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1、 信心源自于努力信心源自于努力 结合近几年中考试题分析，对圆的认识这结合近几年中考试题分析，对圆的认识这部分内容的考查主要有以下特点：部分内容的考查主要有以下特点： 1.1.命题方式为圆的有关概念和性质命题方式为圆的有关概念和性质, ,垂径定理及其应用垂径定理及其应用, ,与圆有关的角的性质及其应用与圆有关的角的性质及其应用, ,在考查时主要以填空题、选在考查时主要以填空题、选择题的形式出现，不会有繁杂的证明题，取而代之的是简单择题的形式出现，不会有繁杂的证明题，取而代之的是简单的计算题和开放探索题的计算题和开放探索题. . 2. 2.命题的热点为圆的有关性质的应用命题的热点为圆的有关性质的应
2、用, ,利用垂径定理进利用垂径定理进行证明或计算行证明或计算. . 1. 1.学习本讲知识学习本讲知识, ,要注意分类讨论思想的运用要注意分类讨论思想的运用, ,如求弦所如求弦所对的圆周角的度数问题对的圆周角的度数问题, ,求圆内两条弦之间的距离问题等求圆内两条弦之间的距离问题等. . 2. 2.“垂径定理垂径定理”联系着圆的半径联系着圆的半径( (直径直径) )、弦长、圆心和、弦长、圆心和弦心距，通常结合弦心距，通常结合“勾股定理勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，来寻找三者之间的等量关系，所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线是过圆所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线是过
3、圆心作弦的垂线段，连接半径构造直角三角形，把垂径定理和心作弦的垂线段，连接半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来：有直径时，常常添加辅助线构造直径上勾股定理结合起来：有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题的圆周角，由此转化为直角三角形的问题. .圆心角与圆周角圆心角与圆周角1.1.圆周角与圆心角是密切联系的一个整体，实现了圆中角的圆周角与圆心角是密切联系的一个整体，实现了圆中角的转化，知其一，可求其二转化，知其一，可求其二. .2.2.圆周圆周( (或心或心) )角与它所对弧常互相转化，即欲求证圆周角与它所对弧常互相转化，即欲求证圆周( (或或心心)
4、)角相等，可转化为证角相等，可转化为证“圆周圆周( (或心或心) )角所对的弧相等角所对的弧相等”. .弧弧相等的条件可转化为它们所对的圆周相等的条件可转化为它们所对的圆周( (或心或心) )角相等的结论角相等的结论. .3.3.半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角为直角，所对的圆周角为直角，9090的圆周角所对的的圆周角所对的弦是直径，所以常把圆的直径与弦是直径，所以常把圆的直径与9090的圆周角联系在一起，的圆周角联系在一起，进行角或弦的等量代换，即通过添加一弦，构造直径所对的进行角或弦的等量代换，即通过添加一弦，构造直径所对的圆周角，进行论证或计算圆周角，进行论证或计算. .【例
5、【例1 1】(2010(2010眉山中考眉山中考) )如图，如图，AA是是OO的圆周角，的圆周角，A=40A=40，则，则OBCOBC的度数为的度数为_._.【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】A=40A=40,BOC=2A=80,BOC=2A=80, ,OB=OC,OBC=OB=OC,OBC=答案：答案：50501.(20111.(2011成都中考成都中考) )如图，若如图，若ABAB是是OO的直径，的直径，CDCD是是OO的弦，的弦，ABDABD5858，则，则BCDBCD( )( )(A)116(A)116 (B)32 (B)32(C)58(C)58 (D)64 (D)64【解析
6、【解析】选选B.ABB.AB是直径，是直径，ADBADB9090，AA9090- -ABDABD3232，BCDBCDAA3232. .2.(20112.(2011温州中考温州中考) )如图，如图，ABAB是是OO的的直径，点直径，点C C，D D都在都在OO上，连结上，连结CACA，CBCB，DCDC，DB.DB.已知已知D=30D=30，BC=3BC=3，则，则ABAB的的长是长是_._.【解析【解析】ABAB是是OO的直径，的直径，所以所以ACB=90ACB=90( (直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角) )，又又A=D=30A=D=30，AB=2BC=6(AB=2BC=6(直
7、角三角形中，直角三角形中，3030角所对角所对的直角边等于斜边的一半的直角边等于斜边的一半).).答案：答案：6 63.(20103.(2010淮安中考淮安中考) )如图，已知点如图，已知点A A，B B，C C在在OO上，上，ACOB,BOC=40ACOB,BOC=40, ,则则ABO=_.ABO=_.【解析【解析】由同弧上的圆周角等于该弧上圆心角的一半，所由同弧上的圆周角等于该弧上圆心角的一半，所以以BAC= BOC= BAC= BOC= 4040=20=20，又，又ACOB,ACOB,所以所以ABO=ABO=BAC=20BAC=20. .答案：答案：2020垂径定理垂径定理垂径定理建立了
8、圆心、弦、弧之间的关系，即在圆中的一条垂径定理建立了圆心、弦、弧之间的关系，即在圆中的一条直线满足条件：直线满足条件：(1)(1)过圆心；过圆心；(2)(2)垂直于弦；垂直于弦；(3)(3)平分弦；平分弦；(4)(4)平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；(5)(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .对于以上五条，对于以上五条，只要其中任意两条成立，那么其余三条也成立，特别当只要其中任意两条成立，那么其余三条也成立，特别当(1)(3)(1)(3)成立时，必须对另一条弦增加不是直径的限制条件成立时，必须对另一条弦增加不是直径的限制条件. .【例【例2 2】(2011(2011江西中考江西中考)
9、 )如图，已知如图，已知OO的的半径为半径为2 2，弦，弦BCBC的长为的长为 点点A A为弦为弦BCBC所对所对优弧上任意一点优弧上任意一点(B(B，C C两点除外两点除外).).(1)(1)求求BACBAC的度数；的度数；(2)(2)求求ABCABC面积的最大值面积的最大值. .( (参考数据：参考数据： ) )【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】(1)(1)过点过点O O作作ODBCODBC于点于点D D，连接，连接OC.OC.因为因为又又OC=2OC=2，所以，所以sinDOCsinDOC= =所以所以DOC=60DOC=60. .又又ODBCODBC，所以，所以BAC=DOC
10、=60BAC=DOC=60. .(2)(2)因为因为ABCABC中的边中的边BCBC的长不变，所以的长不变，所以BCBC边上的高最大时，边上的高最大时，ABCABC的面积取最大值，即点的面积取最大值，即点A A是是 的中点时，的中点时，ABCABC的面的面积取最大值积取最大值. .因为因为BAC=60BAC=60，所以，所以ABCABC是等边三角形，设是等边三角形，设ADAD为为ABCABC中中BCBC边上的高，则在边上的高，则在RtADCRtADC中，中，4.(20114.(2011浙江中考浙江中考) )如图，如图，A A点是半圆上的点是半圆上的一个三等分点，一个三等分点，B B点是点是 的
11、中点，的中点，P P点是点是直径直径MNMN上一动点，上一动点，OO的半径为的半径为1 1，则，则AP+BPAP+BP的最小值为的最小值为( )( )【解析【解析】选选C.C.作点作点B B关于关于MNMN的对称点的对称点BB，连接连接ABAB，交，交MNMN于点于点P P，连接，连接OBOB，此时，此时AP+BPAP+BP最小，且最小，且AP+BP=AB.AP+BP=AB.由由A A为半圆的三等分点可得为半圆的三等分点可得AON= AON= 180180=60=60.BON= AON=30.BON= AON=30, ,所以所以AOB=90AOB=90，又又OA=1OA=1，OB=1.OB=1
12、.所以所以AB=AB=即即AP+BPAP+BP的最小值为的最小值为5.(20115.(2011福州中考福州中考) )如图，顺次连结圆如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形内接矩形各边的中点，得到菱形ABCDABCD，若若BDBD6,DF6,DF4,4,则菱形则菱形ABCDABCD的边长为的边长为 ( )( )(A) (B)(A) (B)(C)5 (D)7(C)5 (D)7【解析【解析】选选D.D.如图，此图形为轴对称图形，故如图，此图形为轴对称图形，故BEBEDFDF4,4,所所以以EFEF14,14,即圆的直径为即圆的直径为14,14,连接连接MNMN，因为，因为PP9090，所以，所
13、以MNMN为为OO的直径，所以的直径，所以MNMN14,14,又又B B、C C分别为分别为MPMP、PNPN的中点，所的中点，所以以BCBC为为MNPMNP的中位线，所以的中位线，所以BCBC MNMN7,7,即菱形即菱形ABCDABCD的边的边长长为为7.7.6.(20116.(2011绍兴中考绍兴中考) )一条排水管截面如图一条排水管截面如图所示，已知排水管的截面圆半径所示，已知排水管的截面圆半径OB=10OB=10，截面圆圆心截面圆圆心O O到水面的距离到水面的距离OCOC是是6 6，则水，则水面宽面宽ABAB是是( )( )(A)16 (B)10(A)16 (B)10(C)8 (D)
14、6(C)8 (D)6【解析【解析】选选A.A.由勾股定理可得由勾股定理可得BC=8BC=8，由垂径定理可得，由垂径定理可得AB=2BC=16.AB=2BC=16.缜密思考分类全面不漏解缜密思考分类全面不漏解圆中一条弦所对的弧有两条，圆内两条平行的弦与圆心的位圆中一条弦所对的弧有两条，圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种情况，因此，在解决相关问题时，要缜密分析，置关系有两种情况，因此，在解决相关问题时，要缜密分析，全面思考，将可能出现的情况逐一进行分类，讨论解答，不全面思考，将可能出现的情况逐一进行分类，讨论解答，不要漏解要漏解. .【例】【例】(2011(2011凉山中考凉山中考) )如图，
15、如图，AOB=100AOB=100，点点C C在在OO上，且点上，且点C C不与不与A A、B B重合，则重合，则ACBACB的的度数为度数为( )( )(A)50(A)50 (B)80 (B)80或或5050(C)130(C)130 (D)50 (D)50或或130130【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】选选D.D.由圆周角与圆心角的关系可得，当点由圆周角与圆心角的关系可得，当点C C在在劣劣弧弧 上时，上时，ACB=130ACB=130, ,当点当点C C在优弧在优弧 上时，上时，ACB=50ACB=50. .(2010(2010襄樊中考襄樊中考) )已知已知OO的半径为的半径为
16、13 cm13 cm，弦，弦ABCD,ABCD,AB=24 cmAB=24 cm，CD=10 cmCD=10 cm，则，则ABAB、CDCD之间的距离为之间的距离为( )( )(A)17 cm (B)7 cm (C)12 cm (D)17 cm(A)17 cm (B)7 cm (C)12 cm (D)17 cm或或7 cm7 cm【解析【解析】选选D.D.过点过点O O作作ONCDONCD于点于点N N，交，交ABAB于点于点M M，连接，连接OBOB、ODOD，弦弦ABCD,OMAB,OB=OD=13 cmABCD,OMAB,OB=OD=13 cm，BM= AB=12cmBM= AB=12c
17、m，DN= CD=5 cmDN= CD=5 cm，根据勾股定理得，根据勾股定理得ON=12 cmON=12 cm，OM=5 cmOM=5 cm，分两，分两种种情况，如图，当弦情况，如图，当弦ABAB、CDCD在圆心在圆心O O同侧时，则同侧时，则MN=ON-OM=MN=ON-OM=7 cm7 cm；当弦；当弦ABAB、CDCD在圆心在圆心O O异侧时，则异侧时，则MN=ON+OM=17 cm.MN=ON+OM=17 cm.故选故选D.D.1.(20091.(2009兰州中考兰州中考) )如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形( (劣弧劣弧) )，其跨度为，其跨度为24
18、24米米, ,拱的半径为拱的半径为1313米，则拱高为米，则拱高为( )( )(A)5(A)5米米 (B)8(B)8米米 (C)7(C)7米米 (D) (D) 米米【解析【解析】选选B.B.因为圆拱的半径为因为圆拱的半径为1313米，米，AD=12AD=12米，所以圆心米，所以圆心到到D D的距离为的距离为5 5米，所以拱高为米，所以拱高为13-5=8(13-5=8(米米).).2.(20102.(2010毕节中考毕节中考) )如图，如图，ABAB为为OO的弦，的弦，OO的半径为的半径为5 5，OCABOCAB于点于点D D，交，交OO于点于点C C，且，且CD=1CD=1，则弦，则弦ABAB
19、的长是的长是_._.【解析【解析】如图所示，连接如图所示，连接OBOB，则，则OB=5OB=5，OD=4OD=4，利用勾股定理求得，利用勾股定理求得BD=3BD=3，因为，因为OCABOCAB于点于点D D，所以，所以AD=BD=3AD=BD=3，所以，所以AB=6.AB=6.答案：答案：6 63.(20103.(2010昆明中考昆明中考) )半径为半径为r r的圆内接正三角形的边长为的圆内接正三角形的边长为_.(_.(结果可保留根号结果可保留根号) )【解析【解析】如图，设如图，设OA=r,ODABOA=r,ODAB于于D.D.则有则有OAD=30OAD=30,AD=OA,AD=OAcosO
20、ADcosOAD= =AB=2AD=AB=2AD=答案：答案：4.4.(2010(2010荆门中考荆门中考) )在在OO中直径为中直径为4 4，弦，弦AB= AB= 点点C C是圆上是圆上不同于不同于A A、B B的点，那么的点，那么ACBACB的度数为的度数为_._.【解析【解析】如图，作如图，作ODABODAB于于D D，则则OA=2OA=2，AD= AB=AD= AB=sinAODsinAOD= =AOD=60AOD=60, ,当点当点C C在优弧在优弧 上时，上时，ACB=AOD=60ACB=AOD=60; ;当点当点C C在劣弧在劣弧 上时，上时，ACB= (360ACB= (360
21、-60-602)=1202)=120. .答案：答案：6060或或1201205.(20105.(2010邵阳中考邵阳中考) )如图，在等边如图，在等边ABCABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的OO与与BCBC相相交于点交于点D D，连结，连结ADAD，则，则DACDAC的度数的度数为为_._.【解析】【解析】由由ABAB为为OO的直径，的直径，ADAD为弦为弦, ,得得ADB=90ADB=90, ,即即ADBC,ADBC,又因为又因为ABCABC为等边三角形，所以为等边三角形，所以ADAD平分平分BACBAC，所以，所以DAC= BAC=30DAC= BAC=30. .答案答案: :3
22、0306.(20106.(2010南通中考南通中考) )如图，如图，OO的直径的直径ABAB垂直于弦垂直于弦CDCD，垂足，垂足P P是是OBOB的中点，的中点，CDCD6 cm6 cm，求直径，求直径ABAB的长的长. .【解析】【解析】连接连接OCOC，OO的直径的直径ABAB垂直于弦垂直于弦CDCD，且，且P P为为OBOB的中的中点，即点，即ABCDABCD，且，且ABAB平分平分CDCD，设，设OPOP为为x cmx cm，所以有：，所以有：诲诲人人不不倦倦悟性的高低取决于有无悟悟性的高低取决于有无悟“心心”, ,其实其实, ,人与人的差别就在于你人与人的差别就在于你是否去思考是否去思考, , 去发现，去总结。去发现，去总结。下课了!恒谦教育教学资源库恒谦教育教学资源库恒谦教育教学资源库恒谦教育教学资源库教师备课、备考伴侣教师备课、备考伴侣教师备课、备考伴侣教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设专注中国基础教育资源建设专注中国基础教育资源建设专注中国基础教育资源建设
