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1、图形的相似图形的相似 了了解解比比例例的的基基本本性性质质，了了解解线线段段的的比比1 1成成比比例例线线段段，通通过过建建筑筑、艺艺术术上上的的实实例例了了解解黄金分割。黄金分割。 通通过过具具体体实实例例认认识识图图形形的的相相似似，探探索索相相似似图图形形的的性性质质，知知道道相相似似多多边边形形的的对对应应角角相相等等，对对应应边边成成比比例例，面面积积的的比比等等于于对对应应边边比比的平方。的平方。 了了解解两两个个三三角角形形相相似似的的概概念念，探探索索两两个个三角形相似的条件。三角形相似的条件。 了了解解图图形形的的位位似似，能能够够利利用用位位似似将将一一个个图形放大或缩小。
2、图形放大或缩小。 通通过过典典型型实实例例观观察察和和认认识识现现实实生生活活中中物物体体的的相相似似，利利用用图图形形的的相相似似解解决决一一些些实实际际问问题题( (如如利利用用相相似似测测量量旗旗杆杆的的高高度度) )。通通过过实实例例认认识识锐锐角角三三角角函函数数( (sinAsinA，cosAcosA，tanAtanA) )，知知道道30300 0，45450 0，60600 0角角的的三三角角函函数数值值；会会使使用用计计算算器器由由已已知知锐锐角角求求它它的的三三角角函函数数值值，由由已已知知三三角角函函数数值求它对应的锐角。值求它对应的锐角。 运运用用三三角角函函数数解解决决
3、与与直直角角三三角角形形有有关的简单实际问题。关的简单实际问题。 (1)(1)认认识识并并能能画画出出平平面面直直角角坐坐标标系系；在在给给定定的的直直角角坐坐标标系系中中，会会根根据据坐坐标标描描出出点点的的位位置置、由由点点的的位位置置写写出出它它的的坐坐标标。 参见例参见例44 (2)(2)能能在在方方格格纸纸上上建建立立适适当当的的直直角角坐坐标系，描述物体的位置。标系，描述物体的位置。 参见例参见例55 (3)(3)在在同同一一直直角角坐坐标标系系中中，感感受受图图形形变换后点的坐标的变化。变换后点的坐标的变化。 参见例参见例66 (4)(4)灵灵活活运运用用不不同同的的方方式式确确
4、定定物物体体的的位置。位置。 参见例参见例77 图形与坐标图形与坐标 其其中中a,ba,b分分别别叫叫做做这这个个线线段段比比的的前项前项和和后项后项. . 一、线段的比一、线段的比 l1.1.如果选用一个长度单位量得如果选用一个长度单位量得两条线段两条线段a a 、b b 的长度分别为的长度分别为m m 、n n ，那么那么两条线段的比为两条线段的比为a a：b=mb=m：n n或或2.2.在在四四条条线线段段中中, ,如如果果其其中中两两条条线线段段的的比比等等于于另另外外两两条条线线段段的的比比, ,那那么么这这四四条条线段叫做线段叫做成比例线段成比例线段, ,简称简称比例线段比例线段
5、四条线段四条线段a,b,c,da,b,c,d成比例成比例, ,记作记作ab=cd.ab=cd.或或 其中其中a,da,d为为比例外项比例外项;b,c;b,c为为比例内项比例内项. .d d称为称为a,b,ca,b,c的的第四比例项第四比例项特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同, ,即即ab=bc(ab=bc(或表示为或表示为b b2 2=ac=ac),),则线段则线段b b叫叫a,ca,c的的比例中项比例中项3.3.比例基本性质比例基本性质比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰: : 横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘横竖、上
6、下都可比，惟有交叉只能乘. .5.5.等比性质等比性质: :4.4.合比性质合比性质: :l6.6.黄金分割黄金分割如图如图4-5,4-5,点点C C把线段把线段ABAB分成两条线段分成两条线段ACAC和和BC,BC,如果如果 那么称线段那么称线段ABAB被点被点C C黄黄金分割金分割, ,点点C C叫做线段叫做线段ABAB的的黄金分割点黄金分割点, ,ACAC与与ABAB的比的比 ( (或或BCBC与与ACAC的比的比 ) )称为称为黄金比黄金比. .A AB BC Cl1.1.形状相同的图形形状相同的图形l表象：表象：大小不等，大小不等，形状相同形状相同. .l实质：各实质：各对应角对应角
7、相等、各相等、各对应边对应边成比例成比例. .l2.2.相似多边形相似多边形l各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做叫做相似多边形相似多边形. .相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做相相似比似比( (相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关) ). .l3.3.相似多边形相似多边形性质：性质：l相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .l相似多边形周长的比相似多边形周长的比等于相似比等于相似比.二、二、图形的相似图形的相似l相似多边形相似多边形对应对角线对应对角线的比的比等于相似比等于相似比.
8、.w相似多边形相似多边形对应三角形对应三角形相似相似, ,且相似比等于且相似比等于相似多边形的相似多边形的相似相似比比. .w相似多边形相似多边形对应三角形面积对应三角形面积的比的比等于相似多边形的等于相似多边形的相似比的相似比的平方平方. .w相似多边形相似多边形面积的比面积的比等于相等于相似比的平方似比的平方. .l4.4.多边多边形与三角形形与三角形l三角形是边数最少的多边形三角形是边数最少的多边形. .l相似相似三角形可类比相似多边形来学习三角形可类比相似多边形来学习. .l5.5.相似三角形相似三角形l三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角
9、形叫做角形叫做相似三角形相似三角形. .相似三角形对应边的比叫相似三角形对应边的比叫做做相似比相似比( (相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).).l6.6.相似三角形相似三角形性质：性质：l相似三角形的相似三角形的对应角相等对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .l相似三角形对应相似三角形对应中线中线的比的比,对应角对应角平分线平分线的比，的比，对应对应高高的比的比,对应对应周长周长的比都的比都等于相似比等于相似比.l相似三角形面积的比相似三角形面积的比等于相似比的平方等于相似比的平方.l7.7.相似相似三角形与三角形与全等全等三角形的三角形的关系关系：l相似比等于相似比等于
10、1 1的两个三角形全等的两个三角形全等. .l若若ADEABC,ADEABC,则则lDAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.DAE=BAC,ADE=ABC,AED=ACB.l8.8.两个极具代表性的两个极具代表性的益智益智“模型模型”： “A A”型型和和“X X” 型相似三角形型相似三角形. .ABCDEEDCBAl1.1.定理定理 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似. .l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或或其延长线其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似; ;l如图如图
11、: :如果如果DEBC,DEBC,那么那么A A三、三、三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法l2.2.推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或或其延长线其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似; ;l如图如图: :如果如果DEBC,DEBC,那么那么A Al3.3.推论推论2 2 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (或或其延长线其延长线),),所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例. .如果如果DEBCDEBC，ABCDEADEBCEDCBAl4.4.定理定理 三边对应成比例的两个三
12、角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. .l5.5.定理定理 两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三且夹角相等的两个三角形相似角形相似; ;l6.6.定理定理 斜边直角边对应成比例的两个直角三斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似角形相似. .l7.7.模型模型“双垂直双垂直”三角形三角形ABCDlACDCBDABC.ACDCBDABC.l认识结论认识结论:A=DCB;B=ACD; :A=DCB;B=ACD; l直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形与原三角形相似. .三、三、相似图形的特例相似图
13、形的特例图形的位似图形的位似l1.1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组对应顶点所而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点在的直线都经过同一个点, ,那么这样的两个图形那么这样的两个图形叫做叫做位似图形位似图形, ,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心, ,这时的相似这时的相似比又称为比又称为位似比位似比. .l2.2.性质：性质：l位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比离之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似图形如何作位似图形( (放大放大) ). .l5.5.体会位似图形何时为体会位
14、似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像. .l4.4.如何作位似图形如何作位似图形( (缩小缩小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFPl6.6.如图如图, ,添加一个条件添加一个条件, ,使则使则ABCAED,ABCAED,则这则这条件可以是条件可以是 . . l7.7.如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中, ,底底边边BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四边形四边形PQRSPQRS是矩形形是矩形形. .w(1)(1)ASRASR与与ABCABC相似吗相似吗? ?为什么为什么? ?w(2)(2)求矩形求矩形PQRS
15、PQRS的边长的边长. .AEDCBABCSREPD Ql1.1.正切的定义正切的定义: :如图如图: : RtABCRtABC中中, ,锐角锐角A A的对的对边与邻边的比叫做边与邻边的比叫做A A的的正切正切, ,记作记作tanAtanA, ,即即l2.2.余切的定义余切的定义: :AA的的正正切的倒数叫做切的倒数叫做A A的的余切余切, ,即即RtABCRtABC中中, ,锐角锐角A A的邻的邻边与对边的比叫做边与对边的比叫做A A的的余切余切, ,记作记作cotAcotA, ,即即四、直角四、直角三角形的边角关系三角形的边角关系l3.3.坡面与水平面的坡面与水平面的夹角夹角()()称为称
16、为坡角坡角, ,坡坡面的铅直高度与水平面的铅直高度与水平宽度的比称为宽度的比称为坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡度等于坡度等于坡角的正切坡角的正切. .ABCA的对边A的邻边il4.4.正弦的定义正弦的定义: :在在RtABCRtABC中中, ,锐角锐角A A的对边与的对边与斜斜边的比叫做边的比叫做A A的的正正弦弦, ,记作记作sinAsinA, ,即即l5.5.余弦的定义余弦的定义: :在在RtABCRtABC中中, ,锐角锐角A A的的邻邻边边与与斜斜边的比叫做边的比叫做A A的的余余弦弦, ,记作记作cosAcosA, ,即即l6.6.锐角锐角A A的正弦的正弦, ,余弦
17、余弦, ,正切和余切都叫做正切和余切都叫做A A的的锐角锐角三角函数三角函数. .l sinA,cosA,sinA,cosA,tanA,cotAtanA,cotA是在直角三角形中定义是在直角三角形中定义的的( (注意数形结合注意数形结合, ,构造构造直角三角形直角三角形).).它的实质它的实质是一个比值是一个比值其大小只与其大小只与A A的大小有关的大小有关. .ABCA的对边A的邻边l7.7.互余两角互余两角之间的三角函数关系：之间的三角函数关系：l sinAsinA= =cosBcosB, ,或或sinBsinB= =cosAcosA. .l一个锐角的正弦等于它的余角的余弦一个锐角的正弦等
18、于它的余角的余弦, ,即即l cosAcosA= =sinBsinB, ,或或cosBcosB= =sinAsinA. .l一个锐角的余弦等于它的余角的正弦一个锐角的余弦等于它的余角的正弦, ,即即l tanAtanA= =cotBcotB, ,或或tanBtanB= =cotAcotA. .l一个锐角的正切等于它的余角的余切一个锐角的正切等于它的余角的余切, ,即即l cotAcotA= =tanBtanB, ,或或cotBcotB= =tanAtanA. .l一个锐角的余切等于它的余角的正切一个锐角的余切等于它的余角的正切, ,即即l8.8.同角同角之间的三角函数关系：之间的三角函数关系：
19、l平方和关系平方和关系: :sinsin2 2A A+cos+cos2 2A A=1.=1.lABCabc商商的关的关系系: :l9.9.特殊角特殊角( (30300 0,45,450 0,60,600 0角角) )的三角函数值的三角函数值. .l10.10.三角尺三角尺三边之间的比值关系三边之间的比值关系: :特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表三角函数三角函数锐角锐角正弦正弦sinsin余弦余弦coscos正切正切tantan余切余切cotcot30300 045450 060600 03006004504501211l11.11.三角函数的有关计算：三角函数的有关计算：l由锐角求三角
20、函数值由锐角求三角函数值. .l由锐角的三角函数值由锐角的三角函数值反求锐角反求锐角. .l运用运用特殊角特殊角( (30300 0,45,450 0,60,600 0角角) )的三角函数值和的三角函数值和计算器进行计算计算器进行计算. .l由于计算器的型号与功能的不同由于计算器的型号与功能的不同, ,按相应的按相应的说明书使用说明书使用. .l12.12.解直角三角形：解直角三角形：l工具工具: : a2+b2=c2. A+B=900.ll类型类型:已知一边一角解三角形已知一边一角解三角形; ;已知两边解已知两边解三角形三角形. . bABCac13.13.几种模型：几种模型：根据图中所示数值求根据图中所示数值求ADADw1.w5.w4.w14.14.三角函数的应用三角函数的应用w(1)(1)解直角三角形应用题解直角三角形应用题; ;w(2)(2)测量物体的高度测量物体的高度. .ABCaDCBAD20300450w3.600450ABC20D300600ABCD20ABC4503004cmDw2.能力测试能力测试独立作业独立作业
