《高考数学 第八章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第八章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式别式判断位置关系判断位置关系. .0 0直线与圆直线与圆_；=0=0直线与圆直线与圆_；0 0直线与圆直线与圆_._.相交相交相切相切相离相离(2)(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线的距离线的距离d d与半径与半径r r比较大小
2、来判断直线与圆的位置关系比较大小来判断直线与圆的位置关系. .ddr r直线与圆直线与圆_；d=rd=r直线与圆直线与圆_；d dr r直线与圆直线与圆_._.相交相交相切相切相离相离【即时应用即时应用】(1)(1)“k=1k=1”是是“直线直线x-y+k=0x-y+k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的的_条件条件. .(2)(2)已知点已知点M(xM(x0 0,y,y0 0) )是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内异于圆心的一点，则直内异于圆心的一点，则直线线x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2与此圆的位置关系是与此圆的位置关
3、系是_._.【解析解析】(1)(1)当当k=1k=1时，圆心到直线的距离时，圆心到直线的距离1=r,0)(r0)内的一点，内的一点，所以所以x x0 02 2+y+y0 02 2rr2 2，圆心到直线，圆心到直线x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2的距离的距离 ，所以直线与圆相离，所以直线与圆相离. .答案答案: :(1)(1)充分而不必要充分而不必要 (2)(2)相离相离2.2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O O1 1:(x-a:(x-a1 1) )2 2+(y-b+(y-b1 1) )2 2= (r= (r1 10),0), 圆圆O O2 2:(x-a:(x-a2
4、2) )2 2+(y-b+(y-b2 2) )2 2= (r= (r2 20).0).方法方法位置关系位置关系几何法几何法: :圆心距圆心距d d与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系代数法：两圆方程联立组成方代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况程组的解的情况相相 离离_外外 切切_d dr r1 1+r+r2 2无解无解d=rd=r1 1+r+r2 2一组实数解一组实数解方法方法位置关系位置关系几何法几何法: :圆心距圆心距d d与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系代数法：两圆方程联立组成方代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况程组的解的情况相相 交交_内内 切切_(r_(r
5、1 1rr2 2) )_内内 含含_(r(r1 1rr2 2) )_|r|r1 1-r-r2 2| |d dr r1 1+r+r2 2一组实数解一组实数解无解无解两组不同的实数解两组不同的实数解d=|rd=|r1 1-r-r2 2| |0d0d|r|r1 1-r-r2 2| |【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？程有何关系？提示提示: :两圆的方程作差，消去二次项得到关于两圆的方程作差，消去二次项得到关于x x、y y的二元一次的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程方程，就是公共弦所在
6、的直线方程. .(2)(2)判断下列两圆的位置关系判断下列两圆的位置关系x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0与与x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是_._.xx2 2+y+y2 2+2x+4y+1=0+2x+4y+1=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-4y-1=0-4x-4y-1=0的位置关系是的位置关系是_._.xx2 2+y+y2 2-4x+2y-4=0-4x+2y-4=0与与x x2 2+y+y2 2-4x-2y+4=0-4x-2y+4=0的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-1)(
7、x-1)2 2+y+y2 2=1,x=1,x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4,=4,所以，两圆圆心距所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2| | ；而两圆的半径；而两圆的半径之和之和r r1 1+r+r2 2=1+2=3=1+2=3；两圆的半径之差；两圆的半径之差r r2 2-r-r1 1=2-1=1=2-1=1；所以所以r r2 2-r-r1 1|O|O1 1O O2 2|r|r1 1+r+r2 2，即两圆相交；，即两圆相交；因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4，(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-
8、2)2 2=9,=9,所以，两圆圆心距所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2|= =5|= =5；而两圆的；而两圆的半径之和半径之和r r1 1+r+r2 2=2+3=5=2+3=5；|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+r2 2，即两圆外切；，即两圆外切；因为两圆的方程可化为：因为两圆的方程可化为：(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9，(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，所以，两圆圆心距，所以，两圆圆心距|O|O1 1O O2 2|= =2|= =2；而两圆的；而两圆的半径之差半径之差r r1 1-r-r2 2=3-1
9、=2=3-1=2；|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1-r-r2 2，即两圆内切，即两圆内切. .答案答案: :相交相交 外切外切 内切内切热点考向热点考向 1 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【方法点睛方法点睛】代数法判断直线与圆的位置关系的步骤代数法判断直线与圆的位置关系的步骤(1)(1)将直线方程与圆的方程联立，消去将直线方程与圆的方程联立，消去x(x(或或y)y)得到关于得到关于y(y(或或x)x)的的一元二次方程；一元二次方程；(2)(2)求上述方程的判别式，并判断其符号；求上述方程的判别式，并判断其符号；(3)(3)得出结论得出结论. .2.2.几何法判断直线与圆的
10、位置关系的步骤几何法判断直线与圆的位置关系的步骤(1)(1)求出圆心到直线的距离求出圆心到直线的距离d d；(2)(2)判断判断d d与半径的大小关系；与半径的大小关系；(3)(3)得出结论得出结论. .【提醒提醒】有些题目用以上方法无法解决或解决起来比较困难时，有些题目用以上方法无法解决或解决起来比较困难时，也可考虑直线所过定点与圆心的距离之间的关系也可考虑直线所过定点与圆心的距离之间的关系. .【例例1 1】(1)(2012(1)(2012 陕西高考陕西高考) )已知圆已知圆C:xC:x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0，l是过点是过点P(3,0)P(3,0)的直线，则的直线，则(
11、)( )(A)(A)l与与C C相交相交 (B)(B)l与与C C相切相切(C)(C)l与与C C相离相离 (D)(D)以上三个选项均有可能以上三个选项均有可能(2)(2)若经过点若经过点A(4,0)A(4,0)的直线的直线l与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1有公共点，则直线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为的斜率的取值范围为_._.【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.圆圆C C的方程是的方程是(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4，点点P P到圆心到圆心C(2,0)C(2,0)的距离的距离d=12d=12，点点P P在圆在圆C C内部，内部，直线直线
12、l与圆与圆C C相交相交. .(2)(2)由题可设直线方程为由题可设直线方程为y=k(x-4)y=k(x-4)，即：，即：kx-y-4k=0kx-y-4k=0，因为直线，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：即：解得：解得：答案：答案：【互动探究互动探究】将本例将本例(2)(2)中条件中条件“经过点经过点A(4A(4，0)0)的直线的直线l”改为改为“在在y y轴上截距为轴上截距为-2-2的直线的直线l”，其他条件不变，结论如何？，其他条件不变，结论如何？【解析解析】由题可设直线方程为由题可设直线方程为y=kx-2,
13、y=kx-2,即：即：kx-y-2=0kx-y-2=0，因为直线，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：即：解得：解得：【变式备选变式备选】已知动直线已知动直线l：y=kx+5y=kx+5和圆和圆C C：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，试问，试问k k为何值时，直线为何值时，直线l与圆与圆C C相离、相切、相交相离、相切、相交. .【解析解析】因为圆心因为圆心(1,0)(1,0)到直线到直线l的距离的距离当当 , ,即即 时，直线时，直线l与圆与圆C C相离；相离；当当 , ,即即 时，直线时，直线
14、l与圆与圆C C相切；相切；当当 , ,即即 时，直线时，直线l与圆与圆C C相交相交. .热点考向热点考向 2 2 与圆有关的弦长、中点问题与圆有关的弦长、中点问题【方法点睛方法点睛】直线被圆截得弦长的求法直线被圆截得弦长的求法(1)(1)代数法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于代数法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x x的的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=|AB|=(2)(2)几何法：设圆的半径为几何法：设圆的半径为r r，弦心距为，弦心距为d d，弦长为，弦长为l，则有：，则有：【例例2 2】已知点已知点P(0,
15、5)P(0,5)及圆及圆C C：x x2 2+y+y2 2+4x-12y+24=0.+4x-12y+24=0.(1)(1)若直线若直线l过点过点P P且被圆且被圆C C截得的弦长为截得的弦长为 ，求直线，求直线l的方程；的方程；(2)(2)求过点求过点P P的圆的圆C C的弦的中点的轨迹方程的弦的中点的轨迹方程. .【解题指南解题指南】(1)(1)本题求直线方程，因为直线过点本题求直线方程，因为直线过点P(0,5)P(0,5)，所以，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率；(2)(2)设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程设中点的坐标，可利
16、用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程. .【规范解答规范解答】圆圆C C的标准方程为的标准方程为:(x+2):(x+2)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=16,=16,所以圆心坐标为所以圆心坐标为C(-2C(-2，6)6)，半径，半径r=4.r=4.(1)(1)当斜率不存在时，直线方程为当斜率不存在时，直线方程为x=0x=0，圆心到此直线的距离为，圆心到此直线的距离为2 2，此时弦长为，此时弦长为 ，符合题意；，符合题意；当直线当直线l的斜率存在时，设直线方程为的斜率存在时，设直线方程为y=kx+5y=kx+5，即即kx-y+5=0kx-y+5=0，又因为圆的半径，又因为圆的半径r=4r=4
17、，弦长为，弦长为 , ,圆心到直线圆心到直线l的的距离为距离为解得，解得， ，因此直线方程为，因此直线方程为 x-y+5=0x-y+5=0，即即3x-4y+20=0,3x-4y+20=0,综上可知：所求直线方程为综上可知：所求直线方程为x=0x=0或或3x-4y+20=0.3x-4y+20=0.(2)(2)设弦的中点为设弦的中点为M(x,y)M(x,y)，由圆的性质得：，由圆的性质得： (x+2,y-6)(x+2,y-6)(x-0,y-5)=0,(x-0,y-5)=0,化简得：化简得：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.因此，所求轨迹方程为：因此，所求
18、轨迹方程为：x x2 2+y+y2 2+2x-11y+30=0.+2x-11y+30=0.【反思反思感悟感悟】1.1.本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况；2.2.解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等式，本解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等式，本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦
19、来求解. .【变式训练变式训练】1.(20121.(2012泉州模拟泉州模拟) )已知圆已知圆C C过点过点(1(1，0)0)，且圆心，且圆心在在x x轴的正半轴上，直线轴的正半轴上，直线l:y=x-1:y=x-1被圆被圆C C所截得的弦长为所截得的弦长为 ，则，则过圆心且与直线过圆心且与直线l垂直的直线方程为垂直的直线方程为_._.【解析解析】设所求直线的方程为设所求直线的方程为x+y+m=0,x+y+m=0,圆心圆心(a,0)(a,0)，由题意知：，由题意知： , ,解得解得a=3a=3或或a=-1,a=-1,又因为圆心在又因为圆心在x x轴的正半轴轴的正半轴上，上，a=3,a=3,故圆心
20、坐标为故圆心坐标为(3(3，0)0)，而直线，而直线x+y+m=0x+y+m=0过圆心过圆心(3(3，0)0)，3+0+m=03+0+m=0，即，即m=-3,m=-3,故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+y-3=0.x+y-3=0.答案答案: :x+y-3=0x+y-3=02.2.已知圆已知圆C C：x x2 2+y+y2 2=4,=4,直线直线l过点过点P(1P(1，2)2)，且与圆，且与圆C C交于交于A A，B B两两点，若点，若|AB|= |AB|= ，求直线，求直线l的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)若直线若直线l的斜率不存在的斜率不存在( (直线直线l与与x x轴垂直轴
21、垂直) )，则，则l:x=1:x=1，该直线与圆该直线与圆x x2 2+y+y2 2=4=4相交于两点相交于两点A(1A(1， ) )，B(1B(1， ) )，满足满足|AB|= |AB|= ，符合题意，符合题意. .(2)(2)若直线若直线l的斜率存在，则设的斜率存在，则设l:y-2=k(x-1),:y-2=k(x-1),即即kx-y+(2-k)=0,kx-y+(2-k)=0,由于圆的半径为由于圆的半径为r=2,r=2,l截圆所得弦长截圆所得弦长|AB|=|AB|=则由垂径定理可得则由垂径定理可得 , ,解得解得此时直线此时直线l:3x-4y+5=0.:3x-4y+5=0.由由(1)(2)(
22、1)(2)可知，直线可知，直线l的方程为的方程为x=1x=1或或3x-4y+5=0.3x-4y+5=0.【变式备选变式备选】直线直线 截圆截圆x x2 2+y+y2 2=4=4得到的劣弧的弧得到的劣弧的弧长为长为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】选选C.C.因为圆因为圆x x2 2+y+y2 2=4=4的圆心坐标为的圆心坐标为(0(0，0)0)，圆心到直线，圆心到直线 的距离的距离 , ,而圆的半径为而圆的半径为2 2，所以该，所以该直线截圆所得弦长为直线截圆所得弦长为 ，所以劣弧所对的圆心角为，所以劣弧所对的圆心角为 , ,所以劣弧所对的弧长
23、为所以劣弧所对的弧长为热点考向热点考向 3 3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【方法点睛方法点睛】1.1.两圆公切线的条数两圆公切线的条数2.2.判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解对值之间的关系求解. .位置关系位置关系内含内含内切内切相交相交外切外切外离外离公切线条数公切线条数0 01 12 23 34 4【提醒提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含外切、外离与内含. .【例例
24、3 3】已知圆已知圆C C1 1：x x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0，圆圆C C2 2：x x2 2+y+y2 2+2x-2my+m+2x-2my+m2 2-3=0-3=0，m m取何值时取何值时(1)(1)圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切；外切；(2)(2)圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2内含内含. .【解题指南解题指南】可先求出两圆的圆心及半径，利用两圆外切、内可先求出两圆的圆心及半径，利用两圆外切、内含与两圆半径和、半径差之间的关系即可求出含与两圆半径和、半径差之间的关系即可求出m m的值或取值范围的值或取值范围. .【规范解
25、答规范解答】对于圆对于圆C C1 1与圆与圆C C2 2的方程，经配方后得的方程，经配方后得C C1 1:(x-m):(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,=9,C C2 2:(x+1):(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4.=4.(1)(1)当两圆外切时，则有当两圆外切时，则有解得：解得：m=-5m=-5或或m=2m=2；(2)(2)当两圆内含时，则有当两圆内含时，则有解得：解得：-2m-1.-2m (2 (圆的半径圆的半径) )，此时不合题，此时不合题意；当斜率意；当斜率k k存在时存在时, ,过原点的直线方程为过原点的直线方程为kx-y=0kx-y=0，要使该
26、直线，要使该直线与圆相切，则有与圆相切，则有 ，解得，解得k=k=1 1，所以，切线方程为所以，切线方程为x+y=0x+y=0或或x-y=0.x-y=0.3.(20123.(2012江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，圆中，圆C C的方程的方程为为x x2 2+y+y2 2-8x+15=0-8x+15=0，若直线，若直线y=kx-2y=kx-2上至少存在一点，使得以上至少存在一点，使得以该点为圆心，该点为圆心，1 1为半径的圆与圆为半径的圆与圆C C有公共点，则有公共点，则k k的最大值是的最大值是_【解析解析】方法一：设直线上一点方法一：设直线上一点(t,k
27、t-2)(t,kt-2)，则圆心距满足则圆心距满足 对对tRtR有解有解. .即即(1+k(1+k2 2)t)t2 2-(4k+8)t+160-(4k+8)t+160有解，有解，所以有所以有(4k+8)(4k+8)2 2-4-416(1+k16(1+k2 2)0,)0,方法二：由题意，圆心方法二：由题意，圆心C C到直线的距离不大于到直线的距离不大于2 2，答案答案: :4.(20124.(2012泉州模拟泉州模拟) )已知以点已知以点C(t, )(tR,t0)C(t, )(tR,t0)为圆心的圆为圆心的圆与与x x轴交于点轴交于点O O、A A，与，与y y轴交于点轴交于点O O、B B，其
28、中，其中O O为原点，为原点，(1)(1)求求证：证：OABOAB的面积为定值；的面积为定值；(2)(2)设直线设直线y=-2x+4y=-2x+4与圆与圆C C交于点交于点M M，N N，若，若OM=ONOM=ON，求，求t t的值并求出圆的值并求出圆C C的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)圆圆C C过原点过原点O O，OCOC2 2=t=t2 2+ +设圆设圆C C的方程是的方程是(x-t)(x-t)2 2+(y- )+(y- )2 2=t=t2 2+ + 令令x=0x=0，得，得y y1 1=0,y=0,y2 2= = ；令令y=0,y=0,得得x x1 1=0,x=0,x2 2=
29、2t,=2t,AA、B B不与点不与点O O重合重合,A(2t,0),B(0, ),A(2t,0),B(0, ),即即OABOAB的面积为定值的面积为定值. .(2)OM=ON(2)OM=ON，CM=CNCM=CN，OCOC垂直平分线段垂直平分线段MNMN，k kMNMN=-2,k=-2,kOCOC= ,= ,直线直线OCOC的方程是的方程是y= x,y= x,解得解得:t=2:t=2或或t=-2.t=-2.当当t=2t=2时，圆心时，圆心C C的坐标为的坐标为(2(2，1)1)，OC= ,OC= ,此时此时C C到直线到直线y=-2x+4y=-2x+4的距离的距离圆圆C C与直线与直线y=-2x+4y=-2x+4相交于两点相交于两点. .当当t=-2t=-2时，圆心时，圆心C C的坐标为的坐标为(-2(-2，-1)-1)，OC= OC= ，此时此时C C到直线到直线y=-2x+4y=-2x+4的距离的距离圆圆C C与直线与直线y=-2x+4y=-2x+4不相交，不相交，t=-2t=-2不符合题意舍去不符合题意舍去,t=2.,t=2.圆圆C C的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5.=5.
