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1、27.2.2 相相 似似 三三 角角 形形 应用举例应用举例WXQ1.定义定义: 2.定理定理(预备定理预备定理): 3.判定定理一判定定理一(边边边边边边):4.判定定理二判定定理二(边角边边角边): 5.判定定理三判定定理三(角角角角):1、判断两三角形相似有哪些方法、判断两三角形相似有哪些方法?2、相似三角形有什么性质？、相似三角形有什么性质？对应角相等，对应边的比相等对应角相等，对应边的比相等WXQ如图所示如图所示,ABCABC， 其中其中 AB=10, AB=5, BC=12, 那么那么BC=_？ABCABC因为因为ABCABC，WXQ胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为胡夫
2、金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一世界古代七大奇观之一”。塔的个斜面正对东。塔的个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了万多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了万人花了年时间人花了年时间.原高米，但由于经原高米，但由于经过几千年的风吹雨打过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀顶端被风化吹蚀.所以高度有所以高度有所降低所降低 。WXQ例例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字
3、塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。似三角形，来测量金字塔的高度。 如图如图272-8，如果木杆，如果木杆EF长长2m，它的影长，它的影长FD为为3 m，测得，测得OA为为201 m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO OBA(F)EDWXQDEA(F)BO解：太阳光是平行线，解：太阳光是平行线， 因此因此BAO= EDF又又 AOB= DFE=90ABODEFBOEFOAFD=OAEFFDBO=20123=134(m)答答-2m3m201m?例题DEA(F)BO2m3m201m?WXQ1、在同一时刻物体的高度与它
4、的影长成、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为米的竹竿的影长为3米，某一高楼的米，某一高楼的影长为影长为60米，那么高楼的高度是多少米米，那么高楼的高度是多少米？解解:设高楼的高度为设高楼的高度为X米，则米，则答答:楼高楼高36米米.WXQ2 2. .如图如图, ,铁道口的栏杆短臂长铁道口的栏杆短臂长1m,1m,长臂长长臂长16m,16m,当当短臂端点下降短臂端点下降0.5m0.5m时时, ,长臂端点升高长臂端点升高 m m。 OBDCA(第第1题题)8给我一个支点我可以撬起整个地球给我一个支点我可以撬起整个
5、地球! !-阿基米德阿基米德1m16m0.5m？WXQ3 .(3 .(深圳市中考题深圳市中考题) ) 小明在打网球小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在时，使球恰好能打过网，而且落在离网离网5 5米的位置上，求球拍击球的米的位置上，求球拍击球的高度高度h.(h.(设网球是直线运动设网球是直线运动) )A AD DB BC CE E0.8m5m10m？2.4mWXQSTPQRba例例2:2:例例2 为了估算河的宽度为了估算河的宽度,我们可以在河我们可以在河对岸选定一个目标点对岸选定一个目标点P,在近岸取点在近岸取点Q和和S,使使点点P、Q、S共线且直线共线且直线PS与河垂直，接着与河垂直，接
6、着在过点在过点S且与且与PS垂直的直线垂直的直线a上选择适当的上选择适当的点点T,确定确定PT与过点与过点Q且垂直且垂直PS的直线的直线b的交的交点点R.如果测得如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度求河的宽度PQ. WXQ2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：两种方法： CDEABABC方法一：如图，把镜子放在离树（方法一：如图，把镜子放在离树（AB）8M点点E处，处，然后沿着直线然后沿着直线BE后退到后退到D，这时恰好在镜子里看，这时恰好在镜子里看到树梢顶点到树梢顶点A，再用皮尺量得，再用皮尺量得DE=2.8M，观察者，观察
7、者目高目高CD=1.6M；WXQ2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：以下两种方法： 方法二：如图，把长为方法二：如图，把长为2.40M的标杆的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为直立在地面上，量出树的影长为2.80M，标杆影长为标杆影长为1.47M。分别根据上述两种不同方分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到法求出树高（精确到0.1M）请你请你自己写出求解过程，自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？他测量树高的方法吗？FDCEBAWXQ1.小华为了测量所住楼房的高度，他请来同小华为了测量所住楼房的高度，他请来同
8、学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是楼房的影长分别是0.5米和米和15米已知小华米已知小华的身高为的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为米，那么他所住楼房的高度为 米米WXQ2.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每米有一棵树，在北岸边每隔隔50米有一根电线杆小丽站在离南岸边米有一根电线杆小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两
9、棵树之间还有三棵树，则河宽为树之间还有三棵树，则河宽为米米WXQ例例3：已知左，右并排的两棵大树的高分别：已知左，右并排的两棵大树的高分别是是AB=8m和和CD=12m，两树的根部的距离，两树的根部的距离BD=5m。一个身高。一个身高1.6m的人沿着正对着的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点不能看见右边较高的树的顶端点C？K盲区盲区观察者观察者看不到看不到的区的区 域。域。仰仰角角：视线在水平：视线在水平 线以线以上的夹角。上的夹角。水平线水平线
10、视线视线视点视点观察者眼睛的位置。观察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAKWXQFABCDHGKl(2)分析：分析：假设观察者从左向右走到点假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置时，他的眼睛的位置点点F与两颗树的顶端点与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上恰在一条直线上,如果如果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。在观察者的盲区之内，观察者看不到它。EWXQ由题意可知，由题意可知，ABL，CDL，ABCD，AFH CFKFHFK=AHCK即即FHFH+5=8-1.61
11、2-1.6解得解得FH=8当他与左边的树的距离小于当他与左边的树的距离小于8m时，由于时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察在观察者的盲区之内，就不能看见右边较高的树者的盲区之内，就不能看见右边较高的树的顶端点的顶端点CWXQ例例4.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为别为AB，PC,并且并且AB PC建筑物建筑物DE的一端的一端所在所在MNAB的直线于点的直线于点N，交，交PC于点于点N小亮小亮从胜利街的从胜利街的A处，沿处，沿AB着方向前进，小明一直着方向前进，小明一直站在站在P点的位置等候小亮点的位置等候小亮步行街
12、步行街 胜利街胜利街光明巷光明巷ABMNQEDP建筑物建筑物（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；标出）；（2）已知：）已知：MN=20m,MD=8m,PN=24m ，求（，求（1）中的）中的C点到胜利街口的距点到胜利街口的距离离CM WXQ挑战自我挑战自我1.如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在成正方形零件，使正方形的一边在BC上，上，其余两个顶点分
13、别在其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方上，这个正方形零件的边长是多少？形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80x80=x120WXQ2.如图，要在底边如图，要在底边BC=160cm，高，高AD=120cm，的，的ABC铁皮余料上截取一个矩形铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点，使点H在在AB上，点上，点G在在A
14、C上，点上，点E、F在在BC上，上，AD交交HG于于点点M，此时，此时 。（3）以面积最大的矩形）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积最大？请说明理由铁桶的体积最大？请说明理由（注：围铁桶侧面时，接缝无（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）。重叠，底面另用材料配备）。（1）设矩形）设矩形EFGH的长的长HG=y，宽，宽HE=x，确定，确定y与与x的的函数关系式；函数关系式；（2）当）当x为何值时，矩形为何值时，矩形EFGH的面积的面积S最大；最大；WXQ3.如图，两根电线杆相距如图，两根电线杆
15、相距1 m,分别在高分别在高10m的的A处和处和15m的的C处用钢索将两杆固处用钢索将两杆固定定,求钢索求钢索AD与钢索与钢索BC的交点的交点M离地面离地面的高度的高度MH. WXQ练习练习4.4.为了测量一池塘的宽为了测量一池塘的宽AB,AB,在岸边在岸边找到了一点找到了一点C,C,使使ACACABAB，在，在ACAC上找上找到一点到一点D D，在，在BCBC上找到一点上找到一点E,E,使使DEDEACAC，测出测出AD=35mAD=35m，DC=35mDC=35m，DE DE =30m,=30m,那么你能算出池塘的宽那么你能算出池塘的宽ABAB吗吗? ?ABCDEWXQ6 6、如图，已知零
16、件的外径、如图，已知零件的外径a a为为25cm，要求它的，要求它的厚度厚度x x，需先求出内孔的直径需先求出内孔的直径ABAB，现用一个交叉现用一个交叉卡钳（两条尺长卡钳（两条尺长ACAC和和BDBD相等）去量，若相等）去量，若OAOA: :OC=OB:OD=3OC=OB:OD=3，且量得，且量得CD=CD=7cm，求厚度，求厚度x x。O O（分析：如图，要想求厚度（分析：如图，要想求厚度x x，根据条件可知，首先得根据条件可知，首先得求出内孔直径求出内孔直径ABAB。而在图中而在图中可构造出相似形，通过相似可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出形的性质，从而求出ABAB的长的长度。）
17、度。）WXQ 7.7.如图：小明想测量一颗大树如图：小明想测量一颗大树ABAB的高度，的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面发现树的影子恰好落在土坡的坡面CDCD和和地面地面CBCB上，测得上，测得CD=4m,BC=10mCD=4m,BC=10m，CDCD与地与地面成面成3030度角，且测得度角，且测得1 1米竹杆的影子长为米竹杆的影子长为2 2米，那么树的高度是多少？米，那么树的高度是多少？CABDWXQ8.8.教学楼旁边有一棵树，数学兴趣小组的同教学楼旁边有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为光下他们测得一
18、根长为1 1米的竹竿的影长是米的竹竿的影长是0.90.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上。他们测得落在地面的影长学楼的墙壁上。他们测得落在地面的影长2.72.7米，落在墙壁上的影长米，落在墙壁上的影长1.21.2米，请你和他们一米，请你和他们一起算一下，树高多少米？起算一下，树高多少米？图11WXQ9.为了测量路灯（为了测量路灯（OS）的高度）的高度,把一根长把一根长1.5米的竹竿（米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（测得竹竿的影子
19、（BC）长为）长为1米米,然后拿竹然后拿竹竿向远离路灯方向走了竿向远离路灯方向走了4米（米（BB）,再把再把竹竿竖立在地面上竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（测得竹竿的影长（BC）为）为1.8米米,求路灯离地面的高度求路灯离地面的高度.h hS SA AC CB BB B O OC C A A WXQ10、如图，有一路灯杆、如图，有一路灯杆AB(底部底部B不能直接不能直接到达到达)，在灯光下，小明在点，在灯光下，小明在点D处测得自己处测得自己的影长的影长DF3m，沿，沿BD方向到达点方向到达点F处再测处再测得自己得影长得自己得影长FG4m，如果小明得身高为，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆，求路灯杆AB的高度。的高度。DFBCEGAWXQ
