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1、第二节椭圆第二节椭圆(2)(2) 一般地，以1(AB0)为方程的椭圆，具有明显的几何性质：1. 范围：_；2. 对称性：关于_成轴对称图形，关于_成中心对称图形；xa，a, yb，b 坐标轴 坐标原点 基础梳理基础梳理3. 顶点：椭圆有四个顶点，分别是_，_、_分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于_和_，A是长半轴的长，B是短半轴的长；A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b) 线段A1A2 线段B1B2 2a 2b 4. _叫做椭圆的离心率，记为E,0E1.离心率大小对椭圆形状的影响：当E越接近于1时，椭圆_；当E越接近于0时，椭圆_ 焦距与长轴长的比 越扁 越圆 5
2、. 椭圆的第二定义：平面内动点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数E(0Ee2，又因为椭圆的离心率越小，越接近于圆，所以更接近于圆的是 + =1.2. (选修21P33习题6改编)椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为_解析：由题意可知b=c，所以a2=2c2，所以离心率e= = .3. (选修21P32练习5改编)椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角是_90 解析：由题意知c= ，得a2=2c2，即b=c，所以一焦点与短轴两端点连线的夹角是90.4. 已知椭圆方程 1的一条准线方程是y ，则实数m的值是_1解析：
3、由题意知椭圆的焦点在y轴上，所以0m+4B0)上，以M为圆心的圆与X轴相切于椭圆的右焦点F.(1)若圆M与Y轴相切，求椭圆的离心率；(2)若圆M与Y轴相交于A，B两点，且ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程经典例题经典例题题型一椭圆的几何性质 分析：根据直线与圆相切的条件求出点M的坐标，代入椭圆方程建立关于离心率的方程，解出离心率；根据图形的几何特征、椭圆的几何性质建立方程求解解：(1)由题意可知，点M的坐标为(c，c)， + =1，即 + =1，即 + =1，即e2+ =1，即e2+ =1，即e2-e4+e2=1-e2，即e4-3e2+1=0，e2= = = 2，e= ，又e(0,1)，
4、e= .(2)把x=c代入椭圆方程 + =1，得yM= ，ABM是边长为2的正三角形，圆M的半径r=2，M到y轴的距离d= .r= ，d=c，即c= ， =2.又因为a2-b2=c2，所以a2-b2=3，代入得a2-2a-3=0，解得a=3，a=-1(舍去)，b2=2a=6.所求的椭圆方程为 + =1. (2011广东东莞五校联考)如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交X轴于P点，且椭圆的长半轴长A和短半轴长B是关于X的方程3X23 CX2C20(其中C为半焦距)的两个根求椭圆的离心率变式11解：依题意，由根与系数的关系得，两式联立，得a2
5、b2 c2，又b2a2c2，3a24c20，解得e ( 直接求出bc，ac亦可) 【例2】已知P是椭圆 1(AB0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点(1)若F1PF2(0)，求证：F1PF2的面积为B2TAN ；(2)若存在点P，使F1PF290，求椭圆离心率的取值范围分析：(1)F1PF2为焦点三角形，设PF1m，PF2n，则mn2a，而SF1PF2PF1PF2sin mnsin ，只要将mn用mn表示出来即可(2)若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式来求解解：(1)证明：如图所示，设PF1m，PF2n，F1PF2的面积为S，则S mnsin . 在F1PF2中，
6、(2c)2m2n22mncos ，(mn)22mn(1cos )mn2a,1cos 0，mn .由、得Sb2tan .(2)当F1PF2=90时，由(1)得4c2=4a2-2mn，又mn =a2(当且仅当m=n时取等号)，4a2-4c22a2， ，e ，e的取值范围为 . 已知椭圆 1(AB0)的左、右焦点分别为F1(C,0)，F2(C,0)，若椭圆上存在一点P，使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为_变式21解析：因为在PF1F2中，由正弦定理得 ， 则又由已知，得 ，即PF1 PF2，由椭圆的定义得PF1PF22a，则 PF2PF22a，解得PF2 ，由椭圆的几何性质知PF2ac，即 0，e2
7、2e10，解得e 1，又e(0,1)，该椭圆的离心率e( 1,1)【例3】(2010辽宁)设F1，F2分别为椭圆C： 1(AB0)的左、右焦点，过F2的直线L与椭圆C相交于A，B两点，直线L的倾斜角为60，F1到直线L的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果 2 ，求椭圆C的方程题型二直线与椭圆的位置关系分析：(1)利用F1到l的距离和l的倾斜角为60，求C的焦距(2)利用2转化为A、B两点纵坐标间的关系，利用两方程的联立来求解解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离 c2 ，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，直线l的方程
8、为y (x2) 联立 得(3a2b2)y24 b2y3b40.解得y1 ，y2 .因为 2 ，所以y12y2.即 2 ，解得a3.而a2b24，所以b .故椭圆C的方程为 1. (2010山东改编)如图，已知椭圆 1(AB0)过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线L：XY2上且不在X轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为K1、K2，求证： 2.变式3-1 (1)因为椭圆过点 ，e ，所以 1， .又a2b2c2.所以a ，b1，c1.故所求椭圆方程为 y21.(2)证明：
9、方法一：由于F1(1,0)、F2(1,0)，PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1k2，k10，k20.又直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x1)，yk2(x1)，联立方程 解得所以P( ， )又点P在直线xy2上，所以 2，因此2k1k23k1k20，即 2，结论成立方法二：设P(x0，y0)，则k1 ，k2 ，因为点P不在x轴上，所以y00.又x0y02，所以 2.因此结论成立【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2R，短半轴长为R.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2X，梯形面积为S.求面积S以X
10、为自变量的函数式，并写出其定义域分析：建立直角坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式题型三椭圆的实际应用解：依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图)，则半椭圆方程为 1(y0)，化简得y2 (0xr)S (2x2r)22(xr) ，由S0和C、D不重合，得其定义域为x|0xAB=2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 + =1(y 0)，易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时，面
11、积S=2 km2.【例5】如图，已知椭圆 1内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使MP2MF的值最小，求M点的坐标题型四椭圆第二定义及其应用 分析：利用椭圆的第二定义将点M到右焦点的距离转化为到右准线的距离，再利用图形直观地解答解：如图，设M在右准线l上的射影为M，由椭圆方程可知a=2，b= ，c=1，e= ，根据椭圆的第二定义，有 = ，即MF= MM，MP+2MF=MP+MM，显然，P，M，M三点共线时，MP+MM有最小值过P作准线的垂线y=-1，由方程组 解得M ，即M的坐标为 .(2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y(x2)，即3x4
12、y60；直线AF2的方程为x2，由图形可知，F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，设P(x，y)为F1AF2的角平分线所在直线上任意一点，则有|x2|，若3x4y65x10，则x2y80，其斜率为负数，不合题意，舍去；3x4y65x10，即2xy10，F1AF2的角平分线所在直线的方程为2xy10.【例】若椭圆 的离心率E ，则K的值为_易错警示错解由已知a2k8，b29，又e ，e2 ，解得k4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况。(1)若焦点在x轴上，即k89时，a2k8，b29，e2 ，解得k4.(2)若焦点在y轴上，即0k8b0)由e ，得 ，a2c
13、，b2a2c23c2， 1，将点A(2,3)代入，得 1，解得c2，椭圆E的方程为 1. (2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y (x2)，即3x4y60；直线AF2的方程为x2，由图形可知，F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，设P(x，y)为F1AF2的角平分线所在直线上任意一点，则有 |x2|，若3x4y65x10，则x2y80，其斜率为负数，不合题意，舍去；3x4y65x10，即2xy10，F1AF2的角平分线所在直线的方程为2xy10.2. (2010湖南)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8 KM的A、B两点各建一个考察基地，视冰川
14、面为平面形，以过A、B两点的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为Y轴建立平面直角坐标系(如图)考察范围到A、B两点的距离之和不超过10 KM的区域(1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 KM，以后每年移动的距离为前一年的2倍问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？知识准备：1. 椭圆的定义及标准方程；2. 直线方程的两点式和一般式；3. 点到直线的距离公式；4. 等比数列的求和公式解： (1)设边界曲线上点P的坐标为(x，y)，则由|PA|PB|10知，点P在以A、B为焦点，长轴长为2a10的椭圆上，此时短半轴长b 3，所以考察区域边界曲线(如图)的方程为 1.(2)易知过点P1，P2的直线方程为4x3y470，点A到直线P1P2的距离为d ，设经过n年，点A恰好在冰川边界线上，利用等比数列的求和公式得 ，解得n5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上
