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1、条件概率条件概率 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 四、小结四、小结 乘法定理乘法定理 某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：(1)(1)求它是次品的概率；求它是次品的概率；例例7元件制造厂元件制造厂次品率次品率 提供份额提供份额甲厂甲厂0.020.020.150.15乙厂乙厂0.010.010.800.80丙厂丙厂0.030.030.050.05设这三家的产品在仓库中是均匀混合设这三家的产品在仓库中是均匀混合的的, ,且无区别的标志。现在仓库中随且无
2、区别的标志。现在仓库中随机地抽取一只晶体管机地抽取一只晶体管, ,(2)(2)若已知取到的是次品若已知取到的是次品, ,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？问此次品是哪个厂生产的可能性更大？设设A=“A=“取到的是一只次品取到的是一只次品”,B,Bi i=“=“所取产品由第所取产品由第i i厂提供厂提供”, ,易知易知B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分。解解(1)(1)由全概率公式由全概率公式: :P(A)P(A)=0.150.02+0.800.01+0.050.03=0.0125(2)(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式: : P(BP(B1 1|A)=
3、|A)=同理同理 P(BP(B2 2|A)=0.64, P(B|A)=0.64, P(B3 3|A)=0.12 .|A)=0.12 .故这只次品来自故这只次品来自乙厂乙厂的可能性最大。的可能性最大。 我们将我们将“抽验一次产品抽验一次产品”看作是进行一次试验，那么看作是进行一次试验，那么P(BP(Bi i) )（i=1,2,ni=1,2,n）是在试验以前就已经知道的概率，所是在试验以前就已经知道的概率，所以习惯地称它们为以习惯地称它们为先验先验（先于试验）（先于试验）概率概率，实际上它是过，实际上它是过去已经掌握的生产情况的反映，对试验将要出现的结果提去已经掌握的生产情况的反映，对试验将要出现
4、的结果提供了一定的信息。供了一定的信息。说明说明： 在这个例子中，试验结果出现了次品（即在这个例子中，试验结果出现了次品（即A A发生），这发生），这时条件概率时条件概率P(BP(Bi i|A)|A) 反映了在试验以后，导致反映了在试验以后，导致A A发生的各种发生的各种原因（即次品的来源）的可能性大小，通常称作原因（即次品的来源）的可能性大小，通常称作后验概率。后验概率。有了后验概率，能够帮助我们对次品的来源、机器故障原有了后验概率，能够帮助我们对次品的来源、机器故障原因、疾病原因，案情等进行更好的分析。因、疾病原因，案情等进行更好的分析。 后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计后来
5、的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作推断方法，叫作“贝叶斯统计贝叶斯统计”. . 可见贝叶斯公式的影可见贝叶斯公式的影响响 . .例例8 根据以往的临床记录根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下效果某种诊断癌症的试验具有如下效果: : 进行普查进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 解解 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 现在对自然人群现在对自然人群本题结果表明本题结果表明, 概率都比较高概率都比较高. 但若将此试验用于普查但若将此试验用于普查, 则有则有 亦即正确性只有亦即正确性只有8.7%. 如果不注意这一点如果不注意这一点,将
6、会得出错误的诊断将会得出错误的诊断. 这两个这两个预习预习 第六节第六节 独立性独立性 习题课习题课作业作业: P24 14,16,17,19,21练习练习1 设有甲、乙两袋，甲袋中装有设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、只白球、m只红球；只红球；乙袋中装有乙袋中装有N只白球、只白球、M只红球；今从甲袋中任意取只红球；今从甲袋中任意取一只球放入乙袋，再从乙袋中任取一只球，求取得白一只球放入乙袋，再从乙袋中任取一只球，求取得白球的概率。球的概率。解：解： A=“从甲袋中取出一只白球从甲袋中取出一只白球”B=“从乙袋中取到白球从乙袋中取到白球”由全概率公式由全概率公式练习练习2 已知男人中有已知男
7、人中有5%是色盲患者，女人中有是色盲患者，女人中有0.25%是是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机的挑选一色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机的挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率。人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率。解：解：A=“抽出的是男性抽出的是男性”B=“抽出的是色盲抽出的是色盲”由贝叶斯公式由贝叶斯公式一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理二、几个重要定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结第六节第六节 独立性独立性 一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性 则有则有1.引例引例 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立, 说明说明
8、2.定义定义 如果满足等式如果满足等式 容易知道容易知道, B 发生的概率无关发生的概率无关. 是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件注意注意 三个事件相互独立三个事件相互独立 三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立 3.三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念 定义定义推广推广 二、几个重要定理二、几个重要定理 相互独立相互独立, 反之亦然反之亦然. 则下列各对事件也相互独立则下列各对事件也相互独立. 证证 因为因为 于是于是 两个推论两个推论 1。件件, 2。则则 P22例例2 一个元件一个元件(或系统或系统)能正常工作的概率称为元件能正常工作的概率称为元件(或系统或系统)的的可
9、靠性可靠性. 如下图如下图, 设有设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联按先串联再并联的方式联接的方式联接. 的可靠性的可靠性. 试求系统试求系统 故有故有 由事件的独立性由事件的独立性, 得系统的可靠性得系统的可靠性 解解 三、典型例题三、典型例题 P23例例4 甲甲、乙两人进行乒乓球比赛乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率每局甲胜的概率 问对甲而言问对甲而言,采取三局两胜制有利采取三局两胜制有利,还是五局三胜制有利还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立设各局胜负相互独立. 解解 “甲甲甲甲”, , “乙乙甲甲甲甲”, ,“甲甲乙乙甲甲”; ;“甲甲乙乙甲甲甲
10、甲”, , “乙乙甲甲甲甲甲甲”, , “甲甲甲甲乙乙甲甲”; ; （1 1）设）设A A、B B为为互斥互斥事件，且事件，且P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，下面四个结论中，正确的是：正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)（2 2）设）设A A、B B为为独立独立事件，且事件，且P(A)0,P(B)0,P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，下面四个结论中，正确的是：正确的是：
11、1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)思考题思考题补充补充1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名名机枪射击手同时向一架飞机射击机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少问击落飞机的概率是多少? 射击问题射击问题 解解 事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, 练习练习 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，
12、第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色颜色.现以现以 A，B，C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问色朝下的事件，问 A，B，C是否相互独立是否相互独立? 解解 由于在四面体中红、由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，因此白、黑分别出现两面，因此 由题意知由题意知 补充补充2伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 故有故有 因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. 则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立. 由于由于 同时抛掷一对骰子同时抛掷一对骰子,共抛两次共抛两次,求两次所得点数分别为求两次所得点数分别为7与与11的概率的概率. 解解 事件事件 A 为两次所得点数分别为为两次所得点数分别为 7 与与 11. 则有则有 补充补充3 四、小结四、小结 作业作业: P24 22,25,26,27,28,30,31,35,37
