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1、第六节直接证明与间接证明第六节直接证明与间接证明第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明 考考 纲纲 要要 求求1了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反反证法，了解反证法的思考过程、特点证法的思考过程、特点课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、直接证明一、直接证明1综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明
2、已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法综合法的推理方向是由的结论，这种证明方法叫做综合法综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：示是：P0(已知已知) P1 P2 Pn(结论结论)特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法2分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，
3、从而使命题得证，表现为执果索因，件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为分析法的证题步骤用符号表示为B(结论结论) B1 B2 Bn A(已知已知)特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法二、间接证明二、间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立这样的矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立这样的证明方法叫反证法反证法是一种间接证明的方法证明方法叫反证法反证法是一种间接证明的方法1反证法的解
4、题步骤：否定结论反证法的解题步骤：否定结论推演过程中引出矛推演过程中引出矛盾盾肯定结论肯定结论2反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立命题成立3反证法证明一个命题常采用以下步骤：反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定命题的结论不成立；假定命题的结论不成立；(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；条件矛盾；与公理或定理矛盾；(3)由于上述矛盾的出现，可以
5、断言，原来的假定由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立结论不成立”是错误的；是错误的；(4)肯定原来命题的结论是正确的肯定原来命题的结论是正确的即即“反设反设归谬归谬结论结论”4一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：反证法：第一，问题共有第一，问题共有n种情况，现要证明其中的种情况，现要证明其中的1种情况成立种情况成立时，可以想到用反证法把其他的时，可以想到用反证法把其他的n1种情况都排除，从而肯种情况都排除，从而肯定这种情况成立；定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第三
6、，命题用第三，命题用“至少至少”、“至多至多”的字样叙述的；的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的基础自测基础自测1(2012英德市一中模拟英德市一中模拟)已知曲线已知曲线C：y (x0)及及两点两点A1(x1,0)和和A2(x2,0)，其中，其中x2x10.过过A1，A2分别作分别作x轴的轴的垂线，交曲线垂线，交曲线C于于B1，B2两点，直线两点，直线B1B2与与x轴交于点轴交于点A3(x3,0)，那么，那么()Ax1， ，x
7、2成等差数列成等差数列 Bx1， ，x2成等比数列成等比数列Cx1，x3，x2成等差数列成等差数列 Dx1，x3，x2成等比数列成等比数列2(2012赣州市模拟赣州市模拟)对任意的锐角对任意的锐角，下列不等式，下列不等式成立的是成立的是()Asin()sin sin Bcos()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos D3(2012广东六校联考广东六校联考)定义运算法则如下：定义运算法则如下：a b ，a blg a2 .若若M2 ，N ，则，则MN_.ab22考考 点点 探探 究究考点一考点一用综合法证明命题用综合法证明命题【例【例1】(2012江苏淮阴中学、
8、海门江苏淮阴中学、海门中学、天一中学联考中学、天一中学联考)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC4，CB2，AA12，ACB60，E，F分别是分别是A1C1，BC的的中点中点(1)证明：平面证明：平面AEB平面平面BB1C1C；(2)证明：证明：C1F平面平面ABE；(3)设设P是是BE的中点，求三棱锥的中点，求三棱锥P-B1C1F的体积的体积思路点拨：思路点拨：运用综合法运用综合法(1)根据面面垂直的判定定理，根据面面垂直的判定定理，证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；垂直；(2)根据线面平
9、行的判定定理，证明根据线面平行的判定定理，证明C1F平行于平面平行于平面ABE内的一条直线，或证明内的一条直线，或证明C1F在与平面在与平面ABE平行的另一个平行的另一个平面内平面内(1)证明：证明：在在ABC中，中，AC2BC4，ACB60，AB2，AB2BC2AC2，ABBC.由已知由已知ABBB1, AB平面平面BB1C1C.又又AB 平面平面ABE，平面平面ABE平面平面BB1C1C.(2)证明：证明：取取AC的中点的中点M，连接，连接C1M，FM.在在ABC中，中，FMAB，而而FM ABE，直线直线FM平面平面ABE.在矩形在矩形ACC1A1中，中，E，M都是中点，都是中点，C1M
10、AE.而而C1M 平面平面ABE，直线直线C1M平面平面ABE.又又C1MFMM，平面平面ABE平面平面FMC1.又又C1F 平面平面FMC1，故，故C1F平面平面AEB.(3)解析：解析：取取B1C1的中点的中点H，连接，连接EH，则，则EHAB且且EH AB ，由由AB平面平面BB1C1C，EH平面平面BB1C1C.P是是BE的中点，的中点，VPB1C1F VEB1C1F SB1C1FEH .变式探究变式探究1(2011天津卷天津卷)如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为平行四边形，为平行四边形，ADC45，ADAC=1，O为为AC中点，中点，PO平面平面ABC
11、D，PO2，M为为PD中点中点(1)证明：证明：PB平面平面ACM；(2)证明：证明：AD平面平面PAC；(3)求直线求直线AM与平面与平面ABCD所成角的正切所成角的正切值值(1)证明：证明：连接连接BD，MO.在平行四边形在平行四边形ABCD中，因为中，因为O为为AC的中点，所以的中点，所以O为为BD的中点又的中点又M为为PD的中点，所以的中点，所以PBMO.因为因为PB 平面平面ACM，MO 平面平面ACM，所以，所以PB平平面面ACM. (2)证明：证明：因为因为ADC45，且，且ADAC1，所以，所以DAC90，即，即ADAC.又又PO平面平面ABCD，AD 平面平面ABCD，所以，
12、所以POAD.而而ACPOO，所以，所以AD平面平面PAC.考点二考点二用分析法证明命题用分析法证明命题【例【例2】已知已知a，bR，ab1，求证：，求证：(a2)2(b2)2 .变式探究变式探究2设实数设实数x，y满足满足yx20,0a1.求证：求证：loga(axay)loga2 .考点三考点三用综合分析法证明命题用综合分析法证明命题【例【例3】(2011天津市南开中学模拟天津市南开中学模拟)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且对于任意的，且对于任意的nN*，恒有，恒有Sn2ann，设，设bnlog2(an1)(1)求证：数列求证：数列an1是等比数列；是等比数列；(2)求数
13、列求数列an，bn的通项公式的通项公式an和和bn；思路点拨：思路点拨：当单独用综合法或分析法难以奏效时，可以当单独用综合法或分析法难以奏效时，可以综合法与分析法并用，取长补短，以利于迅速地将题设与欲综合法与分析法并用，取长补短，以利于迅速地将题设与欲证结论相互贯通证结论相互贯通(1)证明：证明：当当n1时，时，S12a11，得，得a11.Sn2ann，当当n2时时Sn12an1(n1)，两式相减，得两式相减，得an2an2an11，an2an11.an12an122(an11)an1是以是以a112为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列(2)解析：解析：由由(1)得得an122n
14、12n，an2n1，nN*.bnlog2(an1)log22nn，nN*.变式探究变式探究考点四考点四用反证法证明命题用反证法证明命题【例【例4】已知已知a，b，c是互不相等的实数求证：由是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和和ycx22axb确定的三条抛确定的三条抛物线至少有一条与物线至少有一条与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点思路点拨：思路点拨：本题直接证明较困难，可用反证法证明本题直接证明较困难，可用反证法证明证明：证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两轴有两个不同的交点个不同的交点(即任何一条抛物线与即任何
15、一条抛物线与x轴没有两个不同的交点轴没有两个不同的交点)由由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.上述三个同向不等式相加得，上述三个同向不等式相加得，4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ca0.(ab) 2(bc)2(ca)20.abc.这与题设这与题设a，b，c互不相等矛盾，互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证因此假设不成立，从而命题得证变式探究变式探究4若若0a1,0b1，求证：，求证：ab与与 (1a)(1b)不能不能都大于都大于 .课时升华课时升华课时升华课时
16、升华1综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法它常见的书面表达形式是：它常见的书面表达形式是：“L，L”或或“L L”利用综合法证明利用综合法证明“若若A，则，则D”命题的综合法思考过程命题的综合法思考过程可表示为：可表示为：综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从综合法的思维过程是由因导果的顺序，是从A推演达到推演达到D的途径但由的途径但由A推演出的中间结论未必唯一，如推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，等，可由可由 B，B1，B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C1，C2，C3，C4等等，最
17、终，能有一个等等，最终，能有一个(或多个或多个)可推演出结论可推演出结论D即可即可2分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执分析法是一种执果索因的证明方法，又叫逆推法或执果索因法它常见的书面表达形式是：果索因法它常见的书面表达形式是：“要证要证L，只需证，只需证L”或或“L L”对于命题对于命题“若若A，则，则D” 利用分析法证明的思路图如下：利用分析法证明的思路图如下：分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从 D上溯寻其论上溯寻其论据，如据，如 C，C1，C2等，再寻求等，再寻求 C，C1，C2的论据，如的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而
18、寻求等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的依据，如果其的依据，如果其中之一中之一B的论据恰为已知条件，于是命题已经得证的论据恰为已知条件，于是命题已经得证3解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用如命题用如命题“若若P，则，则Q”的推演过程可用框图表示为：的推演过程可用框图表示为：4反证法是一种间接的方法，常常是在利用直接证反证法是一种间接的方法，常常是在利用直接证法如综合法、分析法有困难时利用反证法来证明，即法如综合法、分析法有困难时利用反证法来证明，即“正难则反正难则反”感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2011北京卷北京卷
19、)如图所示，在四面体如图所示，在四面体PABC中，中，PCAB，PABC，点，点D，E，F，G分别是棱分别是棱AP，AC，BC，PB的的中点中点(1)求证：求证：DE平面平面BCP；(2)求证：四边形求证：四边形DEFG为矩形为矩形证明：证明：(1)因为因为D，E分别为分别为AP，AC的的中点，所以中点，所以DEPC.又因为又因为DE 平面平面BCP，所以，所以DE平面平面BCP.(2)因为因为D，E，F，G分别为分别为AP，AC，BC，PB的中点，的中点，所以所以DEPCFG，DGABEF.所所以四边形以四边形DEFG为平行四边形，为平行四边形，又因为又因为PCAB，所以，所以DEDG，所以
20、，所以四边形四边形DEFG为矩形为矩形2.设设C1，C2，Cn，是坐标平面上的一列圆，它们的是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线轴的正半轴上，且都与直线y x相切，对每一个相切，对每一个正整数正整数n，圆，圆Cn都与圆都与圆Cn1相互外切，以相互外切，以rn表示表示Cn的半径，已的半径，已知知rn为递增数列为递增数列(1)证明：证明：rn为等比数列；为等比数列；(2)设设r11，求数列，求数列 的前的前n项和项和高考预测高考预测1一个几何体是由圆柱一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥和三棱锥EABC组合而成，点组合而成，点A，B，C在圆在圆O的圆周上，其正的圆周上，其正(主主)视图、侧视图、侧(左左)视图的面积分视图的面积分别为别为10和和12，如图所示，其中，如图所示，其中EA平面平面ABC，ABAC，ABAC，AE2.(1)求证：求证：ACBD；(2)求三棱锥求三棱锥E-BCD的体积的体积 (2)对对 nN*，关于，关于m的不等式的不等式ama1(m1)dn的最的最小正整数解为小正整数解为cn3n2，d ，1a1 .
