§§7.2 7.2 分配格分配格对格对格中的任意元素中的任意元素a,b,c A，必有，必有a (b c) ≤(a b) (a c)(a b) (a c) ≤ a (b c））当上述两式中等号成立的当上述两式中等号成立的时候，就得到一候，就得到一类特殊的格特殊的格 《《定义定义》》设设是由格是由格所所诱导的代数系的代数系统如果如果对任意的任意的a,b,c A，，满足：足： a (b c)=(a b) (a c) a (b c)=(a b) (a c)则称称是分配格是分配格 例：判断图示的格是否是分配格例：判断图示的格是否是分配格 ∵∵a3∧∧（（a4∨∨a5））=a3∧∧a1=a3 （（a3∧∧a4））∨∨（（a3∧∧a5））=a4∨∨a6=a4 ∴∴所示的格不是分配格所示的格不是分配格 《《定理定理》》如果格中交对并是分配的，那么并对交也是分配如果格中交对并是分配的，那么并对交也是分配的，反之亦然。
的，反之亦然 证明：已知对格中任意元素证明：已知对格中任意元素a,b,c，有：，有： a (b c) ＝＝ (a b) (a c)，而，而(a b) (a c)=((a b) a) ((a b) c)=a ((a b) c)=a ((a c) (b c))=(a (a c)) (b c)=a (b c) 即：并对交也是分配的即：并对交也是分配的 《《定理定理》》每个链均是分配格每个链均是分配格 证明：设证明：设是是链对任意任意a，，b，，c A (1) 若若a≤b或或a≤c，，则 a (b c) ＝＝ a，， (a b) (a c)＝＝a 即：即： a (b c) ＝＝ (a b) (a c) (2) 若若a≥b且且a≥c，，则 a (b c) ＝＝ b c，， (a b) (a c)＝＝ b c 即：即：a (b c) ＝＝ (a b) (a c)。
∴ ∴ 定理成立定理成立 定理：设定理：设 >是一个分配格，则对于任意是一个分配格，则对于任意a a，，b b，，c c A A，，如果有如果有a∧b =a∧ca∧b =a∧c和和a∨b =a∨ca∨b =a∨c成立，则必有成立，则必有b=cb=c证明：证明：对于任意对于任意a a，，b b，，c c A A，， ∵∵ （（a∧ ∧b））∨∨ c =（（a∧ ∧c））∨∨ c = c （（a∧ ∧b））∨∨ c =（（a∨ ∨c））∧∧（（b∨ ∨c）） =（（a∨ ∨b））∧∧（（b∨ ∨c）） = b ∨ ∨（（a∧ ∧c）） = b ∨ ∨ (a∧ ∧b) =b ∴ ∴ b =c 《《定义定义》》设设是由格是由格所所诱导的代数系的代数系统对对A中任意中任意a，，b，，c，如果，如果b ≤ a，就，就有有a (b c) ＝＝ b (a c) 则称则称为模格。
模格 《《定理定理》》分配格是模格分配格是模格 证明：对于分配格中任意元素证明：对于分配格中任意元素a,b,c,有：有： a (b c) ＝＝ (a b) (a c) 若若b ≤ a，，则a b=b，代入上式得，代入上式得 a (b c) ＝＝ b (a c) ∴ ∴分配格是模格分配格是模格 §§7.3 7.3 有补格有补格《《定义定义》》设设是一个格，如果存在元素是一个格，如果存在元素a A，，对于于任意的任意的x A，都有：，都有：a ≤ x，，则称称a为格格的全下的全下界，界，记格的全下界格的全下界为0《《定义定义》》设设是一个格，如果存在元素是一个格，如果存在元素b A，，对于于任意的任意的x A，都有：，都有：x ≤ b，，则称称b为格格的全上的全上界，界，记格的全上界格的全上界为1 《《定理定理》》如果格如果格有全上界（全下界），那么它是唯有全上界（全下界），那么它是唯一的 证明：（反明：（反证法）法）设格有两个不相等的全上界格有两个不相等的全上界a和和b，，则由定由定义a ≤ b，且，且b ≤ a，由，由“≤”的反的反对称性，称性， 得得a＝＝b。
所以假所以假设不成立《《定义定义》》设设是一个格，如果格中存在全上界和全下是一个格，如果格中存在全上界和全下界，界，则称称该格格为有界格 《《定理定理》》如果如果是有界格，全上界和全下界分是有界格，全上界和全下界分别是是1和和0，，则对任意元素任意元素a A，有：，有： a 1 = 1 a = 1 a 1 = 1 a = a a 0 = 0 a = a a 0 = 0 a = 0 证明：证明： ∵∵对任意元素任意元素a A ，有：，有：1 ≤ a 1，， 而而 (a 1) A且且1是全上界，是全上界，∴∴a 1 ≤ 1，， 根据偏序关系的反对称性可得根据偏序关系的反对称性可得 a 1=1 由交换律可得：由交换律可得：1 a＝＝a 1=1 《《定理定理》》如果如果是有界格，全上界和全下界分是有界格，全上界和全下界分别是是1和和0，，则对任意元素任意元素a A，有：，有： a 1 = 1 a = 1 a 1 = 1 a = a a 0 = 0 a = a a 0 = 0 a = 0 证明：证明：∵∵ a a≤a，，a≤1，，∴∴a ≤ a 1，， 而而 a 1 ≤ a，，根据偏序关系的反对称性可得根据偏序关系的反对称性可得 ：： a 1= a，， 由交换律可得：由交换律可得：a 1＝＝1 a=a。
类似可证另两式类似可证另两式 《《定义定义》》设设是一个有界格，是一个有界格，对于于A中的一个元素中的一个元素a，如，如果存在果存在b A，使得，使得a b=1和和a b= 0，则称元素，则称元素b是元素是元素a的补元的补元, 元素元素a是元素是元素b的补元 讨论定义：讨论定义： (1) 0 1=1 , 0 1=0，即在有界格中，，即在有界格中，1和和0互为补元；互为补元； (2) 由定义可知由定义可知A中一个元素的补元不一定是唯一的；可能中一个元素的补元不一定是唯一的；可能存在多个补元，也可能不存在补元存在多个补元，也可能不存在补元 《《定义定义》》在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补元补元 ，则称此格为有补格则称此格为有补格 讨论定义：讨论定义：（（1）在有补格中，每）在有补格中，每 个元素一定存在补元（不一定是个元素一定存在补元（不一定是一个补元）；一个补元）；（（2）有补格一定是有界格，而有界格不一定是有补格有补格一定是有界格，而有界格不一定是有补格 如下图所示的格，是有补格吗？如下图所示的格，是有补格吗？∵∵ a2，，a3,a7等元素不存在补元等元素不存在补元∴ ∴ 该格是有界格，该格是有界格， 不是有补格。
不是有补格 《《定理定理》》在有界分配格中，若有一个元素有补元，则必在有界分配格中，若有一个元素有补元，则必是唯一的是唯一的 证明证明:(反证法反证法)假假设设a有两个不同的补元有两个不同的补元 b和和c, 则有：则有： a b=1 , a b= 0 a c=1 , a c= 0 所以所以 a b = a c，，a b = a c 由分配格中定理知：由分配格中定理知：b=c 故本定理成立故本定理成立。