第第第第 1 1 页页页页■§§7.2 系统的稳定性系统的稳定性一、稳定系统的定义一、稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定的系统，简称为稳稳定系统定系统 即即，若系统对所有的激励，若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该为有限常数），则称该系统稳定系统稳定 第第第第 2 2 页页页页■▲（（1）连续系统稳定的充分必要条件）连续系统稳定的充分必要条件时域：时域：S 域：域：若若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统 对于因果系统对于因果系统若若H(s)的的极点均在左半开平面极点均在左半开平面，则该系统必是，则该系统必是稳定系统稳定系统 第第第第 3 3 页页页页■▲（（2）离散系统稳定的充分必要条件）离散系统稳定的充分必要条件时域：时域：Z 域：域：若若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统 对于因果系统对于因果系统若若H(z)的的极点均在单位圆内极点均在单位圆内，则该系统必是稳，则该系统必是稳定系统 第第第第 4 4 页页页页■▲举例例例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定并判断是否稳定 (2) 若为稳定系统，求若为稳定系统，求h(k). 解解 (1) 为因果系统，故收敛域为为因果系统，故收敛域为|z|>2，所以，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定 (2) 若为稳定系统，故收敛域为若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2，所以，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1) 第第第第 5 5 页页页页■▲例例2：如图离散因果系统框图：如图离散因果系统框图 ，为使系统稳，为使系统稳定，求常量定，求常量a的取值范围的取值范围解解：设：设加法器输出信号加法器输出信号X(z) X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z) Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z) H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，的极点必须在单位园内，故故|a|<1 第第第第 6 6 页页页页■▲二、连续因果系统稳定性判断准则二、连续因果系统稳定性判断准则—罗斯罗斯-霍尔维兹准则霍尔维兹准则 对因果系统，只要判断对因果系统，只要判断H(s)的极点，即的极点，即A(s)=0的根（称的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。
稳定，不必知道极点的确切值 所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式1 1、必要条件、必要条件——简单方法简单方法 一实系数多项式一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于的所有根位于左半开左半开平面的必要条件平面的必要条件是：是：（（1）所有系数都必须非）所有系数都必须非0，即不缺，即不缺项；（项；（2）系数的符号相同系数的符号相同 例例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定符号相异，不稳定 例例2 A(s)=3s3+s2+2 ，， a1=0，不稳定，不稳定 例例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件需进一步判断，非充分条件 第第第第 7 7 页页页页■▲2、罗斯列表、罗斯列表将多项式将多项式A(s)的系数排列为如下阵列的系数排列为如下阵列—罗斯阵列罗斯阵列第第1行行 an an-2 an-4 …第第2行行 an-1 an-3 an-5 …第第3行行 cn-1 cn-3 cn-5 …它由第它由第1，，2行，按下列规则计算得到：行，按下列规则计算得到： …第第4行由行由2，，3行同样方法得到。
一直排到第行同样方法得到一直排到第n+1行罗斯准则指出：罗斯准则指出：若若第一列元素具有相同的符号第一列元素具有相同的符号，则，则A(s)=0所有的根均在左半开平面若第一列元素出现符所有的根均在左半开平面若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数 第第第第 8 8 页页页页■▲举例例例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列： 2 12 2 1 8 02 8.5 02第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，因此，有次，因此，有2个根位于右半平面个根位于右半平面 注意：在排罗斯阵列注意：在排罗斯阵列时，可能遇到一些特时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的殊情况，如第一列的某个元素为某个元素为0或某一行或某一行元素全为元素全为0，这时可断，这时可断言：该多项式不是霍言：该多项式不是霍尔维兹多项式尔维兹多项式 第第第第 9 9 页页页页■▲例例2 已知某因果系统函数已知某因果系统函数为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？ 解解 列罗斯阵列列罗斯阵列1 33 1+k(8-k)/31+k所以，所以， –1
系统稳定 特例：特例：对于二阶系统对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0，若，若a2>0，不难得，不难得出，出，A(s)为霍尔维兹多项式的条件为：为霍尔维兹多项式的条件为：a1>0，，a0>0 第第第第 1010 页页页页■▲三、离散因果系统稳定性判断准则三、离散因果系统稳定性判断准则——朱里准则朱里准则 为判断离散因果系统的稳定性，要判断为判断离散因果系统的稳定性，要判断A(z)=0的的所有根的绝对值是否都小于所有根的绝对值是否都小于1朱里提出一种列表的检朱里提出一种列表的检验方法，称为验方法，称为朱里准则朱里准则 朱里列表：朱里列表：第第1行行 an an-1 an-2 …… a2 a1 a0第第2行行 a0 a1 a 2 …… an-2 an-1 an第第3行行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c1 c0第第4行行 c0 c1 c2 …… cn-2 cn-1第第5行行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d0第第6行行 d0 d1 d2 …… dn-2 ……第第2n-3行行 r2 r1 r0 第第第第 1111 页页页页■▲第第3行按下列规则计算：行按下列规则计算：…一直到第一直到第2n-3行，该行有行，该行有3个元素。
个元素 朱里准则朱里准则指出：指出：A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是: (1) A(1)>0 (2) (-1)nA(-1)>0 (3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0|即，奇数行，其第即，奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值个元素必大于最后一个元素的绝对值 特例：特例：对二阶系统对二阶系统A(z)=a2z2+a1z+a0,易易得得 A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0| 第第第第 1212 页页页页■▲举例例例 A(z)=4z4-4z3+2z-1解解 排朱里列表排朱里列表4 -4 0 2 -1-1 2 0 -4 415 -14 0 44 0 -14 15 209 -210 56A(1)=1>0 (-1)4A(-1)=5>0 4>1 ，， 15>4 ，， 209>56 所以系统稳定。