第二节第二节 频率域稳定判据频率域稳定判据第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法 项 目内 容教 学 目 的掌握如何使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性教 学 重 点使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性教 学 难 点讲授技巧及注意事项注重公式的理论推导，最后给出结论，通过典型例题利用结论进行分析5-2 频率域稳定判据频率域稳定判据从控制论角度来理解幅角定理 一、一、Nyquist判据的数学基础判据的数学基础——幅角定理幅角定理设复变函数设复变函数 ①①对对s平平面面上上的的每每一一个个点点s(复复数数)，，在在F平平面面上上必有一点通过映射关系必有一点通过映射关系F(s)与之对应与之对应 ②对对s平平面面上上的的任任一一个个不不通通过过极极点点的的封封闭闭曲曲线线C，，在在F平平面面上上必必有有一一连连续续封封闭闭曲曲线线Γ通通过过映映射射关关系系F(s)与之对应与之对应 幅角定理：设s平面闭合曲线C包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿C顺时针运动一周时，F平面内的闭合曲线Γ绕原点运动的圈数为：R=Z-P说明：当说明：当R>0时，曲线时，曲线Γ顺时针包围原点；顺时针包围原点； 当当R<0时，曲线时，曲线Γ逆时针包围原点；逆时针包围原点； 当当R=0时，曲线时，曲线Γ不包围原点不包围原点。
证明：设曲线C内包含一个零点z1S沿曲线沿曲线C顺时针旋转一周，各向量的幅角变化情况为顺时针旋转一周，各向量的幅角变化情况为Γ绕原点的圈数为绕原点的圈数为1(顺时针顺时针1圈圈)由复数运算，知[s][F] 同同理理可可知知：：当当曲曲线线C内内包包含含一一个个极极点点p时时，，若若S沿沿C顺顺时时针针旋旋转转一一周周，，F平平面面内内Γ绕绕原原点点的的圈圈数数为为1圈圈(逆时针逆时针) 所所以以，，当当C内内包包含含z个个零零点点和和p个个极极点点时时，， 若若S沿沿曲曲线线C顺顺时时针针旋旋转转一一周周，，曲曲线线Γ顺顺时时针针绕绕原原点点的的圈圈数：数：若若R=P，，即即F平平面面内内曲曲线线Γ逆逆时时针针绕绕原原点点的的圈圈数数等等于于F(s)的的极极点点被被曲曲线线C包包围围的的个个数数，，则则C内内没没有有包包含含F(s)的零点由幅角定理推导出的重要结论：由幅角定理推导出的重要结论：R=Z-P 1. 复变函数F(s)的选择二、从控制论角度来理解幅角定理二、从控制论角度来理解幅角定理 判断系统是否稳定要看闭环特征方程的特征根在s平面上的分布情况，所以初步选择 为研究对象。
F(s)的极点的极点=开环传函的极点开环传函的极点(容易得到容易得到)F(s)的零点的零点=闭环传函的极点闭环传函的极点(不易得到，是研究的对象不易得到，是研究的对象) 系统稳定→s平面的右半平面没有Φ(s)的极点 →s平面的右半平面没有F(s)的零点 选择曲线C顺时针包围s的右半平面，由幅角定理推导出的结论，知：若R=-P，即F平面内曲线Γ绕原点的逆时针圈数等于F(s)的在右半平面的极点数，则s右半平面内没有包含F(s)的零点，系统稳定F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到)F(s)的零点=闭环传函的极点(不易得到) GF在F平面包围坐标原点的圈数=GGH在GH平面上包围(-1,j0)点的圈数 对于开环传函G(s)H(s)，选择合适的封闭曲线C顺时针包围s的右半平面，如果GGH在GH平面逆时针包围(-1,j0)点的圈数R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定 GH平平面面：：将F平面右移一个单位，可得一个新的平面，称之为GH平面由F(s)=1+G(s)H(s)知： F平面的原点就是GH平面的(-1,0)点。
最终结论： 2. S平面内闭合曲线平面内闭合曲线C的选择的选择奈氏围线：顺时针包围整个s右半平面的封闭曲线选奈氏围线为C即可 由于C不能通过F(s)=G(s)H(s)的极点，分两种情况讨论 vG(s)H(s)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 奈氏围线由两部分组成，C1：：半径为∞的的右右半半圆圆s=Rejq q( (R→∞，，900≤q q≤+900) ) ；C2：： s平面的整个虚轴s=j (∞< <+∞)C2C1R=∞C=C1+C2[s] vG(s)H(s)有虚轴上的极点有虚轴上的极点奈氏围线在第一种情况的基础上加上开环虚轴极点：①开环系统含有积分环节对应的极点0在原点附近，取s=eejq q( (e→0+, 900≤q q≤+900)(修正围线C3)C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3[s] ②开环系统含有等幅振荡环节对应的极点在 附近，取 ( (e→0+, 900≤q q≤+900) ) (修正围线C4、、 C5)C2C1R=∞C4C5C=C1+C2+C4+C5[s] 讨论在s平面当s沿奈氏围线C运动时通过复变函数G(s)H(s)映射到GH平面上曲线GGH的情况。
3. GH平面闭合曲线平面闭合曲线G GGH的绘制的绘制C2C1R=∞C=C1+C2[s]vG(s)H(s)无虚轴上的极点(ν=0，0型系统) 当当s沿沿C1顺时针移动时，在顺时针移动时，在GH平面上的映射为平面上的映射为m=n时，上式= ，n>m时，上式=0说明C1 为GGH为一个点，对系统的稳定性研究没有意义 当当s沿沿C2顺时针移动时，在顺时针移动时，在GH平面上的映射平面上的映射① s=j (0≤ ＜＜+∞)：正虚轴，对应：正虚轴，对应GH平面上的开开环幅相曲线环幅相曲线G GGH1 ②s=j (∞＜＜ ≤0)：负虚轴，在：负虚轴，在GH平面中的映射曲平面中的映射曲线线G GGH2与开环幅相曲线与开环幅相曲线G GGH1关于实轴对称关于实轴对称n-m=2时C和的GGH对应关系GGH1GGH2C2C1C2C1n=m时C和的GGH对应关系GGH1GGH2[s][s][GH][GH] C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3修正围线C3在GH平面上的映射为① G(s)H(s)含有积分环节[s]vG(s)H(s)有虚轴上的极点有虚轴上的极点 C2C1R=∞C3 修修正正围围线线C3映映射射到到GH平平面面上上的的曲曲线线是是半半径径为为∞的的圆圆弧弧，，且且起起始始于于G(j0 0- -)H(j0 0- -)，，终终止止于于G(j0 0+ +)H(j0 0+ +)，，并顺时针旋转角度并顺时针旋转角度npnp( (q q逆时针旋转逆时针旋转p(-90p(-900 0~+90~+900 0) )) )。
n=1，n-m=3时C和的GGH的对应关系GGH[s][GH] vG(s)H(s)含有等幅振荡环节含有等幅振荡环节C2C1R=∞C4C5C=C1+C2+C4+C5 修修正正围围线线C4和和C5映映射射到到GH平平面面上上的的曲曲线线都都是是半半径径为为∞，，圆圆心心角角等等于于npnp的的圆圆弧弧，，且且起起始始于于G(j n- -)H(j n- -)，，终止于终止于G(j n+ +)H(j n+ +) [s] 4、、G GGH包围包围(1,j0)圈数的计算圈数的计算v环绕计算法：奈氏曲线包围(-1,j0)的圈数(逆时针为正，顺时针为负)；v穿越计算法：奈氏曲线穿越负实轴(-∞，-1)段的次数，由上至下为正穿越N+，由下至上为负穿越N-R=N+－N- 以上计算是在全闭合奈氏曲线以上计算是在全闭合奈氏曲线(∞< <+∞)下进下进行的，如果是半闭合奈氏曲线行的，如果是半闭合奈氏曲线(0< <+∞) ，则以上结，则以上结果应乘以果应乘以2注意： 三、奈氏判据三、奈氏判据 设奈氏曲线逆时针围绕(-1,j0)点的圈数为R，如果Z=R-P=0则闭环系统稳定，否则系统闭环不稳定。
P—开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数)Z—开环不稳定零点数(开环传函位于s右半平面的 零点数) 用奈氏稳定判据判断系统的稳定性例 一个系统的开环传递函数为 系统稳定 例 系统开环传递函数为 系统不稳定没有极点位于右半s平面，P=0 例 系统开环传递函数为 没有极点位于右半s平面，P=0 四、一种简易的奈氏判据四、一种简易的奈氏判据 （1）正、负穿越的概念）正、负穿越的概念 G(jω)H(jω)曲线对称实轴应用中只画曲线对称实轴应用中只画 部分所谓所谓“穿越穿越”是指是指 轨迹穿过轨迹穿过 段正穿越正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示负穿越：负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示 正穿越正穿越 负穿越负穿越 若若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于轨迹起始或终止于 (1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有同样有+ 1/2 次穿越和次穿越和1/2次穿越。
次穿越 如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1, j0) 一周，则必正穿越一次反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周，则必负穿越一次这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数故奈氏判据奈氏判据又可表述为： 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 由由0变化到变化到 时，时，G(jω)H(jω)曲线在（曲线在（1，，j0））点以左的负实轴点以左的负实轴 上的正负穿越之和为上的正负穿越之和为 P/2 圈 P为开环传递函数在s右半平面的极点数此时 Z=P2N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是闭环系统稳定的充要条件应该是N =0：： 注意：这里对应的ω变化范围是 例例: 某系统某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有轨迹如下，已知有2个开环极点分个开环极点分布在布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
的右半平面，试判别系统的稳定性 解：系统有解：系统有2个开环极点分布在个开环极点分布在s的右半平面（的右半平面（P=2），），G(jω)H(jω)轨迹在点轨迹在点(1, j0)以左的负实轴有以左的负实轴有2次正穿越，次正穿越，1次次负负穿越，因为：穿越，因为：N= , 求得：求得：Z=P2N=22=0 所以系统是稳定系统所以系统是稳定系统 例例: 两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性 解解: (a) : N= N+ - N –=（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系统不稳定 (b) ：K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。
奈氏判据奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：：闭环系统稳定的充要条件是：s s沿着奈氏沿着奈氏路径绕一圈，路径绕一圈，G(jω)H(jωG(jω)H(jω) )曲线逆时针绕（曲线逆时针绕（-1-1，，j0j0））点点P P圈 Z=PZ=PR R P —— 为为G(s)H(s)位于位于s右半平面的极点数；右半平面的极点数； R —— G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（曲线逆时针绕（1，，j0））点圈数；点圈数； Z —— 闭环系统位于闭环系统位于s右半平面的极点数右半平面的极点数 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 由由0变化到变化到 时，时，G(jω)H(jω)曲线在（曲线在（1，，j0））点以左的负实轴上的正点以左的负实轴上的正负穿越之和为负穿越之和为 P/2 圈圈 六、伯德图上的奈氏判据六、伯德图上的奈氏判据 极坐标图极坐标图伯德图伯德图 单位圆0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域0db线以下区域 单位圆以外区域0db线以上区域 负实轴-1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下： 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 由由0变到变到 时，时，在开环对数幅频特性在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性的频段内，相频特性 在在 线上穿越的次数（正穿越线上穿越的次数（正穿越 与负穿越与负穿越 次数次数之差）为之差）为 P为开环传递函数在s右半平面的极点数 若开环传递函数无极点分布在S右半平面即 ，则闭环系统稳定的充要条件是：在闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，的频段内，相频特性相频特性 在在 π线上正负穿越次数代数和为零或者不穿越 线 例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系统不稳定 小小 结结掌握使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性的方法Z=R-P=0时系统稳定P—开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数)R —奈氏曲线围绕(-1,j0)点的圈数 。