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1、第二节参 数 方 程考考纲考情考情广广东五年五年4 4考高考指数考高考指数: :1.1.了解参数方程了解参数方程, ,了解参数的意了解参数的意义2.2.能能选择适当的参数写出直适当的参数写出直线、圆和和椭圆的参数方的参数方程程五年五年考考题20132013T14T1420122012T14T1420112011T14T1420092009T14T14考情考情播播报1.1.直直线与与圆的参数方程是的参数方程是历年高考命年高考命题的的热点点2.2.直直线与与圆的参数方程与位置关系是高考的重点的参数方程与位置关系是高考的重点3.3.以填空以填空题的形式考的形式考查, ,难度不大度不大【知【知识梳理】
2、梳理】1.1.参数方程的概念参数方程的概念一般地一般地, ,在平面直角坐在平面直角坐标系中系中, ,如果曲如果曲线上任意一点的坐上任意一点的坐标x,yx,y都是某个都是某个变数数t t的函数的函数 并且并且对于于t t的每一个允的每一个允许值, ,由由这个方程个方程组所确定的点所确定的点M(x,y)M(x,y)都在都在这条曲条曲线上上, ,那么那么这个方程个方程组就叫做就叫做这条曲条曲线的参数方程的参数方程, ,联系系变数数x,yx,y的的变数数t t叫做参叫做参变数数, ,简称参数称参数. .相相对于参数方程而言于参数方程而言, ,直接直接给出点的坐出点的坐标间关系的方程关系的方程F(x,y
3、)=0F(x,y)=0叫做普通方程叫做普通方程. .2.2.直线、圆与圆锥曲线的普通方程和参数方程直线、圆与圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹迹普通方程普通方程参数方程参数方程直直线y-yy-y0 0=tan(x-x=tan(x-x0 0) )(t(t为参数参数) )圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(为参数参数) )椭圆 (ab0)(ab0)( (为参数参数) )【考点自【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命出下列命题: :曲曲线的参数方程中的参数都有的参数方程中的参数都有实际意意义; ;参数方程与普通方程互化后表示的曲参数方程与普通方程互化后表
4、示的曲线是一致的是一致的; ;圆的参数方程中的参数的参数方程中的参数与与椭圆的参数方程中的参数的参数方程中的参数的几的几何意何意义相同相同; ;普通方程化普通方程化为参数方程参数方程, ,参数方程的形式不惟一参数方程的形式不惟一. .其中正确的是其中正确的是. .【解析】【解析】错误错误. .曲线的参数方程中的参数曲线的参数方程中的参数, ,可以具有物理意义可以具有物理意义, ,可以具有几何意义可以具有几何意义, ,也可以没有明显的实际意义也可以没有明显的实际意义. .正确正确. .两方程互化后所表示的曲线相同两方程互化后所表示的曲线相同. .错误错误. .圆的参数方程中的参数圆的参数方程中的
5、参数表示半径的旋转角表示半径的旋转角, ,而椭圆的而椭圆的参数方程中的参数参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角表示对应的大圆或小圆半径的旋转角, ,也也就是椭圆的离心角就是椭圆的离心角. .正确正确. .用参数方程解决动点的轨迹问题用参数方程解决动点的轨迹问题, ,若选用的参数不同若选用的参数不同, ,那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同. .答案答案: :2.2.将参数方程将参数方程 ( (为参数参数) )化化为普通方程普通方程为. .【解析】【解析】消去参数消去参数, ,转化为普通方程得转化为普通方程得y=x-2,y=x-2,其中其中x2
6、,3,x2,3,y0,1.y0,1.答案答案: :y=x-2(2x3)y=x-2(2x3)3.3.参数方程参数方程 ( (为参数为参数) )的曲线中心在第的曲线中心在第_象限象限. .【解析】【解析】曲线曲线 ( (为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为(x+1)(x+1)2 2+ +(y(y2)2)2 2=1=1，所以圆心，所以圆心( (1,2)1,2)在第二象限在第二象限. .答案：答案：二二4.(20144.(2014广州模拟广州模拟) )已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是 (为参数为参数) )，以直角坐标系的原点为极点，以直角坐标系的原点为极点，x x轴的正半轴为极轴的
7、正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C C的极坐标方的极坐标方程是程是_._.【解析】【解析】曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 ( (为参数为参数) )，它表示，它表示以点以点(0(0，1)1)为圆心，以为圆心，以1 1为半径的圆，则曲线为半径的圆，则曲线C C的标准方程为的标准方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，化为一般方程即，化为一般方程即x x2 2+y+y2 2-2y=0-2y=0，化为极坐标方程得，化为极坐标方程得2 2-2sin =0,-2sin =0,即即2 2=2sin ,=2sin ,两边约
8、去两边约去得得=2sin .=2sin .答案：答案：=2sin =2sin 5.5.将曲线将曲线 ( (为参数为参数) )上的点的横坐标变为原来的上的点的横坐标变为原来的5 5倍，纵坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的4 4倍，得到曲线的焦距等于倍，得到曲线的焦距等于_._.【解析】【解析】设圆设圆 ( (为参数为参数) )上任意一点为上任意一点为P(x,y),P(x,y),变变换后的点为换后的点为P(x,y)P(x,y)，依题意，得依题意，得 所以所以代入圆代入圆 ( (为参数为参数) )的普通方程的普通方程x x2 2+y+y2 2=1,=1,得得 所以所以c c2 2=a=a2 2b b
9、2 2=9=9，2c=6.2c=6.答案：答案：6 66.(20146.(2014珠海模拟珠海模拟) )已知直线已知直线L L的参数方程为的参数方程为: : (t(t为参数为参数) )，圆，圆C C的参数方程为的参数方程为: (: (为参数为参数). ). 若直线若直线L L与圆与圆C C有公共点，则实数有公共点，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】直线直线L L的参数方程的参数方程 (t (t为参数为参数) )化为普通化为普通方程为方程为 x xy+a=0y+a=0，圆圆C C的参数方程的参数方程 ( (为参数为参数) )化为普通方程为化为普通方程为x x2 2+ +
10、(y(y1)1)2 2=1.=1.由于直线由于直线L L与圆与圆C C有公共点，则圆心到直线的距离有公共点，则圆心到直线的距离满足满足即即a a12122a2a12121a31a3，所以实数，所以实数a a的取值范的取值范围是围是1,31,3. .答案：答案：1,31,3考点考点1 1 直线的参数方程与应用直线的参数方程与应用【典例【典例1 1】若经过点若经过点P(-1P(-1，2)2)，倾斜角为，倾斜角为 的直线的直线l与曲线与曲线=3=3相交于相交于A A，B B两点，则两点，则|PA|PB|=_.|PA|PB|=_.【解题视点】【解题视点】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利将直线
11、的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程的参数的几何意义以及一元二次方程的根与系用直线参数方程的参数的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算数的关系计算. .【规范解答】【规范解答】直线直线l的参数方程为的参数方程为 (t (t为参数为参数) )，代入圆的直角坐标方程代入圆的直角坐标方程x x2 2+y+y2 2=9=9，整理，得，整理，得t t2 2+ t-4=0.+ t-4=0.设点设点A A，B B对应的参数分别是对应的参数分别是t t1 1，t t2 2，则，则t t1 1tt2 2=-4=-4，所以所以|PA|PB|=|t|PA|PB|=|t1 1t t2 2|=4.
12、|=4.答案：答案：4 4【互动探究】【互动探究】若本例条件不变，则若本例条件不变，则|AB|=_. |AB|=_. 【解析】【解析】由本例解析可知，点由本例解析可知，点A A，B B对应的参数分别是对应的参数分别是t t1 1，t t2 2，则则t t1 1+t+t2 2= = ,t ,t1 1t t2 2= =4,4,得得|AB|=|PA|+|PB|=|t|AB|=|PA|+|PB|=|t1 1t t2 2| |答案：答案：【规律方法】【规律方法】直线的参数方程在交点问题中的应用直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线已知直线l经过点经过点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )，倾
13、斜角为，倾斜角为,点点M(x,y)M(x,y)为为l上任意上任意一点，则直线一点，则直线l的参数方程为的参数方程为 (t (t为参数为参数).).(1)(1)若若M M1 1,M,M2 2是直线是直线l上的两个点，对应的参数分别为上的两个点，对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2，则，则 =|t =|t1 1t t2 2|,| |=|t|,| |=|t2 2t t1 1|=|=(2)(2)若线段若线段M M1 1M M2 2的中点为的中点为M M3 3，点，点M M1 1，M M2 2，M M3 3对应的参数分别为对应的参数分别为t t1 1，t t2 2，t t3 3，则，则(3)(3)
14、若直线若直线l上的线段上的线段M M1 1M M2 2的中点为的中点为M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),则则t t1 1+t+t2 2=0=0，t t1 1t t2 20.0t0时，点时，点M M在点在点M M0 0的上方；的上方；当当t t0 0时，点时，点M M与点与点M M0 0重合；重合；当当t0t0t0时，点时，点M M在点在点M M0 0的右侧；的右侧；当当t t0 0时，点时，点M M与点与点M M0 0重合；重合；当当t0t0时，点时，点M M在点在点M M0 0的左侧的左侧. .【变式训练】【变式训练】在平面直角坐标系中，直线在平面直角坐标系中，直线l的参数方程
15、为的参数方程为 (t (t为参数为参数).).若以坐标原点若以坐标原点O O为极点，为极点，x x轴正半轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线轴为极轴建立极坐标系，则曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为= 则直线则直线l被曲线被曲线C C所截得的弦长等于所截得的弦长等于_._.【解析】【解析】由由= = ，得，得=sin +cos =sin +cos ，即，即2 2=sin +cos =sin +cos ，得，得x x2 2+y+y2 2x xy=0.y=0.将直线的参数方程代入圆的一般方程，整理，得将直线的参数方程代入圆的一般方程，整理，得5t5t2 221t21t+20=0+20=0，设直线
16、设直线l与曲线与曲线C C的交点的交点M M，N N对应的参数分别为对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2，则，则t t1 1+t+t2 2= = ，t t1 1t t2 2=4=4，得得答案：答案：考点考点2 2 圆的参数方程与的参数方程与应用用【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013陕西高考西高考) )如如图, ,以以过原点的直原点的直线的的倾斜角斜角为参数参数, ,则圆x x2 2+y+y2 2-x-x=0=0的参数方程的参数方程为. .(2)(2)已知已知实数数x,yx,y满足足x x2 2+y+y2 2-2x+2 y=0,-2x+2 y=0,若若总有有x+ y+m0,
17、x+ y+m0,则实数数m m的最小的最小值为. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)由圆的标准方程由圆的标准方程, ,明确圆心的位置与半径明确圆心的位置与半径, ,将将圆上动点的坐标表示为参数的三角函数即可圆上动点的坐标表示为参数的三角函数即可. .(2)(2)首先利用圆的参数方程首先利用圆的参数方程, ,求出求出x+ yx+ y的最值的最值, ,再求实数再求实数m m的最的最小值或利用圆心到直线的距离小于等于半径求解小值或利用圆心到直线的距离小于等于半径求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)圆的方程圆的方程 圆的半径圆的半径r r= = OP=cos 2r=cos OP=cos
18、2r=cos x=OPcos =cosx=OPcos =cos2 2,y=OPsin =cos sin .y=OPsin =cos sin .所以圆的参数方程为所以圆的参数方程为 ( (为参数为参数).).答案：答案： ( (为参数为参数) )(2)(2)方法一：由实数方法一：由实数x,yx,y满足满足x x2 2+y+y2 2-2x+2 y=0-2x+2 y=0，得得(x(x1)1)2 2+(y+ )+(y+ )2 2=4=4，由圆的参数方程，得，由圆的参数方程，得则则x+ y=1+2cos + (x+ y=1+2cos + ( +2sin ) +2sin )= =2+4sin2+4sin（
19、+ + ），），由于由于6x+ y26x+ y2，总有，总有x+ y+m0x+ y+m0，即总有，即总有mx+ ymx+ y，得得mm6 6，故，故m6m6，所以实数，所以实数m m的最小值为的最小值为6.6.方法二方法二：将方程：将方程x x2 2+y+y2 22x+2 y=02x+2 y=0配方，得配方，得(x(x1)1)2 2+(y+ )+(y+ )2 2=4=4，圆心，圆心C(1,C(1, ),r=2. ),r=2.令令x+ y=cx+ y=c，即，即x+ yx+ yc=0,c=0,依题意，直线与圆有公共点，得依题意，直线与圆有公共点，得即即c+24c+246c26c2，因为总有因为总
20、有x+ y+m0x+ y+m0，即总有，即总有mc=x+ ymc=x+ y，得得mm6 6，故，故m6m6，所以实数，所以实数m m的最小值为的最小值为6.6.答案：答案：6 6【规律方法】【规律方法】利用圆的参数方程求最值利用圆的参数方程求最值(1)(1)解决与圆上的点有关的取值范围以及最大值和最小值问题，解决与圆上的点有关的取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为直线与圆的位置关系通常可以转化为直线与圆的位置关系. . (2)(2)如果设出圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域如果设出圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域. .提醒：提醒：注意运用三角恒等式注意运用三角恒等式辅助角公
21、式求最值：辅助角公式求最值：asin +bcos = sin(+asin +bcos = sin(+).).其中其中或者或者tan tan = (a0),= (a0),且角且角的终边经过点的终边经过点(a,b).(a,b).【变式训练】【变式训练】设方程设方程 ( (为参数为参数) )表示的曲线为表示的曲线为C C，在曲线，在曲线C C上到原点上到原点O O距离最小的点距离最小的点P P的坐标为的坐标为_._.【解析】【解析】因为因为|OP|OP|2 2=(1+cos )=(1+cos )2 2+( +sin )+( +sin )2 2=5+2 sin +2cos =5+4sin(+ ),=5
22、+2 sin +2cos =5+4sin(+ ),当当=2k+ ,kZ=2k+ ,kZ时，时，|OP|OP|最小，此时点最小，此时点P P的坐标为的坐标为答案：答案：考点考点3 3 椭圆的参数方程与应用椭圆的参数方程与应用【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013湖南高考湖南高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，若若l: (t: (t为参数为参数) )过椭圆过椭圆C: (C: (为参数为参数) )的的右顶点，则常数右顶点，则常数a a的值为的值为_._.(2)(2)已知点已知点P P为椭圆为椭圆 在第一象限部分上的点，则在第一象限部分上的点，则x+yx+y的取
23、值范围是的取值范围是_._.【解题视点】【解题视点】(1)(1)先把直线和椭圆的参数方程化为普通方程，先把直线和椭圆的参数方程化为普通方程，然后把椭圆的右顶点坐标代入直线方程即可然后把椭圆的右顶点坐标代入直线方程即可. . (2)(2)利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程 ( (为参数为参数) )，转化为三角，转化为三角函数求值域函数求值域. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)直线直线l的普通方程是的普通方程是x xy ya=0a=0，椭圆，椭圆C C的普通的普通方程是方程是 ，其右顶点为，其右顶点为(3,0)(3,0)，代入直线方程得，代入直线方程得a=3.a=3.答案：答案：3 3(2
24、)(2)设椭圆设椭圆 上的点上的点P( cos ,sin )P( cos ,sin )，所以所以x+y= cos +sin =2sin(+ )x+y= cos +sin =2sin(+ )，(0, ),(0, ),由于函数由于函数y=2sin(+ )y=2sin(+ )在在(0, (0, 上单调递增，上单调递增，在在( )( )上单调递减，当上单调递减，当= = 时，时，y=2sin =2y=2sin =2；当当=0=0时，时，当当= = 时，时，所以所以x+yx+y的取值范围是的取值范围是(1,2(1,2. .答案：答案：(1,2(1,2【易错警示】【易错警示】注意参数的取值范围注意参数的取
25、值范围本例本例(2)(2)由于所给的点为椭圆在第一象限部分上的点，所以点由于所给的点为椭圆在第一象限部分上的点，所以点的坐标的参数方程中参数不能为任意实数，忽视这一点就会错的坐标的参数方程中参数不能为任意实数，忽视这一点就会错解为解为x+yx+y2,22,2. . 【规律方法】【规律方法】圆与椭圆的参数方程的异同点圆与椭圆的参数方程的异同点(1)(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决椭圆的
26、参数方程转化为三角函数解决. .(2)(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角等于圆心角. .【变式训练】【变式训练】已知直线已知直线l: (t: (t为参数为参数) )上一点为上一点为P,P,椭圆椭圆C: (C: (为参数为参数) )上一点为上一点为Q,Q,则则PQPQ的最大值为的最大值为_，此时点，此时
27、点Q Q的坐标为的坐标为_._.【解析】【解析】方法一方法一: :直线直线l: (t: (t为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为2x2xy+4=0y+4=0，椭圆，椭圆C: (C: (为参数为参数) )上一点上一点Q Q到直线的到直线的距离为距离为其中其中cos cos = ,sin = ,sin = = ，当当sin(+sin(+)=)=1 1，即，即+= ,= = ,= 时，时，d dmaxmax= =此时此时cos =coscos =cos（ ）= =sin sin = = ，sin =sinsin =sin（ ）= =cos cos = = ，所以所以 即椭圆上的点即椭圆上的点Q
28、 Q的坐标为的坐标为方法二方法二: :直线直线l: (t: (t为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为2x2xy+4=0y+4=0，即，即y=2x+4.y=2x+4.椭圆椭圆C: (C: (为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为 即即x x2 2+2y+2y2 22=02=0，将将y=2x+4y=2x+4代入椭圆方程，得代入椭圆方程，得9x9x2 2+32x+30=0+32x+30=0，由于由于=32=322 23630=3630=560560，故直线与椭圆相离，故直线与椭圆相离. .令令y=2x+my=2x+m，代入椭圆方程，整理，代入椭圆方程，整理，得得9x9x2 2+8mx+2m
29、+8mx+2m2 22=0 ()2=0 ()令令=64m=64m2 236(2m36(2m2 22)=02)=0，得，得m m2 2=9=9，解得，解得m=3m=3，当当m=3m=3时，平行线时，平行线2x2xy+3=0y+3=0与与2x2xy+4=0y+4=0之间的距离为之间的距离为当当m=m=3 3时，平行线时，平行线2x2xy y3=03=0与与2x2xy+4=0y+4=0之间的距离为之间的距离为 所以所以d dmaxmax= =由由m=m=3 3，方程，方程()()为为9x9x2 224x+16=024x+16=0，即，即(3x(3x4)4)2 2=0=0，解得，解得x= x= ，故，故y=2xy=2x3=3= ，即椭圆上的点，即椭圆上的点Q Q的坐标为的坐标为答案：答案：
