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1、第8章 概率论与数理统计问题的求解概率分布与伪随机数生成统计量分析数理统计分析方法及计算机实现统计假设检验方差分析及计算机求解 8.1概率分布与伪随机数生成 8.1.1 概率密度函数与分布函数概述通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf格式 P=pdf(name，K，A) P=pdf(name，K，A，B) P=pdf(name，K，A，B，C)阐明 前往在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名。 例如二项分布：设一次实验，事件Y发生的概率为p，那么，在n次独立反复实验中，事件Y恰 好 发 生 K次 的 概 率 P_K为 ：P_K=PX=K
2、=pdf(bino，K，n，p) 例: 计算正态分布N0，1的随机变量X在点0.6578的密度函数值。解： pdf(norm,0.6578,0,1) ans = 0.3213例:自在度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。 解： pdf(chi2,2.18,8) ans = 0.0363 随机变量的累积概率值(分布函数值) 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和累积概率值函数 cdf格式 cdf(name，K，A) cdf(name，K，A，B) cdf(name，K，A，B，C)阐明 前往以name为分布、随机变量XK的概率之和的累积概率值，name为分布函数名.例: 求规范正态分布
3、随机变量X落在区间(-，0.4)内的概率。 解： cdf(norm,0.4,0,1) ans = 0.6554例：求自在度为16的卡方分布随机变量落在0，6.91内的概率。 解： cdf(chi2,6.91,16) ans = 0.0250随机变量的逆累积分布函数 MATLAB中的逆累积分布函数是知，求x。命令 icdf 计算逆累积分布函数格式 icdf(name，K，A) icdf(name，K，A，B) icdf(name，K，A，B，C) 阐明 前往分布为name，参数为a1,a2,a3，累积概率值为P的临界值，这里name与前面一样。假设F= cdf(name，X，A，B，C) ，那么
4、 X = icdf(name，F，A，B，C) 例:在规范正态分布表中，假设知F=0.6554,求X解： icdf(norm,0.6554,0,1) ans = 0.3999例：公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的时机不超越1%设计的。设男子身高X单位：cm服从正态分布N175，6，求车门的最低高度。解：设h为车门高度，X为身高。求满足条件 FXh=0.99，即 FX=0.01故 h=icdf(norm,0.99, 175, 6)h = 188.95818.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数 8.1.2.1 Poisson分布其要求x是正整数。其中：x为选定的一组横坐标向量， y为
5、x各点处的概率密度函数值。例：绘制 l =1,2,5,10 时 Poisson 分布的概率密度函数与概率分布函数曲线。 x=0:15; y1=; y2=; lam1=1,2,5,10; for i=1:length(lam1) y1=y1,poisspdf(x,lam1(i); y2=y2,poisscdf(x,lam1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.2.2 正态分布正态分布的概率密度函数为:例： x=-5:.02:5; y1=; y2=; mu1=-1,0,0,0,1; sig1=1,0.1,1,10,1; sig1=sqrt(sig1);
6、 for i=1:length(mu1) y1=y1,normpdf(x,mu1(i),sig1(i); y2=y2,normcdf(x,mu1(i),sig1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.2.3 分布例： x=-0.5:.02:5; x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x);替代 y1=; y2=; a1=1,1,2,1,3; lam1=1,0.5,1,2,1; for i=1:length(a1) y1=y1,gampdf(x,a1(i),lam1(i); y2=y2,gamcdf(x,a1(i),l
7、am1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.2.4 分布卡方分布其为一特殊的 分布 ，a=k/2, l =1/2。例： x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2; x=sort(x); k1=1,2,3,4,5; y1=; y2=; for i=1:length(k1) y1=y1,chi2pdf(x,k1(i); y2=y2,chi2cdf(x,k1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.2.5 分布概率密度函数为:其为参数k的函数，且k为正整数。例： x=-5:0.02:5; k1=1,2
8、,5,10; y1=; y2=; for i=1:length(k1) y1=y1,tpdf(x,k1(i); y2=y2,tcdf(x,k1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.2.6 Rayleigh分布例： x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x); b1=.5,1,3,5; y1=; y2=; for i=1:length(b1) y1=y1,raylpdf(x,b1(i); y2=y2,raylcdf(x,b1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.2.7
9、F 分布其为参数p,q的函数，且p,q均为正整数。例：分别绘制p,q为1,1),(2,1),(3,1)(3,2),(4,1)时F分布的概率密度函数与分布函数曲线。 x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:1; x=sort(x); p1=1 2 3 3 4; q1=1 1 1 2 1; y1=; y2=; for i=1:length(p1) y1=y1,fpdf(x,p1(i),q1(i); y2=y2,fcdf(x,p1(i),q1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)8.1.3 概率问题的求解图4-9例： b=1; p1=raylcdf(
10、0.2,b); p2=raylcdf(2,b); P1=p2-p1P1 = 0.8449 p1=raylcdf(1,b); P2=1-p1P2 = 0.6065例： syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2)P =5/192 syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1),y,0,2)P =18.1.4 随机数与伪随机数例： b=1; p=raylrnd(1,30000,1); xx=0:.1:4; yy=hist(p,xx); hist()找出随机数落入各个子区间的点个数，并由之拟合出生成数据的概率
11、密度。yy=yy/(30000*0.1); bar(xx,yy), y=raylpdf(xx,1); line(xx,y)8.2 统计量分析 8.2.1 随机变量的均值与方差例：均值 syms x; syms a lam positive p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); m=int(x*p,x,0,inf) m =1/lam*a 方差 s=simple(int(x-1/lam*a)2*p,x,0,inf) s =a/lam2知一组随机变量样本数据构成的向量:求该向量各个元素的均值、方差和规范差、中位数median例：生成一组 30000 个正态分布随机数
12、，使其均值为 0.5，规范差为1.5，分析数据实践的均值、方差和规范差，假设减小随机变量个数，会有什么结果？ p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);mean(p),var(p),std(p)ans = 0.4879 2.2748 1.5083300个随机数 p=normrnd(0.5,1.5,300,1);mean(p),var(p),std(p)ans = 0.4745 1.9118 1.3827可见在进展较准确的统计分析时不能选择太小的样本点。例： m,s=raylstat(0.45)m = 0.5640s = 0.08698.2.2 随机变量的矩例：求解原点矩 syms
13、x; syms a lam positive; p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); for n=1:5, m=int(xn*p,x,0,inf), endm =1/lam*a m =1/lam2*a*(a+1)m =1/lam3*a*(a+1)*(a+2)m =1/lam4*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)m =1/lam5*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) 有规律 syms n; m=simple(int(x)n*p,x,0,inf) 直接求出m =lam(-n)*gamma(n+a)/gamma(a) for n=1:6, s=s
14、imple(int(x-1/lam*a)n*p,x,0,inf), end 中心距s =0s =a/lam2 s =2*a/lam3s =3*a*(a+2)/lam4s =4*a*(5*a+6)/lam5s =5*a*(3*a2+26*a+24)/lam6 好似无规律例：思索前面的随机数，可以用下面的语句得出随机数的各阶矩。 A=; B=; p=normrnd(0.5,1.5,30000,1); n=1:5; for r=n, A=A, sum(p.r)/length(p); B=B,moment(p,r); end A,BA = 0.5066 2.4972 3.5562 18.7530 41
15、.5506B = 0 2.2405 0.0212 15.1944 0.0643求各阶距的实际值： syms x; A1=; B1=; p=1/(sqrt(2*pi)*1.5)*exp(-(x-0.5)2/(2*1.52); for i=1:5 A1=A1,vpa(int(xi*p,x,-inf,inf),12); B1=B1,vpa(int(x-0.5)i*p,x,-inf,inf),12); end A1, B1A1 = .500000000001, 2.50000000000, 3.50000000001, 18.6250000000, 40.8125000000 B1 = 0, 2.25
16、000000000, 0, 15.1875000000, 08.2.3 多变量随机数的协方差分析例： p=randn(30000,4); cov(p)ans = 1.0033 0.0131 0.0036 0.0020 0.0131 1.0110 0.0061 -0.0154 0.0036 0.0061 1.0055 -0.0004 0.0020 -0.0154 -0.0004 0.98818.2.4 多变量正态分布的结合概率密度即分布函数例： mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % 输入均值向量和协方差矩阵 X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); x
17、y=X(:) Y(:); % 产生网格数据并处置(两列2501*2 p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % 求取结合概率密度 P=reshape(p,size(X); Change size(2501*161*41) surf(X,Y,P) 对协方差矩阵进展处置，可计算出新的结合概率密度函数。 Sigma2=diag(diag(Sigma2); % 消除协方差矩阵的非对角元素 p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); P=reshape(p,size(X); surf(X,Y,P)R为m行n列。例： mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; R1=mvnrnd
18、(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),o) Sigma2=diag(diag(Sigma2); figure; R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),o)8.3数理统计分析方法及计算机实现 8.3.1 参数估计与区间估计 无论总体X的分布函数Fx； 的类型知或未知，我们总是需求去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本X1，X2，Xn出发，构造一些统计量 X1，X2，Xni=1，2，k去估计总体X中的某些参数或数字特征 i=1，2，k.这样的统计量称为估计量.1、点
19、估、点估计：构造：构造X1，X2，Xn的函数的函数(X1，X2，Xn作作为参参数数的的点点估估计量，量，称称统计量量为总体体X参数参数的点估的点估计量量.2.区区间估估计：构造两个函数：构造两个函数(X1，X2，Xn和和(X1，X2，Xn做成区做成区间，把，把这作作为参数参数的区的区间估估计.区间估计的求法区间估计的求法 设总体X的分布中含有未知参数 ，假设对于给定的概率 ，存在两个统计量 (X1，X2，Xn和 (X1，X2，Xn,使得 那么称随机区间 为参数 的置信程度为 的置信区间,称 为置信下限,称 为置信上限. 由极大拟然法估计出该分布的均值、方差 及其置信区间。置信度越大，得出的置信
20、区间越小，即得出的结果越接近于真值。 还有gamfit(), raylfit(), poissfit() ，unifit()均匀分布 等参数估计函数例： p=gamrnd(1.5,3,30000,1); Pv=0.9,0.92,0.95,0.98; A=; for i=1:length(Pv) a,b=gamfit(p,Pv(i); A=A; Pv(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2)end AA = 0.9000 1.5 1.5123 1.5152 2.9825 2.9791 2.9858 0.9200 1.5 1.5126 1.5149 2.9825 2.9798 2.98
21、51 0.9500 1.5 1.5130 1.5144 2.9825 2.9808 2.9841 0.9800 1.5 1.5 1.5140 2.9825 2.9818 2.9831 num=300,3000,30000,300000,3000000; A=; for i=1:length(num) p=gamrnd(1.5,3,num(i),1); a,b=gamfit(p,0.95); A=A;num(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2); end A(:,2,3,4,5,6,7)ans = 1.4795 1.4725 1.4865 2.9129 2.8960 2.9299
22、 1.4218 1.4198 1.4238 3.1676 3.1623 3.1729 1.4898 1.4891 1.4904 3.0425 3.0409 3.0442 1.4998 1.4996 1.5000 3.0054 3.0049 3.0059 1.5006 1.5005 1.5007 2.9968 2.9966 2.9969 要到达参数估计效果良好，随机数不能选得太少，也不能选得太多，此例中为30000为好。8.3.2 多元线性回归与区间估计例： a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792; X=randn(120,6); y=X*a; a1=inv(X*X)*X*y;a1a
23、ns = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 a,aint=regress(y,X,0.02);a,aintans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920ans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 yhat=y+sqrt(0.5)*randn(120,1); a,aint=regress(yhat,X,0.02); a,aint a=1 -1.232 2.2
24、3 2 4 3.792ans = 1.0576 -1.3280 2.1832 2.0151 4.0531 3.7749ans = 0.8800 -1.5107 2.0284 1.8544 3.8788 3.6221 1.2353 -1.1453 2.3379 2.1757 4.2274 3.9276 errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a) errorbar()用图形绘制参数估计的置信区间。 yhat=y+sqrt(0.1)*randn(120,1);a,aint=regress(yhat,X,0.02); errorbar(1:6, a, aint
25、(:,1)-a, aint(:,2)-a)8.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计r为参数下的残差构成的向量。J为各个Jacobi行向量构成的矩阵。例： f=inline(a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4)*x).*sin(a(5)*x),a,x); x=0:0.1:10; y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1;1); aans = 0.12019999763418 0.21299999458274 0.54000000196818 0.17000000068705 1
26、.22999999996315 ci=nlparci(a,r,j) 0.12,0.213,0.54,0.17,1.23ci = 0.12019999712512 0.12019999814323 0.21299999340801 0.21299999575747 0.54000000124534 0.54000000269101 0.17000000036077 0.17000000101332 1.22999999978603 1.23000000014028 y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x)+0.02*rand(size(x); a,r,j=nlinfit(
27、x,y,f,1;1;1;1;1); aans = 0.12655784086874 0.17576593556541 0.54363873794463 0.17129712329146 1.23632101927 ci=nlparci(a,r,j)ci =0.12240417108574 0.130711510651740.16754837168468 0.183983499446140.53737093469422 0.549906541195040.16845014477426 0.174144101808661.22983289563708 1.23295974640145 errorb
28、ar(1:5,a,ci(:,1)-a,ci(:,2)-a)例： a=1;1;1;1;1;1; f=inline(a(1)*x(:,1).3+a(2).*sin(a(3)*x(:,2) ，.*x(:,3)+(a(4)*x(:,3).3+a(5)*x(:,3)+a(6),a,x); X=randn(120,3); y=f(a,X)+sqrt(0.2)*randn(120,1); ahat,r,j=nlinfit(X,y,f,0;2;3;2;1;2); ahatahat = 0.99166464884539 1.04776526972943 0.97668595800756 1.0202234588
29、9541 0.88639528763 1.09317291667891 ci=nlparci(ahat,r,j); ci 置信区间ci = 0.89133624667624 1.09199305101455 0.86664749663205 1.22888304282680 0.83628948119418 1.11708243482094 0.98466523279168 1.05578168499914 0.73055684224143 1.04223373202984 0.99932407018303 1.18702176317478 errorbar(1:6,ahat,ci(:,1)-
30、ahat,ci(:,2)-ahat) y1=f(ahat,X);plot(y y1) 绘制曲线8.4 统计假设检验8.4.1 正态分布的均值假设检验 H为假设检验的结论，当H0时表示不回绝H0假设，否那么表示回绝该假设。 s为接受假设的概率值， 为其均值的置信区间。 假设未知正态分布的规范差时，可用此函数。例：设某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖分量是一个随机数，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，规范差为0.015。某日开工后检验包装机能否正常，随机地抽取它所包装的的糖9袋，称得净重为公斤0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511,
31、 0.52, 0.515, 0.512,问机器能否正常？解： 分析总体均值、规范差知，那么可设样本的规范差为0.015，于是 问题就化为根据样本值来判别 还是 。为此提出假设： x=0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512; H,p,ci=ztest(x,0.5,0.015,0.05)H = 1p = 0.0248 %样本察看值的概率 ci = 0.5014 0.5210 %置信区间，均值0.5在此区间之外 结果H1，阐明在0.05的程度下，回绝原假设，即以为这天包装机任务不正常。例：某种电子元件的寿命X以小时计服
32、从正态分布，均值、方差均未知。现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170 , 问能否有理由以为元件的平均寿命大于225小时：解：按题意需做如下假设： 取 x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170; H,p,ci=ttest(x,225,0.05)H = 0p = 0.6677ci = 185.3622 285.8 %均值225在该置信区间内 结果阐明，H0，即在显著程度为0.05的情况下，不能
33、回绝原假设。即以为元件的平均寿命不大于225小时。8.4.2 正态分布假设检验 由随机样本断定分布能否为正态分布，可用下面两个假设算法的函数。 s为接受假设的概率值，s越接近于0，那么可以回绝是正态分布的原假设.例： X=216,203,197,208,206,209,206,208,202,203,206,213,218,207,208,. 202,194,203,213,211,193,213,208,208,204,206,204,206,208,209,. 213,203,206,207,196,201,208,207,213,208,210,208,211,211,214,. 220
34、,211,203,216,224,211,209,218,214,219,211,208,221,211,218,. 218,190,219,211,208,199,214,207,207,214,206,217,214,201,212,. 213,211,212,216,206,210,216,204,221,208,209,214,214,199,204,. 211,201,216,211,209,208,209,202,211,207,202,205,206,216,206,. 213,206,207,200,198,200,202,203,208,216,206,222,213,209
35、,219; H,p=jbtest(X,0.05) %P为接受假设的概率值，P越接近于0，那么可以回绝是正态分布的原假设；H = 0 p = 0.7281 mu1,sig1,mu_ci,sig_ci=normfit(X,0.05); mu=mu1,mu_cimu = 208.8167 207.6737 209.9596该分布的均值及置信区间 sig=sig1, sig_cisig = 6.3232 5.6118 7.2428该分布的方差及置信区间例： r=gamrnd(1,3,400,1); H,p,c,d=jbtest(r,0.05)H = 1p = 0c = 504.2641d = 5.99
36、15%P为接受假设的概率值，P越接近于0，那么可以回绝是正态分布的原假设；c为测试统计量的值，d为能否回绝原假设的临界值,cd, 故回绝。 8.4.3 其它分布的Kolmogorov-Smirnov 检验 此函数 Kolmogorov-Smirnov 算法可对恣意知分布函数进展有效的假设检验。 其中cdffun为两列的值，第一列为自变量，第二列为对应的分布函数的值。例： r=gamrnd(1,3,400,1); alam=gamfit(r)alam = 0.9708 3.1513检验： r=sort(r); H0,p=kstest(r,r gamcdf(r,alam(1),alam(2),0.
37、05)H0 = 0p = 0.6067 8.5方差分析及计算机求解 8.5.1 单因子方差分析 对一些察看来说，只需一个外界要素能够对观测的景象产生影响。 单要素方差分析是比较两组或多组数据的均值，它前往原假设均值相等的概率,假设p值接近于0，那么原假设遭到疑心，阐明至少有一列均值与其他列均值有明显不同。 X为需求分析的数据，每一列对应于随机分配的一个组的测试数据，这样会前往概率p，tab为方差分析表 。stats为统计结果量，为构造变量，包括每组均值等。 单因子方差分析表例：建立A矩阵，并求各列的均值。 A=5,4,6,7,9; 8,6,4,4,3; 7,6,4,6,5; 7,3,5,6,7
38、; 10,5,4,3,7; 8,6,3,5,6; mean(A)ans = 7.5000 5.0000 4.3333 5.1667 6.1667 p,tbl,stats=anova1(A) %单因子方差分析p = 0.0 %F Columns 36.4667 4 9.1167 3.8960 0.0 Error 58.5000 25 2.3400 Total 94.9667 29 stats = gnames: 5x1 char n: 6 6 6 6 6 source: anova1 means: 7.5000 5 4.3333 5.1667 6.1667 df: 25 s: 1.5297单因子
39、方差表 盒式图例：设有3台机器，用来消费规格一样的铝合金薄板。取样丈量薄板的厚度，准确至厘米。得结果如下：机器1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243机器2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261机器3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262检验各台机器所消费的薄板的厚度有无显著的差别？ X=0.236 0.238 0.248 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 ；0.258 0.264 0.259 0.267 0.262; P=anova1(X)P = 1.3431e-0058.5
40、.2 双因子方差分析 假设有两种因子能够影响到某景象的统计规律，那么应该引入双因子方差分析的概念。这时察看值可表示为一个三维数组。 根据双因子的特点，可以引入3个假设双要素方差表表中记号的定义求解双因子方差分析问题:例：比较 3 种松树在4 个不同地域的生长情况有无差别,在每个地域对每种松树随机地选择 5 株，丈量它们的胸径，对它们进展双因子方差分析。 B=23,15,26,13,21,25,20,21,16,18,21,17,16,24,27,14,17,19,20,24; 28,22,25,19,26,30,26,26,20,28,19,24,19,25,29,17,21,18,26,23
41、; 18,10,12,22,13,15,21,22,14,12,23,25,19,13,22,16,12,23,22,19; anova2(B,5); 5表示每一单元察看点的数目 小(有影响)， 很大(无影响)，所以没有理由回绝另外两个假设。故得出结论：树之间有显著差别,地域对树的胸径无显著影响，不同区域对不同树种的胸径观测结果也无显著影响。计算均值： C=; for i=1:3 for j=1:4 C(i,j)=mean(B(i,1:5+(j-1)*5); end, end C=C; mean(C); C=C mean(C)C = 19.6000 20.0000 21.0000 18.800
42、0 19.8500 24.0000 26.0000 23.2000 21.0000 23.5500 15.0000 16.8000 20.4000 18.4000 17.6500 19.5333 20.9333 21.5333 19.4000 20.35008.5.3 多因子方差分析 syms xy=dsolve(D2y-(2-1/x)*Dy+(1-1/x)*y=x2*exp(-5*x),.y(1)=pi,y(pi)=1,x) vpa(y,10) ans = .7716049383e-3*exp(-5.*x)*(6.*ei(1,6.*x)*exp(6.*x)+11.+30.*x+36.*x2)+1.155578411*exp(x)-.9717266*log(x)*exp(x) x1=0.5:0.01:4; y1=subs(y,x,x1); plot(x1,y1,1,pi,o,pi,1,o)
