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1、11 11 压杆稳定压杆稳定111 11 压杆稳定压杆稳定11.1 11.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念11.2 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式两端铰支中心受压直杆的欧拉公式11.3 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式不同约束条件下压杆的欧拉公式11.4 11.4 临界应力临界应力 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围11.5 11.5 超过比例极限时压杆的临界应力超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力总图临界应力总图11.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施211.1 11.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念不稳定平衡不稳定平衡稳定
2、平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远微小扰动就使小球远离原来的平衡位置离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置后小球回复到平衡位置 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度，还与其稳定性有关。3 理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）作用压力P，给一横向干扰力，出现类似现象： （1） 干扰力撤消后，直杆能回到原有的直线状态 （图 a）,类似凹面作用稳定平衡； （2） 干扰力撤消后，直杆不能回到原有直线状态（图 c），类似凸面作用不稳定平衡；
3、（3） 干扰力撤消后， 直杆不再恢复到原来直线平衡状态，而是仍处于微弯的平衡状态（图b）临界平衡状态，此时的压力Pcr称为压杆的临界力 。11.1 11.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念4 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。 实际的受压杆件由于: 1.其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3.3. 材料性质并非绝对均匀，4.因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。11.1 11.1 压杆稳定性的概
4、念压杆稳定性的概念511.2 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式两端铰支中心受压直杆的欧拉公式思路：思路：假设压杆在某个压力假设压杆在某个压力Pcr作用下在曲线状态平衡，作用下在曲线状态平衡，然后设法去求挠曲函数。若：然后设法去求挠曲函数。若：(1)求得的挠曲函数求得的挠曲函数0，说明只有直线平衡状态；，说明只有直线平衡状态；(2)求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。6 本本节以节以两端球形铰支两端球形铰支( (简称两端铰支简称两端铰支) )的细长中心受压杆件的细长中心受压杆件(
5、(图图a) )为例，按照为例，按照对于理想中心压杆来说对于理想中心压杆来说临界力就是杆能临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力保持微弯状态时的轴向压力这一概念，这一概念，来导出求临界力的欧拉来导出求临界力的欧拉( (L.Euler) )公式。公式。y(a)xlx ymmOy yPcr y11.2 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式两端铰支中心受压直杆的欧拉公式7挠曲线近似微分方程：欧拉公式欧拉公式临界力为最小压力：22lEIPcrp=M (x) =Pcrvxlx ymmOy yOyxPcrPcr(a) (b)Fcrx y y设压杆微弯挠曲线的表达式为：，则令其通解为：式中A，B为待定常数
6、。杆的边界条件：代入通解得：11.2 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式两端铰支中心受压直杆的欧拉公式8在确定的约束条件下，欧拉临界力在确定的约束条件下，欧拉临界力Pcr：有关，有关，(1)仅与材料（仅与材料（E）、）、长度长度(l)和截面尺寸和截面尺寸(A)(2)是压杆的自身的一种力学性质指标，反映是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，承载能力的强弱，(3)与外部轴向压力的大小无关。与外部轴向压力的大小无关。材料的材料的E越大，越大，截面越粗，截面越粗，短，短，杆件越杆件越临界力临界力Pcr越高；越高；临界力临界力Pcr越高，越高，越好，越好，稳定性稳定性承载能力越强承载
7、能力越强；11.2 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式两端铰支中心受压直杆的欧拉公式9 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，压杆的挠曲线表达式可写成注意到当x= l /2 时 v=d，故有 A=d。从而知，对应于klp，亦即对应于Pcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。11.2 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式两端铰支中心受压直杆的欧拉公式1011.3 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式不同约束条件下压杆的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数
8、=10.7=0.5=2=1PcrABl0.7lCC 挠曲挠曲线拐点线拐点l0.5lPcrABCDC、D 挠挠曲线拐点曲线拐点Pcrl2l0.5lPcrl两端固定但可沿横向相对移动11 表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为m l 的两端铰支压杆的临界力。上表的图中从几何意义上标出了各种杆端约
9、束情况下的相当长度m l。11.3 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式不同约束条件下压杆的欧拉公式12 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时( (例如球形铰例如球形铰) )，欧，欧拉公式中的拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。(2)(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳应与失稳( (或可能失稳或可能失稳) )时的弯曲平面相对应。时的弯曲平面
10、相对应。11.3 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式不同约束条件下压杆的欧拉公式13例例1 1 求下列细长压杆的临界力求下列细长压杆的临界力解：图解：图(a)(a)图图(b)(b)图图(a)(a)30301010P Pl l图图(b)(b)P Pl l(45(45 4545 6)6) 等边角钢等边角钢y yz z11.3 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式不同约束条件下压杆的欧拉公式1411.4 11.4 临界应力临界应力 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近
11、似微分方程，可见在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限 p的情况的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Pcr作用时可作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按按 crPcr /A来计算，亦即来计算，亦即15式中，cr称为临界应力； 为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml /i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slen
12、derness)或柔度，记作l，即 根据欧拉公式只可应用于crp的条件，由式(a)知该应用条件就是亦即或写作11.4 11.4 临界应力临界应力 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围16可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照 E206 GPa，p 200 MPa，有 通常把llp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把llp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。11.4 11.4 临界应力临界应力 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围1711.5 11.5 超过比例极限时压杆的临界应力超过比例极限时压杆的临界应力 临
13、界应力临界应力超过比例极限时压杆临界应力的经验公式式中：a 和b 是与材料有关的常数，单位与应力相同。pu 时：的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。的杆为小柔度杆，以极限应力u作为临界应力。u 时： （1 1）直线型经验公式：）直线型经验公式： 18临界应力总图b0- - u= =al l PPE p pl l2 = =11.5 11.5 超过比例极限时压杆的临界应力超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力临界应力19(2)(2)抛物线型经验公式抛物线型经验公式在钢结构中：pu 时：lc是细长压杆与非细长压杆柔度的分界值。的杆为细长压杆，其临界应力用欧
14、拉公式求。的杆为非细长压杆，以抛物线经验公式计算临界应力。un。（1 1）安全因数法安全因数法22式中： sst稳定许用应力； s许用压应力； j1折减系数，与柔度和材料有关， 可查规范。(2) 折减因数法折减因数法11.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施23 例例1 确确定定图图示示连连杆杆的的许许用用压压力力Pst。已已知知连连杆杆横横截截面面面面积积A=720 mm2，惯惯性性矩矩Iz = 6.5104 mm4，Iy=3.8104 mm4， p=240 MPa，E =2.1105 MPa。连连杆杆用用硅硅钢钢制制成成，稳稳定定安安全全系系数数n
15、st=2.5。若在若在x-y面内失稳，面内失稳，m m=1，柔度为：，柔度为：解：解：(1)失稳形式判断失稳形式判断若在若在x-z平面内失稳平面内失稳,m m=0.5,柔度为：柔度为：所以连杆将在所以连杆将在xy平面内失稳，其许用压力应由平面内失稳，其许用压力应由lz决定。决定。x580yzPPy700xzPPl58011.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施24(2)确定许用压力确定许用压力硅钢：硅钢： s= 353 MPa，计算有关的计算有关的l lp和和l ls为：为：连杆为中柔度杆。连杆为中柔度杆。a=578 MPa，b=3.744 MPa，其
16、临界载荷为：，其临界载荷为：由此得连杆的许用压力为：由此得连杆的许用压力为：(3)讨讨论论：在在此此连连杆杆中中：l lz=73.7，l ly=39.9，两两者者相相差差较较大大。最理想的设计是最理想的设计是l ly= l lz，以达到材尽其用的目的。以达到材尽其用的目的。11.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施25例例2 图示木屋架中图示木屋架中AB杆的截面为边长杆的截面为边长a=110 mm的正方形，杆长的正方形，杆长l=3.6 m，承受的轴向压力承受的轴向压力F=25 kN。木材的树种强度等级为。木材的树种强度等级为TC15，许用应力，许用应力
17、 =10MPa。试校核试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。 由于在桁架平面由于在桁架平面内内AB杆两端为铰支，故杆两端为铰支，故=l。AB杆的柔度为杆的柔度为折减因数为折减因数为解解: 正方形截面的惯性半径为正方形截面的惯性半径为II截面截面a110ABII稳定校核稳定校核满足稳定条件式，故满足稳定条件式，故AB杆是稳定的。杆是稳定的。11.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施262.2.提高压提高压杆稳定性的措施杆稳定性的措施（1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状 当压杆两端在各个方向弯
18、曲平面内具有相同的约束条件当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时时, ,压杆将在刚度最小的平面内弯曲压杆将在刚度最小的平面内弯曲. .这时如果只增加截面某个这时如果只增加截面某个反方向的惯性矩反方向的惯性矩, ,并不能提高压杆的承载能力并不能提高压杆的承载能力, ,最经济的办法是最经济的办法是将截面设计成空的将截面设计成空的, ,且尽量使从而加大截面的惯性矩且尽量使从而加大截面的惯性矩. .并使截面并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同对各个方向轴的惯性矩均相同. .因此因此, ,对一定的横截面面积对一定的横截面面积, ,正正方形截面或圆截面比矩形截面好方形截面或圆截面比矩形截面好,
19、,空心截面比实心截面好空心截面比实心截面好. . 当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时, ,应采应采用最大与最小惯性矩不等的截面用最大与最小惯性矩不等的截面, ,并使惯性矩较小的平面内具并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束有较强刚性的约束. .11.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施27（2 2）改变压杆的约束条件）改变压杆的约束条件增加中间支承、加固杆端约束支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。11.6 11.6
20、 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施28 在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。 但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。（3 3）合理选择材料）合理选择材料11.6 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施压杆的稳定校核及提高稳定性的措施29小结小结1.1.欧拉公式欧拉公式2.2.细长压杆临界应力细长压杆临界应力3.3.压杆柔度压杆柔度适用条件适用条件：当心！30
