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1、第六讲曲线与曲面第六讲曲线与曲面立体的投影立体的投影教材：教材：p4662预习：预习：p6270P31, 33, P35 381一、曲线一、曲线2（一）曲线的形成与分类（一）曲线的形成与分类形成：形成：点的运动轨迹直线的包络线圆的包络线两曲面的交线分类：分类：平面曲线平面曲线空间曲线空间曲线曲线上所有点都在同一平面上曲线上任意四个连续点不在同一平面上3相贯线4（二）平面曲线（二）平面曲线投影性质：投影性质：1）一般情况下仍为平面曲线）一般情况下仍为平面曲线2）垂直投影面时，曲线在该投影面上的投影为一直线）垂直投影面时，曲线在该投影面上的投影为一直线3）平行投影面时，曲线在该投影面上的投影反映实
2、形）平行投影面时，曲线在该投影面上的投影反映实形4）平面曲线的割线和切线的投影仍为其投影的割线和切线）平面曲线的割线和切线的投影仍为其投影的割线和切线5）平面曲线投影后一般次数和类型不变）平面曲线投影后一般次数和类型不变5平面曲线的投影作图平面曲线的投影作图利用面上取点的方法求投影 (应取四个以上点)依次光滑连接而成。6（三）常见平面曲线（三）常见平面曲线-圆的投影圆的投影除了平行于投影面外，圆的投影一般为椭圆除了平行于投影面外，圆的投影一般为椭圆弦的中点椭圆任一直径必平分其共轭弦椭圆任一直径必平分其共轭弦椭圆的共轭直径有无数对椭圆的共轭直径有无数对当一对共轭直径互相垂直时，即为椭圆的长、短轴
3、当一对共轭直径互相垂直时，即为椭圆的长、短轴已知长、短轴画椭圆已知长、短轴画椭圆的方法见书的方法见书P97oEFGHkABCDoIIIM共轭直径CD直径的共轭弦7BADC同心圆法同心圆法四心圆法四心圆法BA D C 1 2 3 4分别以分别以1、2、3、4为圆心，为圆心，1A,2C,3B,4D为半径画圆弧，为半径画圆弧，得到近似椭圆得到近似椭圆8圆的投影作图方法圆的投影作图方法特殊位置特殊位置一般位置一般位置平行平行垂直垂直ooababcdcd圆直径椭圆长轴(=圆直径)椭圆短轴ab cd利利用用最最大大斜斜度度线线换换面面法法9D/2长轴长轴短轴短轴一般位置一般位置圆的投影作图圆的投影作图利用
4、最大斜度线利用最大斜度线对对H面最大斜度线面最大斜度线H面面V面求法同样面求法同样1212cdab0mtnsnmst0efgh短轴如何求？短轴如何求？10用换面法作图用换面法作图书4-8求水平投影：求水平投影：将圆所在平面变换成正垂面将圆所在平面变换成正垂面据重影性求长短轴据重影性求长短轴求正面投影：求正面投影：将圆所在平面变换成铅垂面将圆所在平面变换成铅垂面据重影性求长短轴据重影性求长短轴11（四）圆柱螺旋线（四）圆柱螺旋线空间曲线空间曲线圆柱螺旋线圆柱螺旋线导程导程旋向：分为右旋、左旋两种旋向：分为右旋、左旋两种 一动点在正一动点在正圆柱表面上绕其圆柱表面上绕其轴线作等速回转轴线作等速回转
5、运动，同时沿圆运动，同时沿圆柱轴线方向作等柱轴线方向作等速直线运动，则速直线运动，则其轨迹称为圆柱其轨迹称为圆柱螺旋线。螺旋线。A12圆柱螺旋线投影作图方法圆柱螺旋线投影作图方法等分圆周（图例等分圆周（图例12等分）等分）等分导程等分导程投影图和展开图投影图和展开图导程导程升角13二、曲面二、曲面14（一）曲面的形成（一）曲面的形成（二）曲面的分类（二）曲面的分类回转轴回转轴曲面是一动线在空间运动的轨迹。曲面是一动线在空间运动的轨迹。 动线动线母线母线 母线的每一位置母线的每一位置素线素线控制母线运动的一些不动的线控制母线运动的一些不动的线导线导线圆柱面圆柱面.单叶双曲面单叶双曲面.球面球面.
6、机身、船身机身、船身.直线面直线面曲线面曲线面可展曲面可展曲面不可展曲面不可展曲面定线曲面定线曲面变线曲面变线曲面分类分类直线面曲线面可展曲面不可展曲面15（三）曲面的表达方法（三）曲面的表达方法用投影图表示：用投影图表示：1 清晰表达曲面的形状清晰表达曲面的形状2 据投影能作出曲面上任意点和任意位置直线的投影据投影能作出曲面上任意点和任意位置直线的投影注意：注意：1 应画出曲面的几何要素的投影（母线、导线等）应画出曲面的几何要素的投影（母线、导线等）2 为了决定曲面的投影范围，要画出曲面的投影轮廓线为了决定曲面的投影范围，要画出曲面的投影轮廓线16一直母线沿一曲导线运动，且平行于直导线而形成
7、的曲面一直母线沿一曲导线运动，且平行于直导线而形成的曲面可展直线面（四）常见曲面的形成与表示法（四）常见曲面的形成与表示法1 柱面柱面轮廓线17一直母线沿一曲导线运动，且始终通过一点而形成的曲面2.锥面锥面可展直线面回转轴回转轴轮廓线183 曲线回转面曲线回转面一曲线绕一轴线（即导线）回转运动形成的曲面一曲线绕一轴线（即导线）回转运动形成的曲面194 螺旋面螺旋面一直母线沿着两条导线（一条为螺旋线，另一条为螺旋线的一直母线沿着两条导线（一条为螺旋线，另一条为螺旋线的轴线）连续运动形成的曲面称为螺旋面。轴线）连续运动形成的曲面称为螺旋面。正螺旋面正螺旋面母线母线轴线轴线斜螺旋面斜螺旋面母线不母线
8、不轴线轴线始终与轴线成相同夹角始终与轴线成相同夹角20三、立体的投影三、立体的投影21由平面所围成的立体称平面立体由平面所围成的立体称平面立体由平面和曲面或全部由曲面围成由平面和曲面或全部由曲面围成 的立体称曲面立体的立体称曲面立体分析：这些立体的投影有什么特点？分析：这些立体的投影有什么特点？立体分两类：平面立体立体分两类：平面立体 曲面立体曲面立体22平面立体平面立体由平面所组成由平面所组成-立体立体的投影由的投影由 组成该立体的各平面组成该立体的各平面（称（称棱面棱面）投影的组合，）投影的组合，而棱面是由而棱面是由 各棱面的交线（各棱面的交线（棱棱线线）的投影来表示）的投影来表示1.平面
9、立体的投影平面立体的投影平面立体投影平面立体投影-棱线的投影棱线的投影典型平面立体：棱柱典型平面立体：棱柱 棱锥棱锥23分析特点分析特点1）棱柱）棱柱 六棱柱的投影，为其上下两个水六棱柱的投影，为其上下两个水 平面及其六个棱面的投影组成。平面及其六个棱面的投影组成。oxzywyH上下面投影反映实形，侧上下面投影反映实形，侧棱面的投影反映积聚性棱面的投影反映积聚性上下面投影反映积聚性，上下面投影反映积聚性，侧棱面的投影反映实形侧棱面的投影反映实形242)棱锥252.曲面立体的投影曲面立体的投影回转曲面回转曲面：母线（直：母线（直线或曲线）绕轴线回线或曲线）绕轴线回转一周后形成的曲面。转一周后形成
10、的曲面。如：圆柱、圆锥、球。如：圆柱、圆锥、球。-以回转曲面为例以回转曲面为例它们的投影图须按不同的它们的投影图须按不同的投影方向投影方向画出投影轮廓线画出投影轮廓线它们的表面光滑无棱它们的表面光滑无棱回转轴回转轴261）圆柱面的投影）圆柱面的投影特点：水平投影为特点：水平投影为圆圆 正面和侧面投影为正面和侧面投影为矩形矩形重影点重影点重影点重影点圆柱的投影分别为其顶圆、底圆圆柱的投影分别为其顶圆、底圆及圆柱面上外形轮廓线的投影及圆柱面上外形轮廓线的投影投影积聚性投影积聚性外形外形轮廓线轮廓线外形外形轮廓线轮廓线27这是什么？这是什么？这是什么？这是什么？282）圆锥面的投影）圆锥面的投影特点
11、：水平投影特点：水平投影-圆圆 正面和侧面投影正面和侧面投影-等腰三角形等腰三角形重影点重影点重影点重影点 圆锥的投影分别为其底圆圆锥的投影分别为其底圆及圆锥面上外形轮廓线的投影及圆锥面上外形轮廓线的投影圆锥底圆锥底圆投影圆投影轮廓轮廓线投影线投影轮廓轮廓线投影线投影293）球面的投影）球面的投影特点：三个投影面上的投影均是直径相等的圆特点：三个投影面上的投影均是直径相等的圆 球的三面投影都是圆，各视图上的圆球的三面投影都是圆，各视图上的圆都是球上相应的转向轮廓线的投影都是球上相应的转向轮廓线的投影前、后半前、后半球分界圆球分界圆左、右半左、右半球分界圆球分界圆上、下半上、下半球分界圆球分界圆
12、303132 四、立体四、立体表面表面上取点、线上取点、线33(3)1 棱柱棱柱 取点取点平面立体平面立体142o xzywYH14211223344342 棱锥棱锥取点取点sssabcabca(c)b212211取线取线？注意可见性。注意可见性。(p56)(3)33351）圆柱表面上取点）圆柱表面上取点1.圆柱圆柱mmm注意：注意：1寻找关键点寻找关键点-轮廓线上点，轮廓线上点，即可见与不可见的分界点。即可见与不可见的分界点。 2充分利用积聚性充分利用积聚性已知：已知：m,求另外两投影求另外两投影已知表面有线已知表面有线mk，求另外两投影，求另外两投影正面投影是直线，空间是什么？正面投影是直
13、线，空间是什么？2）圆柱表面上取线）圆柱表面上取线kkkH面：积聚性面：积聚性w面：找转向点面：找转向点zzZ连接各点连接各点并分析可见性并分析可见性曲面立体曲面立体36圆柱面上的点投影积聚性投影积聚性yy a a a37yy a a a 圆柱面上的线121238思考曲面上的线由若干点组成，曲面上的线由若干点组成，这些点有什么不同？这些点有什么不同？表面取线应注意什么表面取线应注意什么/392.圆锥圆锥1）圆锥表面上取点）圆锥表面上取点kkk素线法素线法纬圆法纬圆法kkk素线法素线法纬圆法纬圆法40 (2）圆锥表面上取线）圆锥表面上取线rr纬圆纬圆aaaAbccb(b)找关键点找关键点CcC是
14、轮廓线上的是轮廓线上的点，也是转向点点，也是转向点是可见与不可见是可见与不可见分界点。分界点。问：问：1 投影为直线，投影为直线，是否是圆锥面上的一是否是圆锥面上的一直线？直线？2 其他两投影其他两投影是否是直线？是否是直线？413 圆台圆台kkk可用素线法可用素线法也可用纬圆法也可用纬圆法问题：若用素线法，如何取素线？问题：若用素线法，如何取素线？424.球面球面1）球面上取点）球面上取点:已知已知k球表面无积聚性球表面无积聚性,也不可能也不可能作辅助直线作辅助直线.只能用只能用纬圆法纬圆法K已知已知k2）球面上取线）球面上取线已知已知k1k(k)k11(1)22(2)33(3)用水平圆，也可用正平圆或侧平圆用水平圆，也可用正平圆或侧平圆43
