《概率论与数理统计：1_5全概率与贝叶斯公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：1_5全概率与贝叶斯公式（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上页下页目录1/19山东农业大学信息学院上页下页目录2/19山东农业大学信息学院上页下页目录3/19山东农业大学信息学院引例引例 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个个白球，白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.小结小结 诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是，问题诸如此类的概率都是比较难求的。给人的感觉是，问题太复杂，不知该从哪里下手。太复杂，不知该从哪里下手。复杂的问题能否简单化呢
2、？复杂的问题能否简单化呢？思想思想 化整为零化整为零，各个击破，各个击破上页下页目录4/19山东农业大学信息学院123分析：第一步实验（分析：第一步实验（任取一箱任取一箱）第二步实验（第二步实验（任取一球任取一球）上页下页目录5/19山东农业大学信息学院解决思路解决思路 本题中的本题中的试验试验由先后相继的两个试验由先后相继的两个试验1“取箱取箱”和和2“取球取球”构成构成, 1 完成完成后进行后进行21取取1号箱号箱取取2号箱号箱取取3号箱号箱取得取得1个红球个红球取得取得1个白球个白球取得取得1个红球个红球取得取得1个白球个白球取得取得1个红球个红球用用 表示表示取取i号箱号箱， 表示表示
3、取一个红球取一个红球，一个划分一个划分 表示表示取一个白球取一个白球上页下页目录6/19山东农业大学信息学院解解 记记 Ai =取取第第i号箱号箱, B =取得红球取得红球,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)对每一项运对每一项运用乘法公式用乘法公式代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15.全概率公式全概率公式运用加法公运用加法公式得式得则则 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥上页下页目录7/19山东农业大学信息学院设设为样本空间，若事件为样本空间，若事件A1, A2, , An 满足：满足：A1，A2，An 两两不相容，即两两不相容，即 将将B分解到分解到
4、A1,A2,An 上上样本空间的划分样本空间的划分A1A2A3An通常要求通常要求通常要求通常要求AB则称则称A1, A2, , An为样本空间为样本空间的一个的一个划分划分.计算计算, 然后求和然后求和上页下页目录8/19山东农业大学信息学院按概率的可加性及乘法公式有按概率的可加性及乘法公式有A1A2A3AnB设试验设试验的样本空间为的样本空间为，设事件，设事件A1，A2， 则对任意事件则对任意事件B，有，有证明证明 因为因为故故全概率公式全概率公式An为样本空间为样本空间的一个划分，且的一个划分，且上页下页目录9/19山东农业大学信息学院 有有有有1010个个个个袋袋袋袋，其其其其中中中中
5、甲甲甲甲袋袋袋袋二二二二个个个个, ,每每每每袋袋袋袋中中中中有有有有红红球球球球、白白白白球球球球各各各各2 2个个个个; ;乙乙乙乙袋袋袋袋三三三三个个个个, ,每每每每袋袋袋袋中中中中有有有有红红球球球球3 3个个个个、白白白白球球球球2 2个个个个; ;丙丙丙丙袋袋袋袋五五五五个个个个, ,每每每每袋袋袋袋中中中中有有有有红红球球球球2 2个个个个、白白白白球球球球3 3个个个个. . 从从从从十十十十个个个个袋袋袋袋中中中中任任任任取取取取一一一一袋袋袋袋, ,再再再再从从从从袋袋袋袋中中中中任任任任取取取取一一一一球球球球, , 求求求求取取取取到到到到白白白白球球球球的概率的概率
6、的概率的概率. .记记 分分分分别别表示取到甲、乙、丙袋表示取到甲、乙、丙袋表示取到甲、乙、丙袋表示取到甲、乙、丙袋由全概率公式有由全概率公式有由全概率公式有由全概率公式有取到白球取到白球取到白球取到白球从甲、乙、丙袋取从甲、乙、丙袋取从甲、乙、丙袋取从甲、乙、丙袋取到白球的概率到白球的概率到白球的概率到白球的概率全概率公式是概率全概率公式是概率全概率公式是概率全概率公式是概率的加权平均的加权平均的加权平均的加权平均如果将三个袋中的球混如果将三个袋中的球混如果将三个袋中的球混如果将三个袋中的球混合在一起，然后任取一合在一起，然后任取一合在一起，然后任取一合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概
7、球，那么取到白球的概球，那么取到白球的概球，那么取到白球的概率是否相同？率是否相同？率是否相同？率是否相同？上页下页目录10/19山东农业大学信息学院 某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为设设A1乘火车来乘火车来， = 0.30.250.20.30.10.10.400.3、0.2、 0.1、 0.4，迟到的概率分别为，迟到的概率分别为0.25、 0.3、 0.1、0，求他迟到的概率求他迟到的概率A2乘轮船来乘轮船来， A3乘汽车来乘汽车来， A4乘飞机来乘飞机来， B迟到迟到.由全概率公式得由全概率公式得易见易见,= 0.145为样本
8、空间的一个划分，为样本空间的一个划分，上页下页目录11/19山东农业大学信息学院某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因发生的概率是各原因全概率公式全概率公式我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解解题关键解题关键 找原因，即第一步实验的一个划分找原因，即第一步实验的一个划分 B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是引起引起B发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概率公式全概率公式.上页下页目录12/19山东农业大学信息学院
9、例例3. 设袋中有设袋中有1212个乒乓球，个乒乓球，9 9个新球，个新球，3 3个旧球第一次比个旧球第一次比赛取赛取3 3球，比赛后放回；第二次比赛再任取球，比赛后放回；第二次比赛再任取3 3球，求第二次比赛取球，求第二次比赛取得得3 3个新球的概率个新球的概率 解：解：令令Bi=第一次比赛恰取出第一次比赛恰取出i个新球个新球（i=0,1,2,3 ), A=求第二次比赛取得求第二次比赛取得3 3个新球个新球 显然显然B0 0, B1 1, B2 2, B3 3为第一次比赛取为第一次比赛取3 3球试验样本空间的一个球试验样本空间的一个划分，由全概率公式得划分，由全概率公式得下页上页下页目录13
10、/19山东农业大学信息学院1 问题引入问题引入引引例例 某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占乙厂占35%，丙厂占丙厂占40%，且各厂的次品率分别为且各厂的次品率分别为5%，4%，2%. 如如果果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？ 说明：说明：本例不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确本例不是求取得的产品为正品、次品问题，而是在明确知道产品品质的情况下，分析知道产品品质的情况下，分析“货出谁家货出谁家”的问题。的问题。分析：分析：设设A1=甲厂生产的产品甲厂生产的
11、产品， A2=乙厂生产的产品乙厂生产的产品， A3=丙厂生产的产品丙厂生产的产品， B=取得次品取得次品。故所求事件的概率为，故所求事件的概率为， P(Ai/B). (i=1, 2, 3)上页下页目录14/19山东农业大学信息学院由条件概率的定义及全概率公式知由条件概率的定义及全概率公式知2 贝叶斯公式推导贝叶斯公式推导其中，其中，于是，于是，条件概率公式条件概率公式运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到事它是在观察到事件件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原
12、因的概率.上页下页目录15/19山东农业大学信息学院设设 A1 =灯泡是甲厂出产的灯泡是甲厂出产的，A2 =灯泡是乙厂出产的灯泡是乙厂出产的， 3 应用举例应用举例 某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂乙厂占占35%，丙厂占丙厂占40%，且各厂的次品率分别为且各厂的次品率分别为5%，4%，2%. 如果如果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能A3=灯泡是丙厂出产的灯泡是丙厂出产的，B=买到一个次品灯泡买到一个次品灯泡.由全概率公式得由全概率公式得由题设知由题设知性大？性大？=0.034
13、5,上页下页目录16/19山东农业大学信息学院由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得同理可得同理可得显然，乙厂出产显然，乙厂出产的可能性大！的可能性大！ 某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占乙厂占35%，丙厂占丙厂占40%，且各厂的次品率分别为且各厂的次品率分别为5%，4%，2%. 如如果果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？上页下页目录17/19山东农业大学信息学院例例5 5. . 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品
14、的合格率为产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%. 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求，试求某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率. 解解: : 设设B1=机器调整良好机器调整良好, B2=机器调整不好机器调整不好, A=产品合产品合格格. 依题意知依题意知 P(B1)=0.75，P(B2)=0.25，P(A/B1)=0.9，P(A/B2)=0.3，所求概率为所求概率为P(B1 /A). 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得
15、下页上页下页目录18/19山东农业大学信息学院贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定-后验概率后验概率在在B已经发生的前提下，已经发生的前提下， 再对导致再对导致 B 发生的原因的可能性大发生的原因的可能性大P( Ai ) -先验概率先验概率某结果发生的最可能原因某结果发生的最可能原因.它是由以往的经验得到的，是事件它是由以往的经验得到的，是事件 B的原因的原因.小重新加以修正小重新加以修正.上页下页目录19/19山东农业大学信息学院应用统计方法确定先验概率应用统计方法确定先验概率应用统计方法确定先验概率应用统计方法确定先验概率应应用用
16、用用 Bayes 公式公式公式公式计计算机可算机可算机可算机可计计算出后算出后算出后算出后验验概率概率概率概率应用医学知识确定应用医学知识确定应用医学知识确定应用医学知识确定假定假定假定假定 为为各种各种各种各种“ “疾病疾病疾病疾病” ” 对对人人人人进进行行行行观观察与察与察与察与检查检查, , 可以确定某个指可以确定某个指可以确定某个指可以确定某个指标标 如体温、脉搏、如体温、脉搏、如体温、脉搏、如体温、脉搏、血液中血液中血液中血液中转转氨氨氨氨酶酶酶酶含量等含量等含量等含量等 对应对应于于于于较较大大大大 的的的的“ “疾病疾病疾病疾病” ” 可提供可提供可提供可提供给给医生作医生作医
17、生作医生作进进一步的一步的一步的一步的临临床床床床诊诊断断断断上页下页目录20/19山东农业大学信息学院由由由由 BayesBayes 公式公式公式公式, ,此人真正患有癌症的概率此人真正患有癌症的概率此人真正患有癌症的概率此人真正患有癌症的概率为为用某种用某种用某种用某种诊诊断法断法断法断法诊诊断癌症断癌症断癌症断癌症, ,记记判断被检验者患有癌症判断被检验者患有癌症判断被检验者患有癌症判断被检验者患有癌症被被被被检验检验者患有癌症者患有癌症者患有癌症者患有癌症 已知已知已知已知现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性现在若
18、有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性又又又又设设人群中人群中人群中人群中 可可可可见见，虽虽然然然然检验检验法相当可靠，法相当可靠，法相当可靠，法相当可靠，但被但被但被但被诊诊断患有癌症而真正患有癌断患有癌症而真正患有癌断患有癌症而真正患有癌断患有癌症而真正患有癌症的可能性并不大症的可能性并不大症的可能性并不大症的可能性并不大有多大？有多大？有多大？有多大？上页下页目录21/19山东农业大学信息学院 作业：作业：25页页 14；15；16；17 上页下页目录22/19山东农业大学信息学院补充题补充题 设甲袋有设甲袋有a个白球，个
19、白球，b个黑球，乙袋有个黑球，乙袋有c个白球个白球d个黑球现从个黑球现从甲袋任取个球放入乙袋，再从乙袋任取球，求从乙袋取出甲袋任取个球放入乙袋，再从乙袋任取球，求从乙袋取出个白球的概率个白球的概率设、三车间生产同一种产品，产量各占设、三车间生产同一种产品，产量各占25、35、40，次品率分别为，次品率分别为5、4、6，现从中任取件产品，已知，现从中任取件产品，已知取得的是次品，问它是、车间生产的概率分别是多少？取得的是次品，问它是、车间生产的概率分别是多少？玻璃杯每箱玻璃杯每箱20只，假设各箱中有只，假设各箱中有0,1,2只残次品的概率分别为只残次品的概率分别为0.6, 0.3, 0.1. 一
20、顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看只，如果无残次品，则买下取一箱，而顾客开箱随机地察看只，如果无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；顾客买下该箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 放映结束放映结束上页下页目录24/19山东农业大学信息学院 托马斯托马斯托马斯托马斯贝叶斯贝叶斯贝叶斯贝叶斯 ( Thomas Bayes , 1701( Thomas Bayes , 1701(
21、 Thomas Bayes , 1701( Thomas Bayes , 17011761)1761)1761)1761) 英国牧师、业余数学家。英国牧师、业余数学家。英国牧师、业余数学家。英国牧师、业余数学家。 生活在生活在生活在生活在18181818世纪的世纪的世纪的世纪的贝叶斯生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师，为贝叶斯生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师，为贝叶斯生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师，为贝叶斯生前是位受人尊敬英格兰长老会牧师，为了证明上帝的存在，他发明了概率统计学原理，了证明上帝的存在，他发明了概率统计学原理，了证明上帝的存在，他发明了概率统计学原理，了证明上帝的存在，他发明了概
22、率统计学原理，遗憾的是，他的这一美好愿望至死也未能实现。遗憾的是，他的这一美好愿望至死也未能实现。遗憾的是，他的这一美好愿望至死也未能实现。遗憾的是，他的这一美好愿望至死也未能实现。 贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。今贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。今贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。今贝叶斯思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响。今天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。天，贝叶斯思想和方法在许多领域都获得了广泛的应用。 从二十
23、世纪从二十世纪从二十世纪从二十世纪2030203020302030年代开始年代开始年代开始年代开始, , , , 概率统计学出现了概率统计学出现了概率统计学出现了概率统计学出现了“频率学派频率学派频率学派频率学派”和和和和“贝叶斯学派贝叶斯学派贝叶斯学派贝叶斯学派”的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续。的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续。的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续。的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续。 我们的课程主要采用我们的课程主要采用我们的课程主要采用我们的课程主要采用“频率学派频率学派频率学派频率学派”的观点。的观点。的观点。的观点。上页下页目录25/19山东农业大学信息学院
