第三节 柯西不等式 1.1.二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式内内 容容等号成立的条件等号成立的条件代数代数形式形式若若a,b,c,da,b,c,d∈∈R R, ,则则(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2) )≥≥________________当且仅当当且仅当____________时，等号成立时，等号成立 向量向量形式形式设设 是两个向量，则是两个向量，则 ≤________________当且仅当当且仅当__________________或或__________________________________________时，时，等号成立等号成立 (ac+bd)(ac+bd)2 2ad=bcad=bc是零向量是零向量存在实数存在实数k,使使 =k k 内内 容容等号成立的条件等号成立的条件三角三角形式形式设设x x1 1,y,y1 1,x,x2 2,y,y2 2∈R,∈R,那么那么 __________________________________当且仅当当且仅当____________________________________________________________________________________________________________________时，等号成立时，等号成立P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),O(0,0)O(0,0)三点共线，且三点共线，且P P1 1，，P P2 2在原点在原点O O两旁两旁 2.2.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3∈R,∈R,则则(a(a1 12 2+a+a2 22 2+a+a3 32 2)(b)(b1 12 2+b+b2 22 2+b+b3 32 2)≥_______________.)≥_______________.当且仅当当且仅当____________________或或______________________________________________________________________时时, ,等号成立等号成立. . (a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3) )2 2b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=0=0存在一个数存在一个数k,k,使得使得a a1 1=kb=kb1 1,a,a2 2=kb=kb2 2,a,a3 3=kb=kb3 3 3.3.一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,……,a,an n,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3, ,……,b,bn n是实数是实数, ,则则(a(a1 12 2+a+a2 22 2+a+a3 32 2+ +……+a+an n2 2)(b)(b1 12 2+b+b2 22 2+b+b3 32 2+ +……+b+bn n2 2)≥)≥__________________________,__________________________,当且仅当当且仅当______________________________________或或________________________________________________________________________时时, ,等号成立等号成立. .(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3+ +……+a+an nb bn n) )2 2b bi i=0(i=1,=0(i=1,2,3,2,3,……,n),n)存在一个数存在一个数k,k,使得使得a ai i=kb=kbi i(i(i=1,2,3,=1,2,3,……,n),n) 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打““√√””或或““×”×”).).(1)(1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是以是 ( )( )(2)(2)在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是 ( )( )(3)(3)设设 是两个向量，则是两个向量，则 中等号成立中等号成立的条件是存在实数的条件是存在实数k k，使，使 ( )( ) 【解析【解析】】(1)(1)错误错误. .当当b b，，d=0d=0时，柯西不等式成立，但时，柯西不等式成立，但 不成立不成立. .(2)(2)错误错误. .当当b b1 1,b,b2 2,b,b3 3都为零时都为零时, , 不成立，但此时不成立，但此时柯西不等式成立柯西不等式成立. .(3)(3)错误错误. .当当 =0=0时，时，答案：答案：(1)(1)×× (2) (2)×× (3) (3)×× 考向考向 1 1 二维柯西不等式代数形式的应用二维柯西不等式代数形式的应用【典例【典例1 1】】设设a,b∈Ra,b∈R+ +且且a+ba+b=2.=2.求证：求证：【思路点拨【思路点拨】】观察不等式的结构特点，本题可以看作求观察不等式的结构特点，本题可以看作求 的最小值，因而需出现柯西不等式的结构，的最小值，因而需出现柯西不等式的结构，把把 视为其中一个括号内的部分，另一部分可视为其中一个括号内的部分，另一部分可以是以是(2-a)+(2-b).(2-a)+(2-b). 【规范解答【规范解答】】根据柯西不等式，根据柯西不等式，有［有［(2-a)+(2-b)(2-a)+(2-b)］］=(a+b)=(a+b)2 2=4,=4,当且仅当当且仅当即即a=b=1a=b=1时等号成立，时等号成立，∴∴原不等式成立原不等式成立. . 【拓展提升【拓展提升】】正确理解二维柯西不等式正确理解二维柯西不等式(1)(1)可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系，或构造可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会造要仔细体会.(a.(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)≥(ac+bd))≥(ac+bd)2 2,(a,(a2 2+b+b2 2)(d)(d2 2+c+c2 2) )≥(ad+bc)≥(ad+bc)2 2, ,谁与谁组合、联系，要有一定的认识谁与谁组合、联系，要有一定的认识. . (2)(2)““二维二维””是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横、纵坐标，因此个量：横、纵坐标，因此““二维二维””就要有四个量，还可以认为就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系是四个数组合成的一种不等关系. .(3)(3)根据题设条件，综合利用添、拆、分解、组合、配方、变根据题设条件，综合利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口. . 【变式训练【变式训练】】已知已知a a1 1,a,a2 2,b,b1 1,b,b2 2为正实数，求证为正实数，求证(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2) ) ≥(a ≥(a1 1+a+a2 2) )2 2. .【证明【证明】】对比柯西不等式的原型，两组数可取为：对比柯西不等式的原型，两组数可取为：则则(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2) ) =(a=(a1 1+a+a2 2) )2 2. .当且仅当当且仅当即即b b1 1=b=b2 2时等号成立时等号成立. . 考向考向 2 2 利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值【典例【典例2 2】】(2013(2013··哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )已知已知a,b,c∈(0,+∞), a,b,c∈(0,+∞), =2,=2,求求a+2b+3ca+2b+3c的最小值的最小值. .【思路点拨【思路点拨】】分析待求式子的结构特征，结合已知条件构造两分析待求式子的结构特征，结合已知条件构造两组数，利用柯西不等式求解组数，利用柯西不等式求解. . 【规范解答【规范解答】】=(1+2+3)=(1+2+3)2 2=36.=36.又又∴a+2b+3c≥18.∴a+2b+3c≥18.当且仅当当且仅当a=b=c=3a=b=c=3时等号成立时等号成立. . 【互动探究【互动探究】】本例条件不变，试求本例条件不变，试求4a+8b+27c4a+8b+27c的最小值的最小值. .【解析【解析】】 =(2+4+9)=(2+4+9)2 2=225,=225,又又∵ ∵ ∴4a+8b+27c≥∴4a+8b+27c≥ 当且仅当当且仅当即即2a=2b=3c= 2a=2b=3c= 时取等号时取等号. .即即4a+8b+27c4a+8b+27c的最小值为的最小值为 【拓展提升【拓展提升】】三维柯西不等式的应用三维柯西不等式的应用由由a,b,ca,b,c构成新的数字形式，而形成三维的柯西不等式，需要构成新的数字形式，而形成三维的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出，常用的技有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出，常用的技巧有以下几种：巧有以下几种：(1)(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数. .(2)(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序序. .(3)(3)构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构. .(4)(4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项. . 【变式备选【变式备选】】(2013(2013··扬州模拟扬州模拟) )设设2x+3y+5z=29.2x+3y+5z=29.求函数求函数 的最大值的最大值. .【解析【解析】】 ≤≤［［(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)］］··(1+1+1)(1+1+1)=3=3××(2x+3y+5z+11)(2x+3y+5z+11)=3=3××40=120.40=120.故故当且仅当当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,2x+1=3y+4=5z+6,即即 时等号成立，此时时等号成立，此时 。