《2022高三数学一轮复习第4知识块第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例课件北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022高三数学一轮复习第4知识块第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例课件北师大版（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【考纲下载考纲下载】1.理解平面向量数量理解平面向量数量积积的含的含义义及其物理意及其物理意义义2了解平面向量的数量了解平面向量的数量积积与向量投影的关系与向量投影的关系3掌握数量掌握数量积积的坐的坐标标表达式，会表达式，会进进行平面向量数量行平面向量数量积积的运算的运算4能运用数量能运用数量积积表示两个向量的表示两个向量的夹夹角，会用数量角，会用数量积积判断两个平面向量的垂直判断两个平面向量的垂直关系关系5会用向量方法解决某些会用向量方法解决某些简单简单的平面几何的平面几何问题问题6会用向量方法解决会用向量方法解决简单简单的力学的力学问题问题与其他一些与其他一些实际问题实际问题.第第3 3讲
2、讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例平面向量的数量积及平面向量应用举例第一页，编辑于星期五：五点 六分。1数量数量积积的概念的概念(1)定定义义：两个非零向量：两个非零向量a和和b，它，它们们的的夹夹角角为为，那么，那么叫做叫做a与与b的数量的数量积积，记记作作ab，即，即ab；(2)几何意几何意义义：数量：数量积积ab等于等于a的的长长度与度与b在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos的乘的乘积积【思考】【思考】向量的数量向量的数量积积是一个数量，它的符号是怎是一个数量，它的符号是怎样样确定的？确定的？答案：当答案：当a，b为为非零向量非零向量时时，ab的符号由的符号由夹夹角的余弦来确定
3、；当角的余弦来确定；当00；当；当90180时时，ab0；当；当a与与b至少有一个至少有一个为为零向量或零向量或90时时，ab0.|a|b|cos|a|b|cos第二页，编辑于星期五：五点 六分。2数量积的性质数量积的性质(e是单位向量，是单位向量，a，e)(1)eaae.(2)当当a与与b同向同向时时，ab；当；当a与与b反向反向时时，ab；特；特别别地，地， aa或或|a|.(3)ab . .(4)cos.(5)|ab|a|b|.提示：提示：当当a0，时，时，ab0，但，但ab0时不能得到时不能得到a0或或b0，因为，因为ab时，时，也有也有ab0.|a|cos|a|b|a|b|a|2ab
4、0.第三页，编辑于星期五：五点 六分。3数量数量积积的运算律的运算律(1)abba(2)(a)ba(b)(3)(ab)c.提示：提示：(1)假假设设a、b、c是是实实数，那么数，那么abacbc(a0)；但；但对对于向量，就没于向量，就没有有这样这样的性的性质质，即假，即假设设向量向量a、b、c满满足足abac(a0)，那么不一定有，那么不一定有bc，即等式两即等式两边边不能同不能同时约时约去一个向量去一个向量(2)数量数量积积运算不适合运算不适合结结合律，即合律，即(ab)ca(bc)，这这是由于是由于(ab)c表示一个表示一个与与c共共线线的向量，的向量，a(bc)表示一个与表示一个与a共
5、共线线的向量，而的向量，而a与与c不一定共不一定共线线，因此因此(ab)c与与a(bc)不一定相等不一定相等(ab)acbc第四页，编辑于星期五：五点 六分。4数量数量积积的坐的坐标标运算运算(1)假假设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，那么ab.x2y2x1x2y1y2(4)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，那么ab .x1x2y1y20 .第五页，编辑于星期五：五点 六分。1|a|2，|b|4，ab4，那么，那么a与与b的的夹夹角角为为()A30B60C150D120解析：解析：又又 0，180， 120.答案答案：D第六页，编辑于星期五：五点 六分。2假设向量假设向
6、量a(1,2)，b(1，3)，那么向量，那么向量a与与b的夹角等于的夹角等于()A45B60C120D135又又0，180，135.答案：答案：D第七页，编辑于星期五：五点 六分。3两个非零向量两个非零向量a、b互相垂直，互相垂直，给给出以下各式：出以下各式：ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2；(ab)(ab)0.其中正确的式子有其中正确的式子有()A2个个B3个个C4个个D5个个解析：解析：ab0，正确，正确，ab与与ab方向不同，错误方向不同，错误|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|.正
7、正确确(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正正确确当当|a|b|时时(ab)(ab)0不成立错误，应选不成立错误，应选B项项答案：答案：B第八页，编辑于星期五：五点 六分。4(2021江江苏苏卷卷)向量向量a和向量和向量b的的夹夹角角为为30，|a|2，|b|，那么向量，那么向量a和和向量向量b的数量的数量积积ab_.解析：解析：ab|a|b|cos2cos303.答案：答案：3第九页，编辑于星期五：五点 六分。利利用用数数量量积积求求解解长长度度问问题题是是数数量量积积的的重重要要应应用用，要要掌掌握握此此类类问问题题的的处处理理方方法：法：1a2aa|a|2或或|a|第十页，
8、编辑于星期五：五点 六分。a、b满满足足|ab|ab|，|a|b|1，求，求|3a2b|.思思维维点点拨拨：由：由|ab|ab|平方后平方后寻寻找找ab.解：由解：由|ab|ab|得，得，|ab|23|ab|2，即即(ab)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即即ab，【例例1】第十一页，编辑于星期五：五点 六分。由于两个非零向量由于两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的的夹夹角角为为满满足足0180，所以用，所以用【例【例2】三个向量三个向量a、b、c两两所夹的角都为两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|
9、3，求向量，求向量abc与向量与向量a的夹角的夹角思维点拨：先求思维点拨：先求(abc)a，再求，再求|abc|.第十二页，编辑于星期五：五点 六分。解：由得解：由得(abc)aa2abac12cos1203cos120，设设向量向量abc与向量与向量a的的夹夹角角为为，那么，那么即即150，故向量故向量abc与向量与向量a的的夹夹角角为为150.第十三页，编辑于星期五：五点 六分。1.两个向量平行的充要条件：两个向量平行的充要条件：(1)ab|ab|a|b|ab|a|b|或或ab|a|b|.(2)ab且且a0存在存在实实数数，使，使ba.2两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件
10、两非零向量垂直，那么它两非零向量垂直，那么它们们的数量的数量积积等于等于0.第十四页，编辑于星期五：五点 六分。【例【例3】向量向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量为正实数，向量xa(t21)b，ykab，问是否存在，问是否存在k，t使使xy？假设存在，求出？假设存在，求出k的取值范的取值范围围；假假设设不不存存在在，请说明理由请说明理由.思维点拨：先求思维点拨：先求x、y的坐标，再利用的坐标，再利用xy列方程列方程解：解：xa(t21)b(2t21，t23)，假假设设存在正存在正实实数数k k，t使使xy，整整理理得得tk(t21)10，那那么么满满足足上上述述等等式式的的正
11、正实实数数k，t不不存存在在，所所以以不不存在存在k，t使使xy.第十五页，编辑于星期五：五点 六分。拓展拓展3：本例中的条件不变，假设：本例中的条件不变，假设xy，求，求k的最小值的最小值解：解：a(1,2)，b(2,1)，ab0，又又xy，t为为正正实实数，数，k k2，当且，当且仅仅当当t1时时，k k2，k k的最小的最小值为值为2.第十六页，编辑于星期五：五点 六分。用含有三角函数的坐用含有三角函数的坐标标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联联系通系通过过向量的坐向量的坐标标运算，将向量条件运算，将向量条件转转化化为为三角函数
12、关系是解三角函数关系是解题题的第一的第一层层内容；根据内容；根据题题目目要求，求解余下的三角函数要求，求解余下的三角函数问题问题是解是解题题的第二的第二层层内容利用内容利用这这个分个分层层求解的策略，可求解的策略，可将向量与三角函数的将向量与三角函数的综综合合问题问题化化为为两个根本两个根本问题问题来解决来解决第十七页，编辑于星期五：五点 六分。【例【例4】a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)(1)求证：求证：ab与与ab互相垂直；互相垂直；(2)假设假设kab与与akb的模相等，求的模相等，求(其中其中k为非零实数为非零实数)第十八页，编辑于星期五：五点 六分。(2)解：解：k
13、kab(k kcoscos，k ksinsin)，ak kb(cosk kcos，sink ksin)，2kcos()2kcos()又又k0，cos()0.而而0，.证明：证明：(1)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与与ab互相垂直互相垂直第十九页，编辑于星期五：五点 六分。变式变式4：(2021广东惠州调研广东惠州调研)向量向量a(sin，cos)，b(，1)，其中其中.(1)假设假设ab，求，求sin和和cos的值；的值；(2)假设假设f()(ab)2，求，求f()的值域的值域第二十页，编辑于星期五：五点 六分。即函数即函数f()的的
14、值值域域为为(7,9.第二十一页，编辑于星期五：五点 六分。【方法规律方法规律】1数量积数量积ab中间的符号中间的符号“不能省略，也不能用不能省略，也不能用“来替代来替代2要熟练类似要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律的运算律(、s、tR)3求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，求模的运算转化为向量的数量积的，求模的运算转化为向量的数量积的运算运算4可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运用运用5利利用用向向量量垂垂直直的的充充要要条条件件
15、研研究究几几何何中中线线与与线线垂垂直直的的问问题题，常常建建立立适适当当的的坐坐标标系系，得到简单的向量坐标，减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算得到简单的向量坐标，减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算.第二十二页，编辑于星期五：五点 六分。(12分分)设设向向量量e1，e2，满满足足|e1|2，|e2|1，e1，e2的的夹夹角角为为60，假假设设向向量量2te17e2与向量与向量e1te2的夹角为钝角，求实数的夹角为钝角，求实数t的取值范围的取值范围第二十三页，编辑于星期五：五点 六分。【阅卷实录阅卷实录】第二十四页，编辑于星期五：五点 六分。【教师点评教师点评】第二十
16、五页，编辑于星期五：五点 六分。【标准解答】【标准解答】接上面的解，接上面的解，设设2te17e2(e1te2)(0)，其中其中0向向量量2te17e2与与向向量量e1te2的的夹夹角角为为.实实数数t的的取取值值范范围为围为：第二十六页，编辑于星期五：五点 六分。【状元笔记状元笔记】解题时考虑问题要全面数学试题中往往隐含着一些容易被考生所无视的因素，能解题时考虑问题要全面数学试题中往往隐含着一些容易被考生所无视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如此题中的如此题中的的情况，再的情况，再如当两个向量所成的角为锐角时，要注意夹角等于零的情况如当两个向量所成的角为锐角时，要注意夹角等于零的情况.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十七页，编辑于星期五：五点 六分。
