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1、第四章第四章 多个样本均数比较多个样本均数比较 的方差分析的方差分析Analysis of Variance, ANOVA Analysis of Variance, ANOVA Content Content1. Basal ideal and application 1. Basal ideal and application conditionsconditions2. ANOVA of completely random designed 2. ANOVA of completely random designed data data 3. ANOVA of randomized bl
2、ock designed 3. ANOVA of randomized block designed datadata4. ANOVA of latin square designed data 4. ANOVA of latin square designed data 5. ANOVA of cross-over designed data 5. ANOVA of cross-over designed data 6. Multiple comparison of sample means6. Multiple comparison of sample means7. Bartlett t
3、est and Levene test 7. Bartlett test and Levene test 第一第一节 方差分析的基本思想方差分析的基本思想及其及其应用条件用条件目的：推断多个总体均数是否有差别。目的：推断多个总体均数是否有差别。 也可用于两个也可用于两个 方法：方差分析，即多个样本均数比较方法：方差分析，即多个样本均数比较 的的F检验。检验。 基本思想：根据资料设计的类型及研究基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。通过比较可能由某因素所至的
4、来解释。通过比较可能由某因素所至的变异与随机误差，即可了解该因素对测变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。定结果有无影响。应用条件：应用条件： 总体总体正态且方差相等正态且方差相等 样本样本独立、随机独立、随机设计类型：设计类型：完全随机设计资料的方差分析完全随机设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析随机区组设计资料的方差分析拉丁方设计资料的方差分析拉丁方设计资料的方差分析两阶段交叉设计资料的方差分析两阶段交叉设计资料的方差分析完全随机设计资料的方差分析的基本思想完全随机设计资料的方差分析的基本思想 合计合计 N S :第第i个处理组第个处理组第j个观察结果个观察结果w记总均
5、数为，各处理组均w数为，总例数为Nwnl+n2+ng，g为处理组数。w1.1.总变异总变异: :全部测量值大小不同，全部测量值大小不同，这种变异称为总变异。这种变异称为总变异。w总变异的大小可以用离均差平方总变异的大小可以用离均差平方和和(sum of squares of (sum of squares of deviations from meandeviations from mean，SS)SS)表表示，即各测量值示，即各测量值XijXij与总均数差与总均数差值的平方和，记为值的平方和，记为SSSS总。总。w总变异总变异SSSS总反映了所有测量值之总反映了所有测量值之间总的变异程度。间
6、总的变异程度。 计算公式为计算公式为其中：其中：w2组间变异：组间变异： 各处理组由于接受处各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数理的水平不同，各组的样本均数 (i1，2，g)也大小不等，这种变异也大小不等，这种变异称为组间变异。称为组间变异。w其大小可用各组均数与总均数的离均其大小可用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为差平方和表示，记为SS组间组间 。计算公式为计算公式为w3 3组组内内变变异异： 在在同同一一处处理理组组中中，虽虽然然每每个个受受试试对对象象接接受受的的处处理理相相同同，但但测测量量值值仍仍各各不不相相同同，这这种种变变异异称称为为组组内内变变异异误误差差）。
7、组组内内变变异异可可用用组组内内各各测测量量值值XijXij与与其其所所在在组组的的均均数数的的差差值值的的平平方方和和表表示示，记记为为SSSS组组内内, , 表表示随机误差的影响。示随机误差的影响。w三种变异的关系：三种变异的关系：均方差，均方均方差，均方(mean square(mean square，MS)MS)。 检验统计量：检验统计量：假设假设 ，那么，那么 都为都为随机误差随机误差 的估计，的估计，F F值应接近于值应接近于1 1。假设假设 不全相等，不全相等，F F值将明显大于值将明显大于1 1。用用F F界值单侧界值确定界值单侧界值确定P P值。值。第二节第二节完全随机设计资
8、料的方差分析完全随机设计资料的方差分析(completelyrandomdesign)是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。一、完全随机设计一、完全随机设计例4-1某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组进行双盲试验。问如何进行分组？（1 1完全随机分组方法：完全随机分组方法： 1. 编编号号：120名名高高血血脂脂患患者者从从1开开始始到到120，见表，见表4-2第第1行行P72）；）；2. 取取随随机机
9、数数字字：从从附附表表15中中的的任任一一行行任任一一列列开开始始，如如第第5行行第第7列列开开始始，依依次次读读取取三三位位数数作作为为一一个个随随机机数数录录于于编编号号下下，见表见表4-2第第2行；行；3. 3. 编编序序号号：将将全全部部随随机机数数字字从从小小到到大大 ( (数数据据相相同同则则按按先后顺序编序号，见表先后顺序编序号，见表4-24-2第第3 3行。行。4. 4. 事事先先规规定定：序序号号1-301-30为为甲甲组组，序序号号31-6031-60为为乙乙组组，序序号号61-9061-90为丙组，序号为丙组，序号91-12091-120为丁组，见表为丁组，见表4-24-
10、2第四行。第四行。（2 2统计分析方法选择：统计分析方法选择：1. 对对于于正正态态分分布布且且方方差差齐齐同同的的资资料料，常常采采用用完完全全随随机机设设计计的的单单因因素素方方差差分分析析(one-way ANOVA)或成组资料的或成组资料的 t 检验检验g=2）；）；2. 对对于于非非正正态态分分布布或或方方差差不不齐齐的的资资料料，可可进进行数据变换或采用行数据变换或采用Wilcoxon秩和检验。秩和检验。二、变异分解二、变异分解 例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组具体分组方法见例4-1），进行
11、双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?表表4-3 44-3 4个处理组低密度脂蛋白测量值个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)(mmol/L)三、分析步骤三、分析步骤 H0： 即即4个个试试验验组组总总体体均均数数相相等等 H1：4个试验组总体均数不全相等个试验组总体均数不全相等 2 . 计算检验统计量计算检验统计量 :1. 建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准:表表4-5 完全随机设计方差分析表完全随机设计方差分析表列方差分析表列方差分析表3. 确定确定P值，作出推断结论：值，作出推断结论： 按按 水
12、水准准，拒拒绝绝H0，接接受受H1，认认为为4个个试试验验组组ldl-c总总体体均均数数不不相相等等，即即不不同同剂剂量量药药物物对对血血脂脂中中ldl-c降降低低影影响响有有差差别。别。留意：留意：方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较见本章第六节）。当g=2时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的t检验等价，有。第三节第三节随机区组设计资料的方随机区组设计资料的方差分析差分析一、随机区组设计一、随机区组设计配伍组设计配伍组设计(randomized block design)w随机区组设计(randomi
13、zedblockdesign)又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素如性别、体重、年龄、职业、病情、病程等将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。ww（1 1随机分组方法：随机分组方法：（2 2随机区组设计的特点随机区组设计的特点随机分配的次数要重复多次，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行，且各个处理组受试对象数量相同。区组内均衡。在进行统计分析时，将区组变异离均差平方和从完全随机设计的组内离均差平和中分离出来，从而减小组内离均差平方和误差平方和），提高了统计检验效率。例4-3如何按随机区组设计，分配5
14、个区组的15只小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？分组方法：先将小白鼠按体重编号，体重相近的3只小白鼠配成一个区组，见表4-6。在随机数字表中任选一行一列开始的2位数作为1个随机数，如从第8行第3列开始纪录，见表4-6；在每个区组内将随机数按大小排序；各区组中内序号为1的接受甲药、序号为2的接受乙药、序号为3的接受丙药，分配结果见表4-6。（3 3统计方法选择：统计方法选择：1. 正正态态分分布布且且方方差差齐齐同同的的资资料料，应应采采用用两两因因素素 处处 置置 、 配配 伍伍 方方 差差 分分 析析 (two-way ANOVA)或配对或配对t检验检验g=2）；）；2. 当当不不满满足足方
15、方差差分分析析和和t检检验验条条件件时时，可可对对数数据据进进行行变变换换或或采采用用随随机机区区组组设设计计资资料料的的Friedman M检验。检验。表4-7随机区组设计的试验结果二、变异分解二、变异分解(1)总变异：反映所有观察值之间的变异总变异：反映所有观察值之间的变异,记为记为SS总。总。(2) 处处理理间间变变异异：由由处处理理因因素素的的不不同同水水平平作作用用和和随随机机误误差差产生的变异，记为产生的变异，记为SS处理。处理。(3) 区区组组间间变变异异：由由不不同同区区组组作作用用和和随随机机误误差差产产生生的的变变异异，记为记为SS区组区组.(4) 误差变异：完全由随机误差
16、产生的变异，记为误差变异：完全由随机误差产生的变异，记为SS误差。误差。对总离均差平方和及其自由度的分解，有对总离均差平方和及其自由度的分解，有: 表4-8 随机区组设计资料的方差分析表 三、分析步骤三、分析步骤例4-4某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？ 表表4-9 不同不同药药物作用后小白鼠肉瘤重量物作用后小白鼠肉瘤重量 g） H0： ，即三种不同药物作用后，即三种不
17、同药物作用后 小白鼠肉瘤重量的总体均数相等小白鼠肉瘤重量的总体均数相等 H1：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重 量的总体均数不全相等量的总体均数不全相等 据据 1=2、 2=8查附表查附表3的的F界值表，得界值表，得 在在=0.05的的水水准准上上，拒拒绝绝H0，接接受受H1，认认为为三三种种不不同同药药物物作作用用后后小小白白鼠鼠肉肉瘤瘤重重量量的的总总体体均均数数不不全全相相等等，即即不不同同药药物物的的抑抑瘤瘤效效果果有有差差别别。同同理理可可对对区区组组间间的的差差别别进行检验。进行检验。留意：留意：方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间
18、两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较见本章第六节）。当g=2时，随机区组设计方差分析与配对设计资料的t检验等价，有。 随随机机区区组组设设计计确确定定区区组组因因素素应应是是对对试试验验结结果果有有影影响响的的非非处处理理因因素素。区区组组内内各各试试验验对对象象应应均均衡衡，区区组组之之间间试试验验对对象象具具有有较较大大的的差差异异为为好好，这这样样利利用用区区组组控控制制非非处处理理因因素素的的影影响响，并并在在方方差差分分析析时时将将区区组组间间的的变变异从组内变异中分解出来。异从组内变异中分解出来。 因因此此，当当区区组组间间差差别别有有统统计计学学意
19、意义义时时，这这种种设设计计的的误误差差比比完完全全随随机机设设计计小小，试试验验效率得以提高。效率得以提高。第四节拉丁方设计资料的方差分析拉丁方设计资料的方差分析 第五节两阶段交叉设计资料的方差分析两阶段交叉设计资料的方差分析 第六节多个多个样本均数本均数间的多重比的多重比较 （multiple comparison）多重比多重比较较不能用两不能用两样样本均数比本均数比较较的的 t 检验检验！若用两样本均数比较的t检验进行多重比较，将会加大犯类错误把本无差别的两个总体均数判为有差别的概率。例如，有4个样本均数，两两组合数为，若用t检验做6次比较，且每次比较的检验水准定为=0.05，则每次比较
20、不犯类错误的概率为10.05），6次均不犯类错误的概 率 为 ， 这 时 ， 总 的 检 验 水 准 变 为 ，远比0.05大。因此，样本均数间的多重比较不能用两样本均数比较的t检验。适用条件：当方差分析的结果为拒绝H0，接受H1时，只说明g个总体均数不全相等。若想进一步了解哪些两个总体均数不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较。一、一、LSD-t检验检验 （least significant difference）适用范围：一对或几对在专业上有特殊适用范围：一对或几对在专业上有特殊 意义的样本均数间的比较。意义的样本均数间的比较。检验统计量检验统计量t的计算公式为的计算公式为式中留
21、意：留意： 例例4-74-7对例对例4-24-2资料，问高血脂患者的降血脂新药资料，问高血脂患者的降血脂新药2.4g2.4g组、组、4.8g4.8g组、组、7.2g7.2g组与安慰剂组的低密度脂蛋白含量组与安慰剂组的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别？总体均数有无差别？ ，即降血脂新药，即降血脂新药2.4g组与安慰剂组与安慰剂 组的低密度脂蛋白含量总体均数相等组的低密度脂蛋白含量总体均数相等 ， 即降血脂新药即降血脂新药2.4g组与安慰剂组与安慰剂 组的低密度脂蛋白含量总体均数不等组的低密度脂蛋白含量总体均数不等=0.05降血脂新药降血脂新药2.4g2.4g组与安慰剂组的比较：组与安慰剂组的比较
22、： 新药新药4.8g组组VS安慰剂组安慰剂组: LSD-t为为-4.29 7.2g组组VS安慰剂组安慰剂组: LSD-t 为为-8.59。 同理：按同理：按 水准，降血脂新药水准，降血脂新药4.8g组、组、7.2g组与安慰剂组间差别有统计学意义。组与安慰剂组间差别有统计学意义。二、二、Dunnett- t 检验检验适用条件：g-1个实验组与一个对照组均数差别的多重比较，检验统计量为t，亦称t检验。式中计算公式为：Dunnett-例4-8对例4-2资料，问高血脂患者的三个不同剂量降血脂新药组与安慰剂组的低密度脂蛋白含量总体均数是否有差别？H0：i=0，即各实验组与安慰剂组的低密度，即各实验组与安
23、慰剂组的低密度 脂蛋白含脂蛋白含 量总体均数相等量总体均数相等H1：i 0，即各实验组与安慰剂组的低密度，即各实验组与安慰剂组的低密度 脂蛋白含量总体均数不等脂蛋白含量总体均数不等=0.05Dunnett-Dunnett-Dunnett-三、SNK-q检验（Student-Newman-Keuls）适用于多个样本均数两两之间的全面比较。检验统计量q的计算公式为例例4-9 对例对例4-4资料，问三种不同药物资料，问三种不同药物的抑瘤效果两两之间是否有差别？的抑瘤效果两两之间是否有差别？H0：A=B，即即任任两两对对比比较较组组的的总总体体均均数数相等相等H1：AB，即即任任两两对对比比较较组组的
24、的总总体体均均数数不相等不相等=0.05将三个样本均数由小到大排列，并编组次：将三个样本均数由小到大排列，并编组次： 列列出出对对比比组组，并并计计算算两两对对比比组组的的均均数数之之差，写出两对比组包含的组数差，写出两对比组包含的组数a a。 已已知知=8=8和和a a，查查附附表表4 4的的q q界界值值，得得出出相相应的应的q q界值。界值。 以以实实际际的的q q值值和和相相应应的的q q界界值值作作比比较较，确确定对应的定对应的P P值值 。表4-15多个均数两两比较值结论：可认为结论：可认为A A药和药和B B药、药、C C药的抑瘤药的抑瘤 效果有差别，还不能认为效果有差别，还不能
25、认为B B药和药和C C药的药的抑瘤效果有差别。抑瘤效果有差别。第七节多样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验在进行方差分析时要求所对比的各组即各样本的总体方差必须是相等的，这一般需要在作方差分析之前，先对资料的的方差齐性进行检验，特别是在样本方差相差悬殊时，应注意这个问题。对两样本方差进行齐性检验的方法前已介绍。本节介绍多样本也适用于两样本方差齐性检验的Bartlett检验法和Levene检验法。一、 Bartlett 检验表4-17例4-2的方差齐性检验表二、 Levene 检验资料要求：可不具有正态性。资料要求：可不具有正态性。检验统计量：检验统计量：F计算公式：计算公式：F式中式中检验步骤：检验步骤：
