§12 求解求解N—S方程的压力修方程的压力修正方法正方法 2021/8/21 1、压力修正的意义：、压力修正的意义：对动量方程的离散形式进行求解时，我对动量方程的离散形式进行求解时，我们迭代的压力场们迭代的压力场P*计算出来的速度场，未必可以满足连续计算出来的速度场，未必可以满足连续方程所以我们要寻找一个改进压力估计值方程所以我们要寻找一个改进压力估计值P*的方法，以的方法，以使所得的带使所得的带*的速度场逐渐的满足连续方程的速度场逐渐的满足连续方程2、压力修正方法的基本思想：、压力修正方法的基本思想：在对在对N—S方程的离散形式进行方程的离散形式进行迭代求解的任一层次上，可以给定一个压力场，它可以是迭代求解的任一层次上，可以给定一个压力场，它可以是给定的或是上一层次计算出来的但由它所计算出的速度给定的或是上一层次计算出来的但由它所计算出的速度场未必满足连续性方程，所以要对压力场进行修正场未必满足连续性方程，所以要对压力场进行修正 3、修正原则：、修正原则：与改进后的压力场相对应的速度场能满足这一与改进后的压力场相对应的速度场能满足这一迭代层次上的连续性方程，据此来导出压力与速度修正值，迭代层次上的连续性方程，据此来导出压力与速度修正值，并以修正后的压力与速度开始下一层次的迭代计算。
并以修正后的压力与速度开始下一层次的迭代计算 2021/8/22 4、压力修正法步骤：、压力修正法步骤：1）假设一个压力场）假设一个压力场p*2）利用）利用p*，求解动量离散方程，得出相应的，求解动量离散方程，得出相应的u*,v*(不完善的速度场)3）改进压力场，要求与改进后的压力场相对应的速度场能满足）改进压力场，要求与改进后的压力场相对应的速度场能满足连续性方程即用连续性方程即用p’,u’,v’分别表示压力与速度的修正量，称分别表示压力与速度的修正量，称之为压力修正值（之为压力修正值（pressure correction）与速度修正量）与速度修正量(velocity correction)4）以正确的压力（）以正确的压力（p*+ p’），及相应的（），及相应的（u*+ u’），（），（v*+ v’））作为本层次的解，并据此开始下一层次的迭代计算作为本层次的解，并据此开始下一层次的迭代计算2021/8/23 引出两个关键问题：引出两个关键问题：1、如何获得压力修正值、如何获得压力修正值p’ 以使与以使与p相应的相应的u、、v满足满足连续性方程连续性方程? 2、、 获得压力修正值获得压力修正值p’后，如何确定后，如何确定u*,v*?12.1 速度修正值的计算公式速度修正值的计算公式改进后的压力场和速度场满足这一迭代层次上的动量离散方程：改进后的压力场和速度场满足这一迭代层次上的动量离散方程： 2021/8/24 因因为u*e是据是据p*从从这一一动量离散方程中量离散方程中导出的，因此也出的，因此也满足足动量离散方程，量离散方程，虽可能不可能不满足足连续性方程。
性方程两式相减得：两式相减得：说明：明：任意点速度的改任意点速度的改进值u’e由两部分由两部分组成：成：1) 该速度在同一方向上的相速度在同一方向上的相邻两两节点点间压力修正力修正值之差之差——产生速度修正生速度修正值的直接的直接动力2) 由由邻点速度修正点速度修正值所引起的，可所引起的，可视为是四周是四周压力的修正力的修正值对所所讨论位置上的速度改位置上的速度改进的的间接影响2021/8/25 为了了简化，忽略化，忽略间接影响，相当于假接影响，相当于假设∑ anbu’e 中中anb=0的得到得到速度修正方程速度修正方程：：或或 类似可得似可得于是于是改改进后的速度后的速度为：： (1)2021/8/26 12.2 求解压力修正值的代数方程求解压力修正值的代数方程压力修正值压力修正值p’应满足的条件：由应满足的条件：由p’而改进的速度场而改进的速度场u、、v能满足能满足连续性方程连续性方程将式1代入连续性方程的离散格式即可获得p’的代数方程在在时间间隔隔Δt内内对主控制体做主控制体做积分，得：分，得： 将（将（1）代入并整理可得：）代入并整理可得：2021/8/27 其中：其中：--------压力修正力修正值的代数方程。
的代数方程2））2021/8/28 说明：说明：1））b项是按带星号的速度取值的离散化连续性方程左侧的负值如项是按带星号的速度取值的离散化连续性方程左侧的负值如b=0，说明该速度场已满足连续性方程，不必对压力进一步进行，说明该速度场已满足连续性方程，不必对压力进一步进行修正，修正，p’方程迭代已收敛，即由该压力场求解的速度场定满足二方程迭代已收敛，即由该压力场求解的速度场定满足二守恒方程；守恒方程；2）可用各控制容积）可用各控制容积b值值（不满足连续性方程的剩余质量的大小）作为判断速度场作为判断速度场收敛的判据收敛速度与收敛的判据收敛速度与p’的特定方程有关，如忽略项过多，会的特定方程有关，如忽略项过多，会影响收敛速度如影响收敛速度如b≠0，重新校正压力场，重新校正压力场p’后，再求后，再求b值，直至值，直至 b≈0时，时， p’ 压力场可使速度分布满足连续性方程；压力场可使速度分布满足连续性方程；3）由）由p’计算而得的计算而得的u’，，v’可使可使u、、v能满足连续性方程，以能满足连续性方程，以u，，v作作为本层次上的速度场的解，并用它去改进动量离散化方程系数，为本层次上的速度场的解，并用它去改进动量离散化方程系数，开始进行下一层次的迭代计算；开始进行下一层次的迭代计算；2021/8/29 4）因求解的问题是非线性的，没有必要在每一层次迭代上）因求解的问题是非线性的，没有必要在每一层次迭代上去获得去获得p’真解，采用真解，采用ADI方式对方式对p’场作场作3-5次扫描后即可次扫描后即可停止迭代停止迭代（初始令各点p’=0）。
12.3 压力修正值方程的边界条件压力修正值方程的边界条件工程流场计算中边界条件一般有两种工程流场计算中边界条件一般有两种1) 边界上的压力已知：则边界上的压力已知：则p’=02) 边界上的法向速度已知，设边界上的法向速度已知，设ue已知，则已知，则u’e=0，则不必引，则不必引入入p’E2021/8/210 说明：说明：不论是边界压力已知，还是法向速度已知，都没有必要不论是边界压力已知，还是法向速度已知，都没有必要引入关于边界上压力修正值的信息在计算中，可令与边界相引入关于边界上压力修正值的信息在计算中，可令与边界相邻的主控制容积的邻的主控制容积的p’方程相应的影响系数为零方程相应的影响系数为零12.4 SIMPLE算法算法（（Semi-Implicit Method for Pressuer Linked ）（解压力耦合方程的半隐方法））（解压力耦合方程的半隐方法）SIMPLE法就是一种计算压力修正的一种方法法就是一种计算压力修正的一种方法1、半隐含义：、半隐含义：所谓半隐式是在公式中略去了某一项的处理方所谓半隐式是在公式中略去了某一项的处理方法略去间接影响保留直接影响的称为半隐式法。
略去间接影响保留直接影响的称为半隐式,全保留是全隐式全保留是全隐式 2021/8/211 1）后部分是压力修正对）后部分是压力修正对u’e的直接影响；前一部分是压力修的直接影响；前一部分是压力修正对正对u’e的间接影响，忽略该项称为半隐；的间接影响，忽略该项称为半隐；2）计算中若保留）计算中若保留∑ anbu’nb项，则项，则u’e方程就是全隐的代数方方程就是全隐的代数方程势必存在程势必存在u’e的相邻点的压力修正和速度修正，相邻的相邻点的压力修正和速度修正，相邻点又引入新的相邻点，这样使计算变复杂，无法进行逐点又引入新的相邻点，这样使计算变复杂，无法进行逐点计算但此项的忽略并不影响最终收敛解但此项的忽略并不影响最终收敛解2、、simple算法的计算步骤算法的计算步骤1）假定一个速度分布，记为）假定一个速度分布，记为u0，，v0，以此计算动量方程中的系，以此计算动量方程中的系数及常数项数及常数项 （源项中压力梯度无法求）2021/8/212 2）假定一个压力场）假定一个压力场p*；；3）依次求解两个动量方程，得）依次求解两个动量方程，得u*,v*（初始场）；4）求解压力修正值方程，得）求解压力修正值方程，得p’；；（ u*满足动量守恒但不满足连续性方程）5）据）据p’改进速度值；改进速度值；（以使新速度u满足连续性方程但可能不满足动量守恒）6）利用改进后的速度场（）利用改进后的速度场（u→u0，，v→v0）重新计算动量离散方程）重新计算动量离散方程的系数及源项中有影响速度场耦合的的系数及源项中有影响速度场耦合的Φ变量，如果变量，如果Φ并不影响并不影响流场，应在速度场收敛后再求解。
流场，应在速度场收敛后再求解7）利用改进后的压力场（）利用改进后的压力场（p→p*）作为下一次迭代计算的初值重）作为下一次迭代计算的初值重复上述步骤，直到得到收敛解（即满足质量方程复上述步骤，直到得到收敛解（即满足质量方程b→0，又满足，又满足动量方程动量方程ε→0）2021/8/213 分析讨论：分析讨论：1）为什么在获得压力的改进值）为什么在获得压力的改进值p（（p*+ p’）后，不直接利用这一）后，不直接利用这一改进值及改进值及u*,v*去开始下一层次的迭代，而还要计算这一层次的去开始下一层次的迭代，而还要计算这一层次的u’，，v’？？ 因因u*,v*还不满足这一层次的连续性方程，如果用它们去确还不满足这一层次的连续性方程，如果用它们去确定新的系数，开始下一层次迭代，会影响迭代的收敛速度，也定新的系数，开始下一层次迭代，会影响迭代的收敛速度，也会使会使ap = ∑ anb 的关系得不到保证的关系得不到保证注（Fe- Fw）项，会使代数方程组系数矩阵对角占优的条件遭到破坏2）如何获得）如何获得p’的离散化方程？的离散化方程？ 盲目试探压力场p*是不明智的，如能找到一种调节压力方法，即压力修正p’方程，压力校正方程仅是起引向正确压力场的一个中间算法，作用相当于一个负反馈器，对最终结果无直接影响，如推导p’方程略去项太多，可能导致发散，起正反馈作用。
2021/8/214 12.5 simple算法的讨论算法的讨论1、采取的简化假定、采取的简化假定1）速度场）速度场u0,v0 及及p*的假定是各自独立进行的，两者间没有任的假定是各自独立进行的，两者间没有任何联系但实际上如果给定一个速度场，压力也随之而定但实际上如果给定一个速度场，压力也随之而定独立设定可能会使两场不匹配独立设定可能会使两场不匹配2）略去）略去∑ anbu’nb项意味着在对速度修正值计算时没有把邻点项意味着在对速度修正值计算时没有把邻点速度修正值的影响考虑在内，如果对等号前的项作相应的变速度修正值的影响考虑在内，如果对等号前的项作相应的变化，可以减少因为略去邻点修正值的影响化，可以减少因为略去邻点修正值的影响3）采用线性化的动量离散方程，也就是在一个层次的计算中，）采用线性化的动量离散方程，也就是在一个层次的计算中，动量离散方程中的系数及源项假定为定值实际上它们与速动量离散方程中的系数及源项假定为定值实际上它们与速度有关2021/8/215 2、上述简化只会影响收敛的快慢，不会影响收敛的解、上述简化只会影响收敛的快慢，不会影响收敛的解 simple算法是以迭代方式进行求解的过程，它必须满足一个基算法是以迭代方式进行求解的过程，它必须满足一个基本要求，即迭代模式的组织不能影响最终的收敛解。
本要求，即迭代模式的组织不能影响最终的收敛解Simple算算法中采用的简化处理都满足这一基本要求法中采用的简化处理都满足这一基本要求1））u0,v0与与p*之间独立的假设，可能造成速度场与压力场之间的之间独立的假设，可能造成速度场与压力场之间的不协调，但只要迭代过程是收敛的，随着迭代的进行，这种不不协调，但只要迭代过程是收敛的，随着迭代的进行，这种不协调会逐渐减小，以致消失协调会逐渐减小，以致消失2）略去）略去∑ anbu’nb，，∑ anbv’nb对最终的收敛解也没有影响因为如对最终的收敛解也没有影响因为如果迭代收敛，则果迭代收敛，则u’→0,因而因而∑ anbu’nb，，∑ anbv’nb均均→0，，3）当迭代趋近于收敛时，两层间）当迭代趋近于收敛时，两层间u，，v也趋于相等因而离散方程也趋于相等因而离散方程的系数及源项保持不变的系数及源项保持不变2021/8/216 12.6 速度与压力修正值的亚松弛速度与压力修正值的亚松弛速度修正时略去邻界点的影响，使压力修正本身被夸大了，从而使速度修正时略去邻界点的影响，使压力修正本身被夸大了，从而使叠代过程中速度场与压力场不能同步，需采用亚松弛。
叠代过程中速度场与压力场不能同步，需采用亚松弛压力修正压力修正：：为限制两限制两层之之间的的变化，以有利于非化，以有利于非线性性问题的迭代收的迭代收敛，将本，将本层次的次的计算算结果与上一果与上一层次次结果的差果的差值做适当做适当缩减，以避免由于减，以避免由于差差值过大而引起非大而引起非线性迭代性迭代过程程发散，需采用散，需采用亚松弛速度修正：速度修正：a ap p≈0.8为压力力亚松弛因子亚松弛因子Φp0为上一上一层次之解，次之解，a为松弛因子为松弛因子2021/8/217 式子改为：式子改为：主对角线的系数是主对角线的系数是 而不是而不是ap，，源项改为源项改为此时代数方程的解就是亚松弛后的解此时代数方程的解就是亚松弛后的解2021/8/218 12.7 流场迭代收敛的判据流场迭代收敛的判据作用作用:在算法中在算法中,对对αE、、αW、、αN、、αS和和b假定为定值但实际假定为定值但实际 受流速的变化而变化因而没有必要把一组临时的系数与源受流速的变化而变化因而没有必要把一组临时的系数与源项的代数方程准确地求出来，采用迭代法可以适时地停止迭项的代数方程准确地求出来，采用迭代法可以适时地停止迭代，及时地用所得到的解去更新系数与源项，以进入下一层代，及时地用所得到的解去更新系数与源项，以进入下一层次的计算。
次的计算1、两种迭代收敛问题、两种迭代收敛问题1）同一层次上代数方程迭代求解）同一层次上代数方程迭代求解——内迭代内迭代2）非线性问题，从一层次向另一层次推进的问题）非线性问题，从一层次向另一层次推进的问题——外迭代外迭代 2021/8/219 小于某一数小于某一数值. 3) 终止迭代止迭代时的范数与初始范数之比小于允的范数与初始范数之比小于允许值. 注注:①①γp成成为余量下降率余量下降率.其其值一般取一般取0.25~0.05. ②②迭代次数从始至迭代次数从始至终近似相同近似相同. ③③缺点缺点:增加了增加了计算范数的工作量算范数的工作量.1) 简单的的规定迭代的定迭代的轮数数.2) p’方程余量的范数方程余量的范数2、终止内迭代的判据、终止内迭代的判据一般有三种方法2021/8/220 说明：说明：在内迭代中在内迭代中p’方程求解是关键，在每一层次的迭代上：方程求解是关键，在每一层次的迭代上：1）若）若p’迭代停止的太早，则速度修正值迭代停止的太早，则速度修正值u,v不能较好地满足连不能较好地满足连续性方程，由于续性方程，由于u,v要用于下一层次迭代方程系数的确定，要用于下一层次迭代方程系数的确定，于是，误差就会传播出去，以至于使迭代发散，于是，误差就会传播出去，以至于使迭代发散，2）若）若p’终止迭代的太晚，将不经济。
即占计算机内存和求解时终止迭代的太晚，将不经济即占计算机内存和求解时间，因为间，因为p’方程的求解时间占到整个求解时间的方程的求解时间占到整个求解时间的80%以上3）） p’方程组相当于一个扩散方程的离散形式，边界条件处理方程组相当于一个扩散方程的离散形式，边界条件处理相当于绝热，一个绝热体系只有当源项总合为零时，才能维相当于绝热，一个绝热体系只有当源项总合为零时，才能维持稳定的场，这相当于要求计算区域满足总体质量守恒持稳定的场，这相当于要求计算区域满足总体质量守恒2021/8/221 3、终止非线性问题迭代的判据、终止非线性问题迭代的判据1））特征量在连续若干个层次迭代中的相对偏差小于允许值特征量在连续若干个层次迭代中的相对偏差小于允许值如Num平均努谢尔特数) 2））内节点上连续方程余量的代数和内节点上连续方程余量的代数和(Rsum)及余量的最大绝对及余量的最大绝对值值(Rmax)小于一定数值小于一定数值考虑有流量作参考) 且且 2021/8/222 3）连续性方程余量范数的相对值小于允许值连续性方程余量范数的相对值小于允许值4）要求在整个求解区域内动量方程余量之和的范数与参考）要求在整个求解区域内动量方程余量之和的范数与参考动量之比小于一定值动量之比小于一定值 注注:为确保可靠性为确保可靠性,可以几个条件同时使用，可以几个条件同时使用，相对偏差相对偏差ε一般取一般取10-3~10-5 2021/8/223 思考题思考题1、压力修正的基本思想，步骤，如何用、压力修正的基本思想，步骤，如何用p*求求解解u*,v* ？？2、压力修正速度修正如何得到？、压力修正速度修正如何得到？3、为什么求压力修正量，、为什么求压力修正量，b为什么可以判断为什么可以判断收敛，收敛，b大说明什么？大说明什么？4、、SIMPLE步骤中的步骤中的Φ指的是什么？改进后指的是什么？改进后的值有哪些？的值有哪些？5、、 ∑ anbu’nb为什么与收敛解无关？怎么理为什么与收敛解无关？怎么理解收敛的时候解收敛的时候u’，，v’在收敛时相等？在收敛时相等？2021/8/224 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！ 。