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1、巧用二次求导解决函数单调性和极值问题导 言在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求的零点；列出的变化关系表；根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。一二一二阶导数与凸性数与凸性一二一二阶导数与凸性数与凸性定定义1.1.设在区在区间II上上连续
2、，如果，如果对II上任意两点上任意两点与与，恒有恒有，那么称，那么称 在在II上的上的图形是凹的；形是凹的；如果恒有如果恒有，那么称，那么称 在在II上的上的图形是凸的；形是凸的；定理定理11设在在上上连续，在，在内可内可导，那么：，那么：（1 1）若在）若在内内单调增加，增加，则在在上的上的图形形是凹的；是凹的；（2 2）若在）若在内内单调减少，减少， 则在在上的上的图形是凸的；形是凸的；一二一二阶导数与凸性数与凸性定理定理22设在在上上连续，在，在内二内二阶可可导，那么：，那么：（1 1）若在）若在内内，则在在上的上的图形是凹的；形是凹的；（2 2）若在）若在内内，则在在上的上的图形是凸的
3、形是凸的 凸性作凸性作为函数的一种重要性函数的一种重要性质, ,其准确刻画需要涉及到高等数学其准确刻画需要涉及到高等数学中的二中的二阶导数等知数等知识,因此因此,它不属于高中数学的研究范畴它不属于高中数学的研究范畴,但是但是,近年来的高考近年来的高考试题中有中有许多与二多与二阶导数的凸性有关的高考数的凸性有关的高考题。凹凸性是函数凹凸性是函数图像的主要形状之一。像的主要形状之一。结合合的的关系可以方便地判断一个函数与其关系可以方便地判断一个函数与其导函数函数图像的关系。像的关系。二二二二阶导数与极数与极值二二二二阶导数与极数与极值在高中，判断函数是否在在高中，判断函数是否在 取得极取得极值，经
4、常是利用函数常是利用函数导数数在在 两两侧的符号来判断。的符号来判断。实际上，上，还可以利用二可以利用二阶导数的符号数的符号来判断来判断 是否是否为函数的极函数的极值点。有如下的判定定理：点。有如下的判定定理：定理定理3 3设函数函数在点在点处具有二具有二阶导数且数且，那么，那么 （1 1）当当时，函数，函数 在在处取得极大取得极大值； （2 2）当当时，函数，函数 在在处取得极小取得极小值典型例题讲解例题1、已知函数 ，求函数 的单调区间。解： 的定义域是 .设则典型例题讲解当当时所以函数上是减函数.当当所以，函数 的单调递增区间是 ，递减区间是 . 典型例题讲解例题2、设函数（）若求 的单
5、调区间；（）若当 时，。求 的取值范围。典型例题讲解（2）、解：当 a 0时，在区间 上显然 ，综上(1)可得在区间 上 成立。故 a 0满足题意。当 a0 时， ， ，显然 ， 当 在区间 上大于零时， 为增函数， ，满足题意。而当 在区间 上为增函数时， ，也就是说，要求 在区间 上大于等于零，又因为 在区间 上为增函数，所以要求 ，即 ，解得 。综上所述，a 的取值范围为 。典型例题讲解例题3、已知函数 .（）若 ，求 的取值范围；（）证明： 解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 去分析 的单调性
6、受阻。典型例题讲解我们可以尝试再对 求导，可得 ，显然当 时， ；当 1 时， 0 ，即 在 区间 上为减函数，所以有当 0x 时， ，我们通过二次求导分析 的单调性，得出当0x 时 ，则 在区间 上为增函数，即 ，此时， 则有 成立。下面我们在接着分析当 1x 时的情况，同理，当 1 x时， 0，即 在区间 上为增函数，则 ，此时， 为增函数，所以 ，易得 也成立。综上， 得证。 典型例题讲解例题4、设a 为实数，函数 。（）求 的单调区间与极值；（）求证：当 a 且x 0时， 。（）解：设 ，则： 0+ 减减 极小值极小值 增增 谢谢 谢！谢！放映结束 感谢各位批评指导！让我们共同进步本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
