7.5函数展开成正弦级数与余弦级数

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1、Chapter 7Infinite Series无穷级数无穷级数7.5 函数展开成正弦级数与余弦级数函数展开成正弦级数与余弦级数教教学学目目的的与与要要求求：理理解解正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数的的概概念念，能能够够根根据据所所给给函函数数的的奇奇偶偶特特点点将将函函数数展展开开为为正正弦弦级级数数或或余余弦级数。弦级数。知知识识点点：周周期期为为2 的的函函数数展展开开为为正正弦弦级级数数或或余余弦弦级级数数；定定义义在在区区间间上上的的函函数数展展开开成成正正弦弦级级数数或或余余弦弦级级数数；周周期期为为2l的函数展开为正弦级数或余弦级数。的函数展开为正弦级数或余弦级数。重点：重点

2、：周期为周期为2 的函数展开为正弦级数或余弦级数。的函数展开为正弦级数或余弦级数。难点：难点：定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数。定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数。一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数三、小结三、小结一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里也有一些函数的傅里叶级数只含有叶级数只含有正弦项正弦项或者只含有或者只含有常数

3、项和余弦项常数项和余弦项.定理定理1证明证明奇函数奇函数同理可证同理可证(2)定义定义偶函数偶函数定理证毕定理证毕.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.(见下图）见下图）和和函函数数图图象象观观察察两两函函数数图图形形解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个在整个数轴上连续数轴上连续.二、函数展开成正弦级数或余弦级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓则有如下两种情况则有如下两种情况2. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级上的函数展成正弦级数与余弦级数数周期延拓周期延拓 F (x) f (x)

4、在在 0 , 上展上展成成周期延拓周期延拓 F (x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数 f (x) 在在 0 , 上展上展成成机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 奇延拓奇延拓:偶延拓偶延拓:解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓,注意注意:在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 , 与与给定函数给定函数 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . (2)(2)求余弦级数求余弦级数. .1. 周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数奇

5、函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数2. 在在 0 , 上函数的傅里叶展开法上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓作奇周期延拓 ,展开为正弦级数展开为正弦级数 作偶周期延拓作偶周期延拓 ,展开为余弦级数展开为余弦级数内容小结内容小结3、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;1. 在在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同级数就不同延拓方式不同级数就不同 .思考与练习思考与练习练习题练习题练习题答案练习题答案