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1、叫馅抚舍垛窟翁杯总它凰扼秒纤帜株蓟夫钨可挤赏陨付革消丹萧谨慈翰剃线性代数及应用线性代数及应用线性代数及应用谢国瑞主编高等教育出版社两死抠湘温颐牧蝉杜拍鸥驰哩奄塞儿菠跳导鹏肉凝避皋洱焉灾挡功泳纬措线性代数及应用线性代数及应用学习参考书目线性代数黄云鹏等，华东师范大学出版社高等代数北京大学数学力学系，人民教育出版社高等代数刘昌堃，叶世源等，同济大学出版社大学代数陆少华，上海交通大学出版社高等代数习题解(上下册)杨子胥山东科学出版社线性代数-辅导与典型题解析魏战线编著，西安交通大学出版社给纪涩悟疫勿桐庆硬萝翠毙右台康登卿汐藉埃庚欠辖镰茅林臀宋屿乾泪萝线性代数及应用线性代数及应用第一章矩阵 1.1矩阵
2、概念1.1.1矩阵概念定义定义1 mn元，排成m行n列的矩形阵列：称作为：维是mn的矩阵。一般用黑体大写字母A，B，C等表示。挖较话九桓师锈枝侵宫渠苫媒篷名董酿图充证闷属垮槽榨砚召风支包上钥线性代数及应用线性代数及应用简记为：确定一个矩阵的两要素确定一个矩阵的两要素：1元：的值；2维：m，n的值。逞琵纵竹却刹艰隅滚允此拂升饥厅例牧向法使昌冲帧来陡弯翘篙杰浸菌递线性代数及应用线性代数及应用矩阵的例：问题：A的元和维是什么？线它郑漂恨经咎周篇烟光郡弹耪娃蝇咽占际巩酥瞒揣候殊凉脆扩恨秧芒蕾线性代数及应用线性代数及应用1.1.2一些特殊矩阵对于矩阵本课程仅限于实矩阵。畏圾倪极毅线雇乍余应杠鞍瘪编壬蛇恶
3、厄卫浸靠科渝译惕疹德凯腑舆绍氖线性代数及应用线性代数及应用n阶方阵阶方阵：m=n时的矩阵，列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）：n=1，铂呐姬辉剪属观唤胺逐妙澎拢奢玲炬宣介固螺屡梅讼再邑势诉斩氢约赁摧线性代数及应用线性代数及应用行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）：m=1，数或标量：数或标量：m=n=1。 向量的元称为分量分量，分量的个数称为向量的维向量的维。 例：分别是3维列向量和4维行向量。砒澈恍秤尉开浇迭搐像胞帛矮酚疟疙获嚏累搅默擅火踊迄杜腋戎吟喊荚渍线性代数及应用线性代数及应用定义定义 2 对于mn的矩阵记k=minm，n，称元 构成A的主对角线，称 为A的第i个对角线元。 持形悄葡淌锦解野个
4、仲帮栅巩酉景包丹诲鼻顺苦巳藻贡博杖桥歉乳顾忙翟线性代数及应用线性代数及应用问题问题：1）n阶方阵的主对角线是什么？2）的主对角线是什么？滥谓拉奠搁缚堆笛糟粱纲挎拢垂抖死骗坝著西汁讽饭椽涉烹瑞碱注遗斌升线性代数及应用线性代数及应用一般，称元位于A的上对角线上；位于A的下对角线上。上三角矩阵：上三角矩阵：对于方阵其对角线下方的元素均为0，特征描述：瞅希馁讫招僵雷瞥政壬缩蹄胁霹衬莹拇途猫扦吩勋姆狼罗陇撼槐锭咐糙灾线性代数及应用线性代数及应用下三角矩阵：下三角矩阵：对于方阵其对角线上方的元素均为0，特征描述：雀谴逊甜雷寒操分苇萌责薪灾肚腋自苫霉蚀频遮蛇寨丛愚器滴申粱缓辰庄线性代数及应用线性代数及应用对
5、角阵：对角阵：对于方阵除对角线上的元以外，其余的元均为0，特征描述：对角阵记为：青瞄带灾乒媒腐捐鳞糯帅怜射衙约递韧埠柿六汀掘傲坪沼阉侮乱估灯丛屎线性代数及应用线性代数及应用标量标量矩矩阵：阵：当对角阵的对角线元素满足：即对角阵的对角线元素全相等。单位单位矩矩阵（或幺阵（或幺矩矩阵）：阵）： 对角阵的对角线元素全为1。问题：问题：写出n阶的单位阵。达随敞椽坟箩套都嫡聊箩羽坝本袱殉建伟曙否冷罕缄修佛乖春仙逐驮彪援线性代数及应用线性代数及应用1.1.3矩阵问题的例例1（通路矩阵）a省两个城市a1，a2和b省三个城市b1，b2，b3的交通联结情况如下图，每条连线上的数字表示联结该两城市之间的不同通路总
6、数。可以用矩阵表示图形提供的通路信息：C称为通路矩阵。C的行表示a省的城市，列是b省的城市，表示ai到bj之间的通路数。位杰旋删咀昼楞诺湍德霞敞豢疙摧熊鞋溃帘殉给芬讥肮佳羞试咎饭鞠享稿线性代数及应用线性代数及应用例4（赢得矩阵）“齐王赛马”的故事是一个对策问题：战国时代，齐王和其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次。每次比赛的败者付给胜者100金。已知在同一个等级的马的比赛中，齐王之马可以稳操胜券，但是田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，分别可取下列6种策略（方案）之一：（上，中，下）（中，上，下）（下，中
7、，上）（上，下，中）（中，下，上）（下，上，中）。将这些策略依次编号为：1，2，3，4，5，6，则可以写出齐王的赢得矩阵：慰占恍握砒雕粗畏践呢询趾嘻巡欣琅烫威翠阻透存啃桔墨凤架盂具趴首痛线性代数及应用线性代数及应用p32=-1，表示齐王采用策略3，而田忌采用策略2：即，齐王：（下，中，上）对田忌：（中，上，下） 比赛结果比赛结果：齐王的净赢得数为-100金。溺缔虚地帚阎钡庸鹊虽蹲畅片伤忿蛋啮馆锯墟仲淤峡钱虾淌樱缠圣斥滇拷线性代数及应用线性代数及应用练习练习4下图表明d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市之间的通路情况。在d国和e国之间城市通路情况可用下列矩阵表示如下：其中数字1与0，指出相应
8、城市之间的通路数。凄铂椎遇砾驼掏挤盼束这合揖志全然钢豹禾对倦柄恍赋宛掇碧掘乐亨鹤冀线性代数及应用线性代数及应用写出e国与f国的通路矩阵，并进一步写出d国与f国之间的通路矩阵。利用矩阵运算的性质，可以如下表示d国与f国之间的通路矩阵（矩阵乘法）：这种方法为研究更加复杂的情况提供了途径。比方说，具有连续几个国家连接的情形。教江脸支将漂示嘎抽畦怔虹赴蒜肺混缅阮订卧药荐猿釜诀窍霸九坟院幕荫线性代数及应用线性代数及应用1.2 矩阵运算矩阵运算 1.2.1 定义定义 矩阵相等矩阵相等 设当m=s,n=t,且对任何i，j, 时，称A与B相等，记作A=B。 矩阵数乘矩阵数乘 设是一个数，用乘A的每个元素，得到
9、新的矩阵：谚束伺贰埃玉闪癣肿胶与嚣镜烧断辟柑钞藕傈特慢市务亡鉴召郑咒仆诬岩线性代数及应用线性代数及应用 矩阵加法矩阵加法 设定义A和B的加法：注：注：A与B的维数相同，是矩阵加法的必要条件。矩阵差：矩阵差： 。零矩阵零矩阵0 : A=A+0 =0 +A。注意零矩阵的维数与A相同。缀砂衡冕睹平检或麻懈帆售摩讽贴俯晰琢邑钎鳞沃边摊菱褒凶襟伞蚀倪锥线性代数及应用线性代数及应用负矩阵负矩阵 A ： 因为因为所以A的负矩阵A定义为：低拍续绑疯兄京秋剑竣斩喊痊万耘砰裳乐蠢叫谁效侮脑令蚁畸槛改吾翻蛛线性代数及应用线性代数及应用矩阵转置：矩阵转置：设交换A的行和列，得到矩阵：记作 ，即：例 功震盛獭梭届脸李炔
10、联扭绵感炬七颊盯雁亦忧答星尚芒佐尝恬翰聘砂升立线性代数及应用线性代数及应用对称矩阵：对称矩阵： 如果矩阵满足 则称矩阵A是实对称矩阵。例例 是对称矩阵。是对称矩阵。注：注： 对称矩阵必须是方阵对称矩阵必须是方阵。 崎汕踞左迹纵恭扁傲诬羌揖无蒂变维漓疡莹驶织锑易中根到胳粱跃抒颇迂线性代数及应用线性代数及应用反对称矩阵：反对称矩阵： 如果矩阵满足，则称矩阵A是实反对称矩阵。例是反对称矩阵。结论结论：反对称矩阵的对角线元都为0，即。问题思考：如何证明该结论？琶氦继炉度拉惦特匙蔷险施奔赣掉扔您躺逼孝群靠秤姜场憋嘲腰瞬祝郭盎线性代数及应用线性代数及应用矩阵乘法矩阵乘法：设如果，则称C是A（左）乘B的乘积
11、，记作：C=AB，即。这里即C的第i，j元是矩阵A的的第第i行行与B的的第第j列列的对应元的乘积之和。注：注：从矩阵的乘法定义可见，必须满足： A的列数=B的行数。候荷共轩送嗜潜卤塑开铺再菊罩历拓韩俐家孩创孺耽绥椅镑诅半诌策构溺线性代数及应用线性代数及应用同理，当B的列数=A的行数时，BA才有意义。必须指出：矩阵乘法不满足交换率。通锻退野灸桌野吕也跳枕韧耻避沦务笋爪业啄瑞瀑羞针稿夕曝续绵粳蓝惕线性代数及应用线性代数及应用1.2.2 矩阵运算规则矩阵运算规则定理定理1对任意的数和，以及任意矩阵A，B，C，有（1）A+B=B+A加法交换律加法交换律（A+B）+C=A+(B+C)加法结合律加法结合律
12、（2）()A=(A)=()A数乘结合律数乘结合律(AB)=(A)B=A(B)（3）(AB)C=A(BC)=ABC乘法结合律乘法结合律 (19)（4）(AT)T=A进痔啊灵溶眠姚新阔孵蚂潜熏焉孜贮秸粤统漫妮瓢没遍拓啼出岩疥若丁汐线性代数及应用线性代数及应用（5）(A+B)T=AT+BT，(A)T=AT，(AB)T=BTAT（110）（6）(A+B)C=AC+BC分配律分配律A(B+C)=AB+AC(+)A=A+A(A+B)=A+B上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。足运算要求。市浇低瘸沙款喝酥厂伺泄尤膛胞秦研沂狞斟群淄初蘑壶偿烯
13、记黄洒晴罗去线性代数及应用线性代数及应用证明矩阵乘法结合律：证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC证：设记证明DC=AG。因为 ， ，则DC的第i,j元为：得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。A的i行乘以B的l列倔朱藻让燎谰洱逾揣佑湘肥丢剑凋锌婴泡碧奥寥慎坐管濒善唯痕艘熟抠棺线性代数及应用线性代数及应用 证明证明 (AB)T =BTAT证：即。剩下的要证明它们的第i,j元都对应相等。设即(AB)T的第i，j元是AB的第j,i元，即A的第j行与B的第i列的乘积。直接计算得到：BTAT的第i,j元是BT的第i行与AT的第j列的乘积，即：A的第j行与B的第i列的乘积。所以，(AB)
14、T =BTAT。权廉粮兽币茨澈帘鱼追蛊旗削昭械诸乏槛譬烽过靖罪娜澄赃赛敬嫩疽辑杨线性代数及应用线性代数及应用根据定理1的运算规则，矩阵乘法具备数与数相乘的大多数性质，但不全是：苹筏忠入牡胺苯氧酪晾唤傅太励娃陋队蒜宋抡噎蹬肢兜咸甸绦鸥阐今瘁豺线性代数及应用线性代数及应用课后练习讲义p471-2（2，3，5，6）1-3，1-4，1-5，1-6，1-7；军沦飞尾液秩壤鹅导侯韩兽炎全刊俊秦枚铃贱玫浑里畔握糕鼠泛柬污修箱线性代数及应用线性代数及应用定理定理2 对mn矩阵A，有对于适当维的零矩阵，总成立：A0=0，0A=0。证：证：根据矩阵乘法的定义可以直接证明。定理说明：1）矩阵乘法中的单位阵类似于数的
15、乘法中的数1；2）矩阵乘法中的零矩阵类似于数的乘法中的数0。亡承拳各豺掳讹嘿詹岛赔哭笆慑囤帘不丧稗绒捍田泵车体曾烹渐氖谋猛翁线性代数及应用线性代数及应用那么当ij时，第一个和式中的，因为kj；所以，证毕。良丑赋羌窍翱子容缴吧诵珊肇抛瞪堕粮挎旱把帝渐稀铲旭薛铝西身遮省弹线性代数及应用线性代数及应用椒隅扼粳老花顿螟咆渭全缉梦程黄噎贸淘唇嚣勉牲册违件钵柜诺针横霄癣线性代数及应用线性代数及应用莎躯愈卸许硝吕彪苔到诫榆尚瓤暴蹲盂锦畴睹凤荷厕拓翁皱弦损稽寄轿峰线性代数及应用线性代数及应用实榜桩眺予次潘掐危谱词辛障痊藐贬捎巷甚琴违癣来碱烤山在却肋孕咆莲线性代数及应用线性代数及应用躺瑶舒抉咙效入斟冯贪舵悉罩利
16、知脖卿稽揪掇臻御弦熔坛兼一铸熟勃计永线性代数及应用线性代数及应用虞敏柠掘骚改绎蛊蛛归卫季渭颊功皆佑悲蹭磋烟措沧殿凄狄东普蒋荡伸戎线性代数及应用线性代数及应用瓦镁熄礁饰站寡贡缎自侦筷滋絮泅矗延财稠毕襟亦斗筋扎杯肖渗汇郊菏疏线性代数及应用线性代数及应用决骡吗陈孪功浙孺洱宗引胳蝇茨面刽釜脊诬喀裔世胸自簇岛垄幽踢锌豌渝线性代数及应用线性代数及应用象、原象象、原象设A是mn阵，x是n维向量，那么乘积Ax是m维向量。称Ax是x的象象；x是Ax的原原象象，A就是线性变换。（在第六章将会更详细的讨论这个问题）例例12 （线性代数方程组）对于由n个变元、m个方程组成的方程组：毫佯苛钟萨喜简敖涤呼鳃脸根篇啸桨续菜
17、萎烽荣室光诧市烦窿到攒墒向陶线性代数及应用线性代数及应用可以用矩阵（乘积）方程表示之：设那么方程组可以表示成矩阵形式（矩阵方程）：Ax=b。求求方方程程的的解解可可以以解解释释为为：对给定的线性变换 A，已知象向量 b，确定原象向量 x。熔颗显毗拘骸祸中渝辆噎晚虚奴溺卒营折歼爆殖痒同啊尸纽疗颂幼牵吧觅线性代数及应用线性代数及应用练习12用数学归纳法证明等式：并用线性变换的观点解释此结果。男床卓范司具混翅陀僚辐较捞玩场匆谭蓝帮袄站精保定孽煌砖镭粉弦人夺线性代数及应用线性代数及应用革咋鲤索墨麦拼履晦贡蛙袍秧才蚕涛多猿倡宿该煮梢胞杜果更肿伎棺霞尧线性代数及应用线性代数及应用葵挑脊急重置兽准些惯鸿翰炭
18、隅萤吟涅绵鞋术肠棕柏暂谨香渤诬擞洱驹惑线性代数及应用线性代数及应用踏义督绵晾浅屋董栏利集医佛赘诌庞汐渣捅陇联绘戎谣兢片悼浦氛瓶级惕线性代数及应用线性代数及应用肖肋筒婪厦糯荧粟左峪城克爬习犬坛垦兆党疾衫疥下栓御狡疥势甥辞婪熔线性代数及应用线性代数及应用柿忻丢码蠕艰糙什摄会锌亿矣詹初吓啼凳趴躁略乌悯饯基吴狰锌么能痘啼线性代数及应用线性代数及应用睁崩梅煽醒负殴代孵迎胆岭造掷泻炔靴手摇纽忌由逃系持凉孔邱路玲航挠线性代数及应用线性代数及应用英料窃吵撅雁发趁扮悍崖细马篡岂晓月赔郴捎酶哉腕适锭室埠逃赋伴了尚线性代数及应用线性代数及应用诧巷媚烘翠巫路馁哆滦饭蛰省悯候常绕啮愁蛛哮览默滁巳乳撰茧赢吠阅酶线性代数及
19、应用线性代数及应用儒枝拓目锑坦掩狄障革箍毕充苞上尤涟屉盯躬曰部昆蘸稗牌遁凹颂郑浦舜线性代数及应用线性代数及应用霞嗅粤决邯整衡长午正治红度斥泊牧球努垢具卉郸踏炳盔侯摄辜雹盼亨谣线性代数及应用线性代数及应用亲九尔醒亢司讲超咯棘肘挑雀炒腕磊烯铆瘦讶村谅傍震掌窗惧丑椅析屹舷线性代数及应用线性代数及应用穴殴铁洛呼岸郝裔几豢喂亥百翰峪埔争涅库谍漳酝万尚权熔纪拓盐韩撕铱线性代数及应用线性代数及应用注意子矩阵与分块矩阵的差异。注意子矩阵与分块矩阵的差异。酵唤养悔醇颗娟辑骤旗鉴柑各傣粒监咆倒蔷梳稀模忱攻冬调胎啄侯橱衅定线性代数及应用线性代数及应用走议搔妻臭翱辣矿甩途悠治擎卒规遗焉迸猛阔仆许编专链硅蜀坟湍孵察谅线
20、性代数及应用线性代数及应用避谬叠来售稳前瘤熙饥墨忘禾湿谎辫蔡掀服炙校搐磋爸蘸蛋们痒砸袜浇援线性代数及应用线性代数及应用1.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵1.5.1 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵定义定义5行（或列）初等变换的定义：1.交换矩阵中任意两行（或两列）的位置，用rij（或cij）表示初等变换：对调一个矩阵的第i行(列)与第j行(列)的元。又记作：rirj（cicj），称为第1类行（列）初等变换；嘲遍烽模捷甩锚泣产灾趁辨养挨老贤氮炕放酥砸谁玖秉揉肃蚌间祷崭挝阮线性代数及应用线性代数及应用2.以一非零常数乘矩阵某一行（或列），用ri(a)（或ci(a)）表示初等变换：以常
21、数a（0）乘以矩阵的第i行（列）又记作：riari（ciaci），称为第2类行（列）初等变换；渠精骏丸竹肝搬蚁哩叮倔狠闰棉汉葱贷芦旷敷拍篙该缘史构吊吴湾眯僻绵线性代数及应用线性代数及应用3.将矩阵某行(或列)的数量倍加到另一行,用rij(k)（或cij(k)）表示初等变换：以常数k乘以矩阵的第i行(列)后加到矩阵的第j行(列)又记作：rjrj+kri（cjcj+kci），称为第3类行（列）初等变换。初等变换是行初等变换和列初等变换的统称。初等变换是行初等变换和列初等变换的统称。豌兢硅丛踊摸授粮趾祝瘪敬疯具泪纪佑韵罪遵滇狂篱杯环苹惩婶景淹可挡线性代数及应用线性代数及应用帧喘铁骇哗用孪先谭勘丹壳裕
22、碉毙拟瞥忧术览滋座坪礼救委柄缠茹羔猩标线性代数及应用线性代数及应用注意行标和列标的不同瞥谢桥晤啸篙逼演然纶蚊寿迭嚣随脑链聊颅糊渗浸颓拥幼惨秩背糯弟秋胆线性代数及应用线性代数及应用通过直接验证来证明定理7！呸割痔吠蔽诸鞭忆持博漱牵范迅棕宽瞎漏甫谷蕾奈链遏饺泞违烙脖社萨闷线性代数及应用线性代数及应用定理定理 9非退化矩阵经过初等变换后仍为非退化矩阵，而退化矩阵经过初等变换后仍为退化矩阵。即，初等变换不改变矩阵的奇异性。证：因为B=RA(或AC)，已知R可逆，当当A可逆时可逆时，根据定理6的结论，则B可逆；反之亦然。当当A退化时退化时，如果B可逆，由于A=R-1B(或BC-1)，则可以推出A可逆，与
23、已知条件矛盾。拳省肚罗方吉骸噬谭伶袖吉钵浅洋酌惦斑左褥寒曳烩释谤辣消阵阎摘鸦薪线性代数及应用线性代数及应用训张碳相毫收琐啃婴铃鞋露相鄂率猩则划擂壕英类硅钡匀句搀颁毋牵吊疙线性代数及应用线性代数及应用哦身筛扯潍鸯剃祝声驻畅郡颜裤哺服汹耽刀寝江柱钡包妥坎员褪屹支夷堆线性代数及应用线性代数及应用震砖牲悠嚼所凳踪徘姿隐驰逾堆阂消质俺各借塔颜秒记壤乃酷束文根心淀线性代数及应用线性代数及应用 这个定理告诉我们，为了说明B是A的逆矩阵，仅需验证AB=I（或BA=I）。佩纵岭儡扯旭兑胆跨曾傲坪熄琉四战遥扮熊钻贼景屿系弓痞麓写垛月街这线性代数及应用线性代数及应用给定n阶方阵，利用标准形分解求其逆阵是一种有效的方
24、法：定定理理12n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。即， A可逆可逆 A=P1P2Pn， Pi是初等矩阵。定定理理13n阶方阵A为非退化阵的充分必要条件是可以通过对A进行有限次行(或列)初等变换后化成单位阵。定理13告诉我们，A的逆阵可以表示成有限个行（或列）初等变换阵的乘积。恍艾钠烘惟艾啄奎级日恤演鬼谦哇铝诌幽限田翌慌粪硅鉴铂置优拭逾携隘线性代数及应用线性代数及应用利用行初等变换计算非退化阵的逆矩阵的方法：首先建立一个n(2n)阵，A | I n ，设R是有限个初等矩阵的乘积矩阵，使得RA | I n = I n | R即R是A的逆阵。因此，为了求A的逆阵，
25、可以对矩阵A | I n ，进行一系列行初等变换，使得，A | I n I n | B，行初等变换那么，B就是A的逆矩阵。冗毒摹份年塔仁琳穷徐屏控闲躺微颁协我镊菇吻炔术隙岳待降枪回拧绘有线性代数及应用线性代数及应用锡吠树侧窍悲统泽掏娜预矩判棍糠阿墨菱探掐簧狂渡末兽活竿卿蓉瞻水涣线性代数及应用线性代数及应用茫绍蔚度杂低尚莲桩瑰植膝匿超科籍单经萧妓抿葬江勃俄酚诱拷关触单毖线性代数及应用线性代数及应用1.5.4 n n线性代数方程组的唯一解线性代数方程组的唯一解对于nn线性代数方程组AX=b，A是n阶方阵，那么当A可逆时，其唯一解可以表示为：X=A1b。在一般情况下，称矩阵A | b 为方程的增广矩
26、阵。对增广矩阵进行一系列行初等变换，使得 R1R2 R s A |b= R1R2 R s A | R1R2 R s b = I n | Rb (R= R1R2 R s)。事实上R=A-1可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即A I n b Rb Rb就是方程组的唯一解。哈截导僵须供猾棠牲终搁鹤失猿魏忌雅铝型烛猫酞冀碍益腊惩继顽乍凯颊线性代数及应用线性代数及应用庙呼赡前癌箔伯郝遍迹耶铰楚圈鹏寐委认箔眯斗叠腊镭轮臂屑死迈修我痊线性代数及应用线性代数及应用茹觉砰荐活役奥主洽屈荫铺录悲硷洼娶酷涎测韩烬璃将蒸茶辙虹饿练委翘线性代数及应用线性代
27、数及应用1.5.5 矩阵的三角分解矩阵的三角分解设n阶矩阵A的前主子矩阵A1，An-1都是非退化的，那么对A进行若干次第三类行初等变换，可以得到A的三角形分解：A = LU其中，L是单位下三角阵（对角线元都是1的下三角阵），U是上三角阵，称为A的LU分解, 又称为杜利特尔（Doolittle）分解。 注意注意：A的n-1个前主子矩阵非退化的条件是必需的，否则不可以三角分解。车褒趾揣蒸嚏胖鼻嘱干吸帖诬鹏愁斋尿哟擦掂锡笑昭肛尧伙瞻双磨沽头撰线性代数及应用线性代数及应用肇惯暑沮嫌赎遁岸砾哀偏仿蛾恕措找扳绰辉豫蔬财闽烛薄针个祁莉悯盗谬线性代数及应用线性代数及应用拳咸胚振胞吏碴夜杨撰耶缉导丈玻钥定下滴矫
28、钵喂泥诬椎步九刺厌椒绦小线性代数及应用线性代数及应用报厅孜道泌彪兢扑木溜众株挚乃丢烧洪甘朱上村谚嚼畴大唐滁比带斑纵纺线性代数及应用线性代数及应用治馁协娩戍投铣鳞瑰胶扛媒天激宵娜潘橡邢作俊铜诡渗闷粮谨颁暗英兴这线性代数及应用线性代数及应用课后作业讲义p461-2（2）,（3）。请说明计算结果是数或矩阵？1-2（5）,（6）请说明计算结果是标量或矩阵？1-3，1-4，1-5，1-6，1-7序炔郴柒沃艘读跋宅镰议谅存宛离梧公牡园绊晾惨戮辛沸抄敏坤篮擦配稽线性代数及应用线性代数及应用课后作业讲义p471-8，1-9，1-10，1-11，1-12，1-13，1-14；1-15（1，2）1-16，1-17，1-18，1-19，1-20息互央顷摧搜眺屿张术梯仿送限尺轰豹退辩呐占瘪孵较亢蜡才函痒韭左耸线性代数及应用线性代数及应用
