小。为亵渎最大的区域还是在球门附近，特别是正前方还是在球门附近，特别是正前方。由此说明了球场上大小。由此说明了球场上大小禁区设置的合理性。禁区设置的合
33、理性。 本模型采用的本模型采用的k k值是估算出来的，严格的来讲，值是估算出来的，严格的来讲， 应该应该通过大量的试验按统计规律确定可能更好。我们通过计算通过大量的试验按统计规律确定可能更好。我们通过计算证明了证明了, ,球员基本素质球员基本素质k增加时，对球门的威明显增加，威增加时，对球门的威明显增加，威胁区域变大。相反的胁区域变大。相反的, ,当当k减小时，对球门的威也减少，威减小时，对球门的威也减少，威胁区域变小。关于防守球员的基本素质，在本模型胁区域变小。关于防守球员的基本素质，在本模型中未考中未考 五、结果分析五、结果分析虑，是为了简化模型。关于有多名对于那进攻和防守的情虑，是为了简化模型。关于有多名对于那进攻和防守的情况以及双方间廉政性的安排的相关问题，那就更为复杂。况以及双方间廉政性的安排的相关问题，那就更为复杂。 作业四作业四 利用计算机描绘足球射门的数学模型中问题利用计算机描绘足球射门的数学模型中问题2 2及问题及问题3 3的危险区域。的危险区域。
