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1、一一. 函数极限存在的夹逼准那么函数极限存在的夹逼准那么定理定理2.且第六节极限存在准那么及两个重要极限1证明证明证: 当当时, 设那么2当那么从而有故 也可写也可写为为时, 令用于1 型3例：例： 1、求、求原式公式：45证: 当当即时，6例例. 1、求、求解解: 原式原式72 2、 求求解解: 原式原式 =3、 求求解解: 令令那么因此原式8令令9 第一章 都是无穷小,第七节引例引例 .但 无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较10定义：定义：设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小
2、记作记作或11例如例如 , 当当时又如又如 ，时是关于 x 的二阶无穷小,且12例例. 当当时,是的几阶无穷小?解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数13例例. 证明证明: 当当时,证:14常用等价无穷小 :阐明：以上各式中的x可换为恣意无穷小15定理定理1.证:即即例如例如,故16定理定理2 . 设设且存在 , 那么证:例如例如,自变量变化过程一样17因式替代因式替代因式替代因式替代规规那么那么那么那么: :界, 那么例如,乘除可替代19例例1. 求求解解: 原式 乘除可替代和差替代有条件20例例2. 求求解解:21第八节函数的延续性与延续点 22一、一、一、一、 函数延函数延函数延函数延续续性
3、的定性的定性的定性的定义义1、f (x) 在 x0 点处延续对自变量的增量有函数的增量称函数在点延续反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。定定义：f (x) 在在 x0 的某一的某一邻域域 内有定内有定义1、可正可负，不为零。2、 可正可负可为零。23例例. 证明函数证明函数在内恣意一点延续 .证: 即这阐明在内恣意一点延续 .24函数在点延续有以下等价命题:25可见 , 函数在点定定义:在的某邻域内有定义 , 那么称函数(1) 在点即(2) 极限(3)设函数延续必需具备以下条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;26假设在某区间上每一点都延续 , 那么称它在该区间上延续 , 或称它为该区
4、间上的延续函数 .2、f (x) 在区间上延续称 f (x) 在x0 点处左延续称 f (x) 在x0 点处右延续其其图像是一条延像是一条延续而不延而不延续的曲的曲线。ab27在二、二、 函数的延续点函数的延续点(1) 函数(2) 不存在;(3) 函数存在 ,但 不延续 :设在点的某去心邻域内有定义 ,那么以下情形这样的点之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 且称为延续点 . 在无定义 ;28延续点分类延续点分类: :第一第一类延延续点点:及均存在 ,假设称假设称第二第二类延延续点点:及中至少一个不存在 ,称假设其中有一个为振荡 ,称假设其中有一个为为可去延续点 .为腾跃延续点 .为无穷延续
5、点 .为振荡延续点 .29为其无穷延续点 .为其振荡延续点 .为可去延续点 .例如例如:30显然为其可去延续点 .(4)(5) 为其腾跃延续点 .31左延续右延续第一类延续点可去延续点腾跃延续点左右极限都存在 第二类延续点无穷延续点振荡延续点左右极限至少有一个不存在在点延续的类型在点延续的等价方式3、假设在某区间上每一点都延续 , 那么称它在该区间上延续 , 或称它为该区间上的延续函数 .其图像是一条延续而不延续的曲线。其图像是一条延续而不延续的曲线。32第九第九节节延续函数的运算与初等函数的延续性33定理定理2. 延延续单调递增增 函数的反函数函数的反函数在其定义域内延续一、延续函数的运算法
6、那么一、延续函数的运算法那么定理定理1. 在某点延续的有限个函数经有限次和在某点延续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点延续的函数 .例如例如,例如例如,在上延续单调递增，其反函数(递减).在 1 , 1 上也延续单调递增.递增(递减)也延续单调34定理定理3. 延延续函数的复合函数是延函数的复合函数是延续的的.在上延续 单调 递增,其反函数在上也延续单调递增.即： 设函数于是复合函数又如又如, 且即35例如例如,是由延续函数链因此在上延续 .复合而成 ,36二、初等函数的延二、初等函数的延续性性根本初等函数在定义区间内延续延续函数有限次四
7、那么运算的结果延续延续函数的反函数延续有限个延续函数的复合函数延续初等函数在定义区间内延续37的延续区间为(端点为单侧延续)的延续区间为的定义域为因此它无延续点而例如例如,38三、求延续区间、并讨论延续点。1、初等函数的延续区间即为其定义域，定义域外的点为延续点。例：讨论 的延续区间及延续点例：讨论 的延续区间及延续点392、分段函数延续区间的求法- 分界点为能够延续点。例：讨论 的延续区间及延续点例：讨论 的延续区间及延续点40根据延续定义确定待定系数根据延续定义确定待定系数例例3. 设函数函数在 x = 0 延续 , 那么 a = , b = .解解:41四、利用初等函数的延续性求极限2、
8、设函数于是42例例4. 求求解解:原式43第十节一、最值定理一、最值定理 二、零点定理、介值定理二、零点定理、介值定理 闭区间上延续函数的性质 44留意留意: 假假设函数在开区函数在开区间上延上延续,结论不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.闭区间上延续的函数闭区间上延续的函数即: 使或在闭区间内有延续 在该区间上必有最大(小)值点 ,45例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 46推论推论. 二、介二、介值定理定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 )至少有一点且在闭区间上延续的函数在该区间上有界. 47定理定理3. ( 介值定理介值定理 )设 且那么对
9、A 与 B 之间的任一数 C ,一点证: 作作辅助函数助函数那么且故由零点定理知, 至少有一点使即推推论:使至少有在闭区间上的延续函数必获得介于最小值与最大值之间的任何值 .48例例1. 证明方程证明方程一个根 .证: 令令又故据零点定理, 至少存在一点使即在区间内至少有经过作辅助函数F(x),再利用零点定理辅助函数的作法：1、把结论中的 或 改写成2、移项，使等式右边为零，令左边式子为F(x)49例2： 至少有一个不超越 4 的 证：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .50那么证明至少存在使提示提示: 令令那么易证例例3： 设设一点51三、判别函数有界的方
10、法：1、假设 f (x) 在a,b上延续 f (x)在a,b有界2、假设 f (x) 在a,b上延续 f (x)在a,b有界52习题课习题课二、二、 延续与延续延续与延续 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 532. 设设函数函数求解解:一、一、 函数函数1、 知知, 求解解:544. 设设求解解:3. 设设求及其定义域 .由得 解解:55解解:利用函数表示与变量字母的无关的特性 .代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即5.5.56有无穷延续点及可去延续点解解:为无穷延续点,所以为可去延续点 ,极限存在6. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .二、二、 延续与延续延续与延续577. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间上 , 假设 f (x) 在延续,提示提示:且对恣意实数证明 f (x) 对一切 x 都延续 .588. 求的延续点, 并判别其类型.解解: x = 1 为第一类可去延续点 x = 1 为第二类无穷延续点 x = 0 为第一类腾跃延续点593、由以下等式，求出a，b，c。605. 求解解: 令令那么利用夹逼准那么可知61
