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1、9/8/2024郑平正 制作一一.曲线的参数方曲线的参数方程程高二数学高二数学 选修选修4-4高二数学高二数学 选修选修4-4 第二讲第二讲 参数方程参数方程回默地安重畦溶微寻股晾辑劣荆孰吞迟厦逛拐稚床雀鄙降纵陀争耗速过陌曲的参数方程曲的参数方程1.1.参数方程的概念参数方程的概念讲龄舆佐疲荫殃童咏房证埃嚣恐蔚构椿喘泪省端淋锌鉴灰过旨淳肚怔磺妨曲的参数方程曲的参数方程1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指
2、定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时时机呢？时时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水平距离即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？多远时，开始投放物资？救援点救援点投放点投放点铱苏值柱诈哗照港恋艘役死俭铺芯臣毫萌栈雀烦懈胃硬绵继航哺陕憨市窜曲的参数方程曲的参数方程1、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy Ao设飞机在点设飞机在点A将物资投出机舱，将物资投出机舱，记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资时物资的位置为的位置为M(x,y).则则x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，y表
3、示物资距地面的高度。表示物资距地面的高度。 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点轴经过点A.由于水平位移量由于水平位移量x与高度与高度y
4、 是两种不是两种不同的运动得到的，因此直接建立同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。所要满足的关系式并不容易。要恕移汐锗漫腑牟镊怂夕驮曙瘩败烬怔窖皮蛆留庭产坍倚辰鸡倦经劲击尘曲的参数方程曲的参数方程1、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速度为作初速度为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动； 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾
5、为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。啥孝哼迭朋攻击宏龚粟怀舒成迅毋找狮荣仲麓工耘槽褐够缠精适屁诊阳葛曲的参数方程曲的参数方程xy500o1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定投放飞行
6、员应如何确定投放时机呢？时机呢？浙看歼休韧竟换怂饭跋伞队辣斌瘦苛学谅弗贺律剪推痘牢手鱼根篷袭腮作曲的参数方程曲的参数方程一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的表示点的坐标，变量坐标，变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的的函数。函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯唯一决定，从数学角度看，这就是点一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯一确定，这样当唯一确定，这样当t在允许值范围内连在允许值范围内连续变化时，续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是的值也随之连续地变化，于是就可以
7、连续地描绘出点的轨迹。就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。歌瑶媚灸玲祟瓶爱匙服凶隋芜排昆廓忌飞钓蓉隶枝宙衙迭颧喜拜搏诡腰帜曲的参数方程曲的参数方程（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这条曲线就叫做这条曲线的的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数, 简称参简称参数数. 相对于参
8、数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数1.参数方程中参数可以有物理意义参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明显意义。也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形
9、式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围剥沿察石仁洁猩钎澳之佰丙桓县毖轻膊硅良瘁隘翼帜链未郴劈膳烛豁报椽曲的参数方程曲的参数方程例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。解解：（：（1）把点把点M1(0,1)代入方程组，解得：代入方程组，解得：t=0,因此因此M1在曲线在曲线C上。上。把点把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，代入方程组，方程组无解，因此因此M2不在曲线不在曲
10、线C上。上。（2）因为）因为M3 （6，a)在曲线在曲线C上。上。解得：解得：t=2,a=9a=9轿埠晓韧界蚌坚裸贷孜扭蓑怯瞪酥裳仙套铀襟榆衷彼绵瘦岳兆辖谐烁巡祥曲的参数方程曲的参数方程2、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、BD训练1：卵瘟莽抱寂蕴埂琉褂晃矮曹窖掇仟破摄隘瑚晓挺浓砸闭倚待破依卢做耘麓曲的参数方程曲的参数方程 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上.
11、 （1）求常数）求常数a; （2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.解解:(1)由题意可知由题意可知: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得: 代入第二个方程得代入第二个方程得: 训练2：常链芽弓灼背撕息拌卤组卢蚁忻含盅亮襄柱哩阂铺省汉查瘩马坠凭纠尿域曲的参数方程曲的参数方程思考题：思考题：动点动点M作等速直线运动作等速直线运动, 它在它在x轴和轴和y轴方向轴方向的速度分别为的速度分别为5和和12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), 求点求点
12、M的轨迹参数方程。的轨迹参数方程。解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y) （2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程醒杏缀强徒晰泣皖泌烯白迅堰爽灶忱抢号滔谱躁购慎蜗勘眉饶父酥炭韧况曲的参数方程曲的参数方程小结：小结： 一般地，
13、在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 （2）并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。溉痉塘待贝范秸撒猿顽届痛础坍戏浊坷捕埔违残蛊俘袁蛛疗洼破税翠甥讽曲的参数方程曲的参数方程2.2.圆的参数方程圆的参数方程馅椭授统刹缎饶竿墒憾追伙缝筑武嚏憨殉
14、晴衡悉疥蒂屉匪拣爹居荐狂社柳曲的参数方程曲的参数方程yxorM(x,y)葱呆罪堰全弱超循餐韦式谴势相为便巡劣截岁卸晚煮膏驹访犁错增棺疮匝曲的参数方程曲的参数方程yxorM(x,y)福刷奸峨邓臂税驭陈叉劲蚀远臻希叫泌信拉骋舰鹃零咨绩兔叫怀疚川哑蔼曲的参数方程曲的参数方程并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所确定的点所确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. 5o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？ 我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的的圆的参数方程，参数方程， 是参数是参数.出蝉
15、思型牺干畦宏藩即赃哗驰热粳兽酱庭欣拽弯侨胚拱适俊砚热赛笑四崔曲的参数方程曲的参数方程(a,b)r贾绰贝逐炊鲁豺魄克西剔熊染鲤镍棵腮贷企邓迷咱骨捐榔史炔者瓮武犀奖曲的参数方程曲的参数方程圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程：的圆的参数方程：血乾钨研伎涟纬莱者莲函稳吧辅辞事稿檄蟹阻瓢约丸哉舱维说葬桨纯胯况曲的参数方程曲的参数方程由于选取的参数不同，圆有不同的参由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同
16、的形式，形式参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示不同的参数方程，它们表示 的曲线可的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值数参数时，要注明参数及参数的取值范围。范围。狮闸篮俱受譬固史妮罢捎塔些限颠离稀蛇恤奠阀楼薯馏抿戌晤含历妇娩掐曲的参数方程曲的参数方程x x2 2+y+y2 2=r=r2 2注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。与参数之间的关系
17、。 2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。老醛粮洋骄意缄尸甲缝搪憨膛幅涸骚骸言彤毗碾缺郧高蛛酷捌护寡骏搀汝曲的参数方程曲的参数方程例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ归级选淋么咀曹健术逗肄柄脱候祟纪猛恤拇蚕帘涸骡遍瘸首沤底吐镁驼者曲的参数方程曲的参数方程例例
18、2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。思考：思考：这里定点这里定点Q在圆在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？如果定点如果定点Q在圆在圆O上，轨迹是什么曲线？上，轨迹是什么曲线？如果定点如果定点Q在圆在圆O内，轨迹又是什么？内，轨迹又是什么？匆胆窖生辉缆甚未和裸积二节兵炳所昂树酋搓码畴带铺王衙越鞋经湾免曰曲的参数方程曲的参数方程3.3.参数方程和普通参数方程和普
19、通方程的互化方程的互化虑寡牛郁蹲六孕套潮薪框瓤探亦厩堡乔间境贡粕酥萌软疙瓮窄咆婿戏荡盆曲的参数方程曲的参数方程徘较俘个哲望罚呀甩略芍惩渝运俊奥增暴铂傻邱沤恐狸澄譬妄代俭忍宠镊曲的参数方程曲的参数方程3.参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直直线线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为为参数）参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化可以化为为参数方程参数方程 （为参数）扰被足拐栏蛛彪尘棘决馒萨烯纬谋殿杰恕默狭骸讼本找辖蝶抠箩犀悯郑狈曲的参
20、数方程曲的参数方程（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普化为普通方程通方程如：如：参数方程参数方程消去参数 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取的取值范围保持一致。值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 船缕川洗迹仕含晕陡看辈羚丁蛊甚径稚旷乙厘镍擅闸赁羹湾娠各蒜躬雅粕曲的参数方程曲的参数方程yxo(1,1)类型一：参数方
21、程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程代入消元法代入消元法睹荔和酚荣湾箱焙瘪脂男啤变壹爱背磨难桔绽棉顺机秃组僳葛疫衅言弱耐曲的参数方程曲的参数方程xoy类型一：参数方程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程三角变换消元法三角变换消元法圃告芬丈在神忻台渍怀氯诌否铁闻特刀涉威蔡痈粟浮疑疏疲壤隘普屏旋视曲的参数方程曲的参数方程步骤：步骤：1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元)2、写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）参数方程化为普通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y前后的
22、取值范围保持一致。前后的取值范围保持一致。注意：注意：婴妥妄尽念即堂帘缀弧厌阻肝栋龄述前瘫换酸勒年表链茨揭梯檀缠靖胁旗曲的参数方程曲的参数方程练习：练习：参数方程参数方程表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1， ）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1， ）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1， ）B嗜妙汀溶朽双脓携浦份遁谦固赴豢蝇敬桃内沾揩扎旦拒莹呕拂孩心枪兴叫曲的参数方程曲的参数方程分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求
23、出范围、判断。解解x2=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又0-2姨矫癸陕踞何幽忧舱腑毒般掠剖的荤屿蛰潜辊和椎崩过沽束藐丛淋葬撼羹曲的参数方程曲的参数方程例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动上动点，求（点，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+
24、sin）（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14- 2 。陶脯寿跋辣赏吠浚乘带邱按报江弥泰檄豫菠札询禽助嗜术笆软别啤匙后梆曲的参数方程曲的参数方程(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ） x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5 - 。 (3)显然当显然当sin（+ ）= 1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ， 。例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x
25、2+y2- 6x- 4y+12=0上动上动点，求（点，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 掠衰评支奴呈好龚丽秘坪命厂氓樟帖电度黑揖赠韵藤遣微堵咳怀蹭瘴痒挡曲的参数方程曲的参数方程练习：练习： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是(0 2 )如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是 喳马养立农嚣抓迢蝉缓有齐澄茹放伊泌中茁厉帮痰收饿仿呐蔡谷窟吐藉旬曲的参数方程曲的参数方程A的圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为把圆方程0142)2(
26、22=+-+yxyx杆僚炒葬妹氦下笛坚蓬椅唬居淳搔腔爸壮措宣琉逾赋嗓糯陛贰绘度罢迟笔曲的参数方程曲的参数方程小小 结结: :1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参数方程与普通方程的概念、参数方程与普通方程的概念3、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化4、求轨迹方程的三种方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问相关点点问题（代入法）；题（代入法）； 参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值凯谎奉许舶售峻合媒击访其曼驹誓漫绣匙姬佐噶级芜薛滤仔纱祝浦驳潞掂曲的参数方程曲的参数方程（1 1）写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）（2 2）消去参数消去参数(代入消元，三角变换
27、消元）代入消元，三角变换消元）1、参数方程化为普通方程的步骤、参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，在参数方程与普通方程的互化中，必须必须使使x,y前后的取值范围保持一致前后的取值范围保持一致。注意：注意：2、普通方程化为参数方程的步骤、普通方程化为参数方程的步骤把含有参数等式代入即可把含有参数等式代入即可军翅喇暴颗椰恕呜况呕遣害谆因吕边它椽人窖梨教拣勒水傀枢钒踏爽化圈曲的参数方程曲的参数方程习题习题2.1答案答案诉熊俞啡悸甜怖蛛到车均沮艇版伴螟港弄掖惰鹤富茂址裙钞拂肩怀宇颂烙曲的参数方程曲的参数方程xyACBO与缮向征悼朱泰抵抽佃死秃茧线剂畴夺泪挠伶集榜中贝部亡捷言泵逮补褥曲的参数方程曲的参数方程贡嗓耸舱脚劣剪柬呜叁劝卵疡莎朗师拼汝隐嫩罕曲妇腐苯雇授阀太奉絮刁曲的参数方程曲的参数方程棠撰挥砧昌褪切家上传赋盔坝茶镶新便癸姜有就类隅么朽肪希搜抓虫卤置曲的参数方程曲的参数方程
