高等流体力学同济大学机械工程学院朱彤 第二章 粘性流体主要内容：1、粘性流体的运动方程2、不可压缩流体中的能量耗散3、管道中的流动4、两个旋转圆柱面之间的流动5、相似律6、斯托克斯公式7、层流尾迹8、悬浮流体的粘性9、粘性流体运动方程的精确解10、粘性流体中的振动运动 第一节第一节 粘性流体的运动方程粘性流体的运动方程 现在来研究流体运动期间发生的能量耗散对流体运动本身的影响这个过程是流体运动的热力学不可逆性的结果这种不可逆性在某种程度上总要发生，它是由内摩擦（粘性）和导热引起的 为了求得描述粘性流体运动的方程，必须在理想流体运动方程中附加上某些项关于连续方程，由其推导过程可以看出，它对任何流体，无论是粘性还是非粘性流体都是同样有效的；然而，欧拉方程需要修正 粘性流体的运动方程可以在“理想”动量通量方程上加上一项 求得，这一项给出流体中动量的不可逆“粘性”传递于是，粘性流体中动量通量密度张量写成，其中张量 写成，称为应力张量，应力张量，而 称为粘性应力张量粘性应力张量，它代表与运动流体质量一起迁移的直接的动量传递无关的那部分动量通量。
通常， 可写成如下形式，常数 和 称为粘性系数，并且这两个数都是正的只要将 加到欧拉方程的右边，即可得到粘性流体的运动方程 因而，粘性流体运动方程最一般的形式是， 但在大多数情况下，流体中的粘性系数变化不大，可当作常数，因而有， 但，于是，粘性流体的运动方程可写成矢量形式，如下若流体可看作是不可压缩流体，则上式可简化为，此方程称为纳维纳维- -斯托克斯（斯托克斯（NavierNavier-Stokes-Stokes）方程）方程 对于不可压缩流体，应力张量取下面的简单形式 我们看到，不可压缩流体的粘性只由一个系数确定因为大多数流体实际上都可当作是不可压缩的所以这个粘性系数 是有普遍重要性的比值称为运动粘性系数（而 本身称为动力粘性系数） 可以指出，在给定温度下，气体的动力粘性系数与压力无关；但运动粘性系数与压力成反比 我们还必须写出关于粘性流体运动方程的边界条件在粘性流体和固体表面之间总存在着分子引力，这些力使紧贴固体表面的流层完全静止，并且“粘附”于表面上因此，粘性流体运动方程的边界条件要求在静止的固体表面上，流体速度应为零，即应当指出，法向和切向速度分量都必须为零，而对于理想流体，边界条件只要求 为零。
不难写出周围流体作用于固体表面的力的表达式一个面元上所受的作用力恰等于通过这个面元的动量通量通过面元 的动量通量是把 写成 的形式，这里 是沿法线的单位矢量，并考虑到在固体表面上 ，我们得到作用在单位面积上的力 为其中等式右边第一项是普通的流体压力，而第二项是由于粘性引起的作用在固体表面上的摩擦力式中 是单位矢量，它沿流体界面的外法线，即沿固体表面的内法线 在流体的自由面上，必须满足条件 下面给出柱坐标和球坐标中应力张量分量的表达式和纳维-斯托克斯方程在柱坐标 中应力张量的分量是 纳维-斯托克斯方程的三个分量方程和连续方程为 在球坐标 中，应力张量分量是 而运动方程为 最后给出不可压缩粘性流体二维流动中流函数 所必须满足的方程， 第二节第二节 不可压缩流体中的能量耗散不可压缩流体中的能量耗散 粘性的存在导致能量的耗散，最终转变为热，对于不可压缩流体，计算能量耗散是特别简单的。
不可压缩流体的总动能是 对这个能量取时间导数，得 结合纳维-斯托克斯方程所给表达式经推导得， 因为对不可压缩流体有可把右边的第一项写成散度的形式： 方括号中的式子就是流体中的能量通量密度第一项 是由于流体质量在实际上有传递而引起的能量通量，并且与理想流体中的能量通量相同第二项 是由于内摩擦过程引起的能量通量因为粘性的存在引起了动量通量 ；但是动量的传递总是包含着能量的传递，并且能量通量显然等于动量通量与速度的标积 若在某个体积V上对积分，得到右边第一项给出体积V中流体动能的变化率，，这个变化率是由于通过体积V的界面的能量通量引起的因此第二项积分就是单位时间内耗散引起的动能减少 若将积分扩展到流体的整个区域，则面积分为零（因为在无穷远处速度为零），于是得到整个流体中单位时间所耗散的能量是经简单推导，我们最后得到不可压缩流体中的能量耗散率为 耗散导致机械能的减少，即一定有 但上式积分总是正的，因此我们断定粘性系数 总是正的。
第三节第三节 管道中的流动管道中的流动 下面讨论不可压缩粘性流体运动的一些简单问题 设流体介于两个平行平板之间，一个平板相对于另一个平板以等速 运动取其中一个平板为xz平面，x轴指向 方向显然，所有的量只依赖于 ，并且各处的流体速度都指向x方向对于常定流，由纳维-斯托克斯方程 可得 因此， ， 对 和 （ 是面板间距离），必须分别有 和 于是所以流速分布是线性的平均流速可定义为即 易得作用在每块平板上的力的垂直分量就是 ；而作用在 平板上的切向摩擦力是作用在 平板上得切向摩擦力是 其次，讨论有压力梯度的情况下，在两个固定的平行板之间的定常流选择和前面一样的坐标系；x轴指向流体运动方向因为速度显然只依赖于y，所以纳维-斯托克斯方程给出：第二个方程表明，压力与y无关，即沿y轴穿过两板间的流体时，压力是常数。
因而第一个方程的右边只是x的函数，而左边只是y的函数；这只有当两边均为常数是才能成立因而 ，即沿流动方向，压力是坐标x的线性函数我们现在得速度 常数a和b由 和 处 的边界条件确定，结果得：所以沿y轴方向，流体速度按抛物线变化，在中点达到最大值平均流速为计算后得， 此外，经计算，作用在一块固定平板上的摩擦力为 最后来研究管道中的定常流，管道的横截面是任意的，但沿管道全长上的横截面都相同取管轴为x轴，显然每一点的流体速度都指向x轴方向，且仅仅是y和z的函数连续性方程自然满足，而纳维-斯托克斯方程的y和z分量又给出 ，即在管道的整个横截面上，压力是常数 而由方程 得， ;所以压力梯度可以写成 ，这里 是管道两端的压差，而 是它的长度 这样，管内流动的速度分布由 形式的二维方程确定这个方程必须在管道截面的周线上 的边界条件下求解。
经推理得，所以横截面上的速度分布是抛物线的 至于流量的确定，由于每秒通过截面上环形面元 的质量为 ，因而所以，流量正比于管径的四次方（泊肃叶公式泊肃叶公式） 第四节第四节 两个旋转圆柱面之间的流动两个旋转圆柱面之间的流动 现在研究两个无限长同轴圆柱面之间流体的运动，柱面的半径分别为 ，并分别以角速度 绕其轴旋转取柱坐标 其z轴沿着柱面的轴线，由对称性，显然有 在这种情况下，柱坐标中的纳维-斯托克斯方程给出两个方程：后一方程有 形式的解，将它代入方程得 ，所以根据边界条件确定常数a和b：在 处， 在 处 求得速度分布为 对于 的情形，有 ，即流体随柱面刚性旋转当不存在外柱面时 ，得作用在柱面上的摩擦力矩表达式如下：作用在外柱面上的力矩 显然是 。
第五节第五节 相似律相似律 在研究粘性流体运动时，通过对各种物理量的量纲作简单分析，可以获得一些重要的结果 在这种情况下，就说形状相同的物体是几何相似：即这些物体之间可按同一比例改变其中一个物体的所有线度而得到另一个因此，假如物体的形状是给定的，只要指出其中任何一个线度，就足以确定其全部尺寸 现在，我们将考虑定常流例如，若讨论绕固体的流动（为确定起见，下面我们将讨论这种情况），则来流速度应为常数此外还假设流体是不可压缩的 在流体动力学方程组（纳维-斯托克斯方程组）里，就表征流体本身特性的参数而言，只出现运动粘性系数 还有，求解这个方程组所必须确定的未知函数是速度 和 ，这里 是压力 与不变密度 的比值再者，流动依赖于在流体中运动的物体的形状、尺寸以及它的速度这些都作为边界条件制约流动由于物体形状假定是已知的，它的几何特性可由一个线度加以确定，用 表示这个线度设来流速度为 对于任何流动都是由 和 这三个参数确定的这些量的量纲如下： 易得，由以上三个量只能构成一个无量纲量，即 。
这个组合称为雷诺数雷诺数，用R表示：任何其它的无量纲参数都可写成R的函数 现在我们就用 和 来分别量度长度和速度，引进无量纲变量 和 因为唯一的无量纲参数是雷诺数，显然解不可压缩流方程所得的速度分布由形式的函数给出 由上式可以看出，在同一类型的两个不同流动中，若它们的雷诺数相同，则速度 与比值 的函数关系是相同的凡只要改变坐标和速度的量度单位，就可从一个流动得到另一个流动，我们就称这些流动是相似的相似的因而具有相同雷诺数的同类流动是相似的这就叫做相似律相似律 类似的，我们可以写出流体中的压力分布公式为此，我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密度的量，比如，这个量可以是 于是， 是无量纲变量 和无量纲参数R的函数，所以 最后，类似的考虑也可适用于这样一些量：它们描写流动的特性，但不是坐标的函数例如作用在物体上的阻力F就是这样一个量我们可以说，阻力F与用 组成的并具有力的量纲的某个量之比必定只是雷诺数的函数。
比如， 组合成力的量纲可以是 因而 若重力对流动有重要作用，则流动不是由三个参数确定，而是由 和重力加速度 这四个参数确定由这四个参数可构成两个独立的无量纲量，而不是一个比如，这两个量可以是雷诺数和弗劳德数弗劳德数，弗劳德数为 最后，提一下非定常流要描述一个确定类型的非定常流的特征，不仅要由量 ，而且还要有表示其流动特征的某时间间隔 ，后者确定流动的变化率例如，当浸没在流体中的确定形状的固体，按一定的规律振动时， 就可以是振动的周期由 这四个量，我们又可以组成两个独立的无量纲量，这两个量可以是雷诺数以及斯特鲁哈数斯特鲁哈数 在这种情况下，只有当这两个数的数值相同时，才存在相似流动 第六节第六节 斯托克斯公式斯托克斯公式 在小雷诺数流动的情况下，纳维-斯托克斯方程可大为简化对于不可压缩流体的定常流，方程为如果雷诺数很小，则 可以忽略，运动方程可化为线性方程再结合连续方程 ，则确定运动的方程组就完备了。
作为一个例子，我们来研究球在粘性流体中的匀速直线运动显然球的这种运动与给定无穷远处来流速度为 的流体绕固定球的流动，两者在问题性质上是完全等价的前一个问题中的速度分布，可简单地由后一个问题中的速度分布减去 而得到；这样一来，在无穷远处流体静止，而球以速度 运动如果我们把流动看作是定常的，当然必须是讨论静止球体绕流；因为当球运动时，空间中任何一点的流体速度是随时间变化的 于是，在无穷远处应有 ；我们写成 ；所以在无穷远处， 是零因为 可写成某个矢量的旋度： ，其中A一定是轴矢量，并且A必定具有 的形式这里 只是矢径 大小的函数，而 是矢径方向的单位矢量乘积 可写成函数 的梯度 ，所以 的一般形式是 于是可将速度 写成 因为 是常矢量， 所以 经简单计算得，根据边界条件，求得于是 设 是无穷远处流体的压力，则流体作用在球上的压力是利用上述公式，计算运动流体作用在球上的力 （或阻力）， 的方向显然平行于速度 。
这个公式称为斯托克斯斯托克斯公式，它给出球在流体中缓慢运动时所受的阻力注意到，阻力与速度和物体线度的一次方成正比 阻力对速度和物体线度的这种依赖关系对其它形状物体的缓慢运动也是适用的作用在任意形状物体上阻力的方向与速度方向是不同的， 与 关系式的一般形式可写成这里 是与速度无关的二阶张量要注意这个张量是对称张量 ；这个结果是在速度取线性近似的情况下才保持正确，并且这个结果是作为有消散过程的缓慢运动所使用的普遍规律的一个特殊情况 另外要注意，刚才对球体绕流所得的解，在远离球体的地方，即使是雷诺数很小时，也是不适用的 第七节第七节 层流尾迹层流尾迹 在粘性流体绕固体的定常流动中，在物体后面较远地方的流动具有某些特征，我们可以独立地研究这些特征，而不涉及物体的具体形状 用 表示来流的恒定速度，取 的方向为 轴，原点取在物体内某处任一点的实际流速可写成 ， 在无穷远出， 为零 研究发现，在物体后面较远的地方，只有在 轴附近相当窄的范围内，速度 才显著地异于零。
这个区域就称为层流尾迹层流尾迹，只有沿着十分靠近物体的流线运动的流体质点才能进入这个区域因而尾迹中的流动本质上是有旋流另一方面，对于不靠近物体的流线上的任何点，粘性几乎没有影响来流中的涡量为零，而在这些流线上，涡量实际上保持为零，就象在理想流体中那样于是，除了尾迹以外，离物体较远的流动处处可以看作是势流 下面推导一些公式，以便把尾迹中流动的性质与作用在物体上的力联系起来，通过包围物体的任一封闭曲面，流体所输运的总动量等于动量通量密度张量在该曲面上的积分： 张量分量 是通过推导并适当简化得，总的动量通量是， 现在我们取所讨论的流体体积是介于两个 的无限平面之间的体积,这两个平面中的一个在物体之前很远的地方，一个在物体之后很远的地方在无穷远处“横侧”表面上，上述积分为零（因为在无穷远处 ），所以只要在两个平面上积分就够了因而，所求得的动量通量显然是通过前平面流来的总动量通量和通过后平面流走的总动量通量之差这个差值就是每单位时间由流体传递给物体的动量，即作用在物体上的力 这个力的分量为： 先研究 ，经推导计算， 这里积分是在物体后面远处尾迹的整个横截面上计算的。
显然尾迹内的速度 是负的，这里流体运动比不存在物体时要慢些应注意，上式中积分给出的通过尾迹的流量达不到不存在物体情况下的相应值 接着研究使物体作横向运动的力（其分量为 ）这个力称为升力升力经推导计算， 在此二式中仍然只须在尾迹的横截面上取积分若物体有个对称轴（不必完全轴对称），且流动平行于这个轴，则绕物体的流动也有个对称轴在这种情况下，升力当然为零 我们来研究尾迹中的流动，对纳维-斯托克斯方程中各项量级的估计表明，在离物体的距离为 处，只要 ，项 一般可以略去不计；在这些距离处，尾迹外面的流动可当作势流但对尾迹内部而言，即使在这些距离处，该项还是不能略去的，因为横向导数 比起 是个大量 在尾迹里面，纳维-斯托克斯方程中项 的量级是项 的量级是这里 表示尾迹宽度，即从 轴至速度 显著减小之处的距离的量级若这两项大小相当，可得 事实上，由 的假设条件可知， 这个量与 相比是个小量。
所以层流尾迹的宽度是随与物体距离的平方根而增加的 尾迹中速度随 增加而减小的变化关系如下： 第八节第八节 悬浮流体的粘性悬浮流体的粘性 流体中悬浮着大量的细小固体颗粒，就形成悬浮流体悬浮流体如果我们所研究的对象，其特征长度比颗粒的尺寸大得多，就可以把悬浮流体看作是均匀介质这种介质具有有效粘性系数 ，它与原来流体的粘性系数 是不同的对于悬浮颗粒浓度很小的情形，可以计算出这个 值 首先必须考虑浸在流体中的单个固体小球对流动的影响，该流动的速度梯度是常量设未受扰的流动由线性速度分布 描述，其中 是常对称张量流体压力是常数，即 在下面我们取 为零，就是说只计算对这个常数的偏差值若流体是不可压缩的 ，则张量 对角线元素的和一定是零， 现在设有半径为R的小球置于原点，用 表示因小球存在而改变了的流体速度在无穷远处 必定为零；但在小球附近， 与 相比不是小量。
由流动的对称性，显然球保持静止，所以边界条件是在 处， 经推导得出速度和压力的公式如下：这里 是矢径方向的单位矢量 现在回到确定悬浮流体有效粘性系数的问题，计算动量通量密度张量 （对体积）的平均值按照对于速度的线性近似，张量 与应力张量 是相等的，即有这里可在半径很大的球体积 上取积分，然后让半径延伸到无限远 首先，我们有恒等式 除了固体小球内部之外，上式右边的被积函数为零；因为假设悬浮流体的浓度很小，可先对只有单个小球的情形计算这个积分，这时似乎别的小球并不存在，然后乘上悬浮流体的浓度c（单位体积内小球的个数）直接计算这个积分需要研究球中的内应力但我们可以把这个积分转换到无限大球面上的面积分来克服这个困难 为此，由方程 ，便可得出恒等式因此，把体积分转换为面积分，可写成经计算得，悬浮流体的有效粘性系数为其中 第九节第九节 粘性流体运动方程的精确解粘性流体运动方程的精确解 如果粘性流体运动方程的非线性项不恒为零，解这些方程就会有很大困难，只有在很少几种情况下才能求得精确解。
而且，至今还不可能对很大雷诺数的极限情况下，充满整个空间的粘性流体绕物体的定常流动实现全面研究 以后我们将会看到，这样一种流动实际上不能保持为定常流，但是，尽管如此，求解这个问题还是具有方法论上的重要意义 下面给出关于粘性流体运动方程精确解的一个例子 例子：设有一个无限大的平面圆盘浸没在粘性流体中，圆盘绕自身轴线均匀旋转试确定圆盘运动所引起的流体运动 现取柱坐标系，以盘面为 的平面设圆盘以角速度 绕 轴旋转考虑 一侧为无界的流体区域边界条件是 当 时，轴线速度 不为零，而是趋向于一个负常数值，它由运动方程确定，这是因为流体有离开旋转轴的径向运动，特别是圆盘附近为了满足连续方程，就一定有来自无穷远处的等速垂直流动我们寻求运动方程下列形式的解上述的速度分布表明，径向和周向速度与该点至旋转轴的距离 成正比，而在每一个水平平面上 是常量 将上式代入纳维-斯托克斯方程和连续方程，我们得到关于函数 和 的下列方程：其中上标撇号表示对 的导数边界条件是 这样我们就把本题的求解化为一个自变量的常微分方程组的积分问题，这个问题可用数值积分求解。
左图表示用这种方法求得的函数 和 当 时， 的极限值为 ；换句话说，无穷远处流体速度是 作用在单位面积上并且垂直于径向的摩擦力是 忽略边缘效应，可以把作用在半径R很大但为有限值的圆盘上的摩擦力矩为积分号前面出现因子2是因为圆盘有两面接触流体函数G的数值计算给出公式 第十节第十节 粘性流体中的振动运动粘性流体中的振动运动 当浸没在粘性流体中的固体振动时，由此引起的流动有许多特征性质为了研究这些性质，我们假设不可压缩流体以一个无限大的固体平面作为边界，这个固体平面以频率 在它自身的平面内作简谐振动我们要确定这样引起的流体的运动取固体平面为 平面，流体区域为 ； 轴与振动方向重合振动平面的速度 是时间的函数，具有 的形式我们把它写为一个复变量的实部较为方便 要是计算只涉及速度 的线性运算，可省去实部符号 ，而把 当作似乎就是复数进行运算，然后取其最后结果的实部，于是可写成，流体的速度必须满足 处的边界条件 ，即 由对称性可明显看出，所有的量将只依赖于坐标 和时间 。
因此，从连续方程 我们有 ；由边界条件即得 因为所有量均与 和 无关，有 ；又因为 为零，我们有恒等式 则运动方程变为 由对称性还可以明显看出，各点的速度 都沿 方向因 ，我们有这就是（一维的）导热方程我们求此方程关于x和t的周期解，形式为其中，复振幅为 ，所以在 处 我们得， 因而，所以速度 为这里所取的k使虚部为正，因为否则在流体里面速度将无限增加，这在物理上是不可能存在的 所得的解代表横波，其速度 垂直于传播方向这种波最重要的特性是在流体内部迅速衰减；其振幅随着离固体表面的距离 的增加而依指数率减小 于是粘性流体中可能出现横波，但随着与产生这些波的固体平面的距离增大，这种波迅速衰减 振幅减小到原有的 时，波所经过的距离 称为波的穿透深度穿透深度所以穿透深度随着频率的增大而减小，但随着流体运动粘性系数的增大而增大。
下面来计算在粘性流体中振动的固体平面单位面积上所作用的摩擦力显然，这个力沿 方向，且等于应力张量的分量 这里一定要在平面本身，即 处取导数值计算得，设 是实数，并取上式的实部，则有 但振动表面的速度是 ，所以速度与摩擦力之间有一个相位差 在这种特殊情况下，将所需的耗散看作摩擦力做功来直接计算比较简单振动平面单位面积上单位时间内所耗散的能量等于力 和速度 乘积的平均值它与振动频率的平方根以及粘性系数的平方根成正比 一个固体平面按任一规律 在自身平面内运动，因而带来流体运动，对于这个问题作用在固体平面单位面积上的摩擦力是 现在来考虑任意形状物体振动的一般情况在上述振动平面的情况下，流体运动方程中的一项 恒等于零当然对于任意形状的曲面，不会出现这种情况但我们假设这一项与其它项相比是个小量，可以略去从运动方程 出发，对方程两边取旋度，得 可见， 满足导热方程。
但前面已经看到满足这种方程的量是按指数律减小的因此可以说，朝着流体纵深方向，速度旋度是不断减小换句话说，由物体振动所引起的流体运动，在物体周围某一层是有旋的；而经过一个过大的距离，就迅速变成势流有旋流穿透深度的量级为 这里可能有两个重要的极限情况，即量 与振动物体的尺度相比可以是个大量，也可以是个小量设物体尺度的量级为 首先考虑 ，即 的情形除了这个条件以外，我们也假设雷诺数很小若 是振动的幅度，则物体速度的量级为 因此，这种运动的雷诺数为 所以我们假设 这是低频振动情形，这种情况又意味着速度随时间缓慢地变化，因此我们可以在一般的运动方程中略去导数 另一方面，由于雷诺数是个小量，项 也可以略去 从运动方程中去掉项 ，就意味着流动是定常的因此，对 ，在任何给定的时刻，流动可看做是定常的这意味着在任何给定的时刻，流动的流体就好象是物体以瞬时的速度做匀速运动所引起的流动。
现在考虑相反的情形，即 为使项 还能略去，振动的幅度与物体的尺度相比是个小量，因而有应注意，在这种情况下，雷诺数不必是个小量估算一下 的大小，就得到了上述的不等式算符 代表沿速度方向的微分运算但在物面附近，速度近乎切线方向在切线方向，只有经过物体尺度量级的距离，速度才有明显的改变因为速度本身是 的量级，于是有 现在讨论当条件 成立时，振动物体周围流动的性质在紧贴物体表面的薄层内，流动是有旋的，但在流体的其余部分内是势流因而除了紧贴物体的薄层以外，各处的流动都是由下列方程给出：由此可得 ，而纳维-斯托克斯方程就化为欧拉方程因此除表面层外，处处都是理想流体的流动由于这一层很薄，为确定其余部分流体的流动而解方程 时，我们本应把物体表面上必须满足的条件，即流体速度等于物体速度取作边界条件然而，理想流体运动方程的解不能满足这些条件我们职能要求垂直于表面的流体速度分量的相应条件得到满足。
虽然方程 和 在流体表面层中是不适用的，但解这两个方程所得的速度分布使法向速度分量满足了必要的边界条件因此，追究表面附近这一分量的实际变化就没有多达意义解上述两个方程得到的切向分量与物体速度的相应分量值会有所不同然而这两个速度分量应该是相等的因此，在表面层内，切向速度分量一定是迅速变化的。