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1、规范答题强化课（五）高考大题解 析 几 何 类型一 过定点问题【真题示范】 (2017全国卷)(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足(1)求点P的轨迹方程. (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【联想解题】 看到求点P的轨迹方程,想到先设出点的坐标,然后利用已知条件,采用代入法求轨迹方程.看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F,想到证明 【标准答案】规范答题分步得分(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0),1分得分点由得x
2、0=x,y0= y,3分得分点因为M(x0,y0)在椭圆C上,所以=1,5分得分点因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.6分得分点(2)由题意知F(-1,0),设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t), =(-1-m,-n),7分得分点 =3+3m-tn,8分得分点=(m,n), =(-3-m,t-n),9分得分点由 =1得-3m-m2+tn-n2=1,10分得分点又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以 =0,即, 11分得分点又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分得分点【评分细则】设出点的坐标,并求出和得1分.由,正确求出x
3、0=x,y0= y得2分.代入法求出=1得2分.化简成x2+y2=2得1分.求出和的坐标得1分.正确求出 的值得1分.正确求出和的坐标得1分.由 =1得出-3m-m2+tn-n2=1得1分.得出得1分.写出结论得1分.【名师点评】1.核心素养:圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点问题,常与向量巧妙交汇,综合考查考生“数学运算”的核心素养.2.解题引领:(1)得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤,有则给分,无则没分,所以对于得分点步骤一定要写全,如第(2)问中求出-3m-m2+tn-n2=1就得分.(2)得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所以在答题时一定要写清得分关键
4、点,如第(2)问一定要写出 =0,即,否则不得分,因此步骤才是关键的,只有结果不得分.类型二 与面积相关的问题【真题示范】 (2016全国卷)(12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 【联想解题】 看到|EA|+|EB|为定值,想到点E的轨迹方程可能是椭圆.看到四边形MPNQ面积的取值范围,想到四边形MPN
5、Q对角线是否垂直,如何将四边形分成三角形求面积,可能利用弦长公式. 【标准答案】规范答题分步得分(1)圆A整理为(x+1)2+y2=16,点A坐标为(-1,0),如图,因为BEAC,则ACB=EBD,由|AC|=|AD|,则ADC=ACD,2分得分点所以EBD=EDB,则|EB|=|ED|,所以|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.4分得分点所以E的轨迹为一个椭圆,方程为=1(y0).6分得分点(2)C1 =1;设l:x=my+1,因为PQl,设PQ:y=-m(x-1),联立l与椭圆C1, 得(3m2+4)y2+6my-9=0;7分得分点则|MN|= |yM-yN| 8分得分点
6、圆心A到PQ距离d= 9分得分点所以|PQ|= 10分得分点所以S四边形MPNQ= |MN|PQ|= = 12分得分点【评分细则】得出ACB=EBD,ADC=ACD得2分.得出|AE|+|EB|=4得2分.写出E的轨迹为一个椭圆,得1分;写出椭圆方程=1(y0)再得1分.联立方程组得出(3m2+4)y2+6my-9=0得1分.正确计算出弦长|MN|得1分,错误不得分.正确计算出圆心A到PQ距离d得1分.正确求出|PQ|得1分,错误不得分.正确计算出四边形MPNQ面积的取值范围得2分.【名师点评】1.核心素养:圆锥曲线中的面积问题是高考命题的热点问题,一般涉及三角形及四边形的面积值(取值范围)问题.主要考查考生“直观想象”和“数学运算”的核心素养.2.解题引领:(1)第(1)小题先将圆x2+y2+2x-15=0化为标准方程,然后画出图形,结合图形中的线线关系及椭圆的定义确定轨迹方程.(2)第(2)小题联立直线方程与椭圆方程,将其化成关于x或y的一元二次方程.(3)要求四边形MPNQ面积的取值范围,由S四边形MPNQ= |MN|PQ|可先利用点到直线距离公式及勾股定理求出|PQ|,再利用弦长公式求出|MN|.
