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1、摘要：摘要：为了利用血管切片图象重建血管的三维形态，我们首先编程对切片图象进行由BMP数据格式向文本格式的转换，而这样获得的数据文件将较大，共约50M。显然在利用计算机做进一步读写与处理前，要着重面对的问题是对大量数据的处理，而其中却有大量冗余信息存在，于是我们在寻找每张血管切片中心轴点的过程中，利用多种优化算法以简化问题，并确定出100个中心轴点。以此100个中心轴点为样点，依靠样条插值，利用Matlab软件对分别对平面及空间曲线进行插值，先后建立了模型一、模型二，从而拟合得到XY，YZ，ZX平面的投影曲线以及中心轴线，得到血管半径为29个像素单位，并模拟给出血管的三维空间形态(如下图)，进
2、而对结果进行了广泛的分析与评价。同通过矩阵投影到XY，YZ，ZX平面而获得的图象进行比较，可以验证模型的正确性，以及模型的先进性。血管切片的三维重建图一、问题重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如，将样本染色后切成厚约1mm的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。现
3、有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面=99。Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），（-255，255，z），（255，-256，z）,（255
4、，-255，z），（255，255，z）。根据以上所给信息,如何重建血管的三维形态,是一个重要而且实用的问题。解决方案如下:二、问题分析我们主要求解的是血管管道的中轴线与半径。管道可以近似地看作是一个半径固定的球体滚动而成的，中轴线是球心滑过的曲线，是连续的。我们等距平行切割血管，中轴线与每张切片有且仅有一个交点，也就是每张切片上有且仅有一个球心，那么在每张切片上总可以找到且只能找到一个以球心为圆心，球半径为半径的圆，而且是此切片的最大内切圆，反过来也是成立的。因此，我们只需找到每张切片中的球心坐标就可以用样条插值得到中轴线，通过寻找最大内切圆得到半径，而中轴线在XY，YZ，ZX平面的投影图只
5、需令Z=0，X=0，Y=0就可以得到。三、模型假设1、假设血管管道的表面是由球心沿着某一曲线（中轴线）的球滚动而成的，也就是血管管道半径（即球体半径）固定且中轴线是连续的。2、我们很合理的假设所有数据均是准确的。用大量象素能够非常近似地描绘一个图形。3、因血管管道可以看作是一个半径固定的球体滚动包络而成的，因此我们认为中轴线，中轴线的一阶导数及二阶导数都是连续的。4、数据精确到单位像素。因切片厚度为1uM，因此像素单位亦为uM，对于的信息距阵来说，此精确程度已足以解释问题。5、切片与血管中轴线的交点存在且唯一。四、符号说明r：表示血管管道半径。ri：表示第i张切片中计算得到的管道半径。ro：表
6、示r的初始估计值（ror）。Sjk：表示第i张切片中第j个内点到第k个边界点的距离。Sj：表示第i张切片中第j个内点到边界的最短距离。(xi,yi,zi)：表示第i张切片得到的最大内切圆的圆心坐标。五、模型构成首先我们用第一个C程序把BMP图象文件格式转换为保存了图象点阵信息的文本文件。每个BMP文件对应一个文本文件（从00.txt到99.txt），每个文本文件均为512行，512列，按图象的视觉直观顺序，以0表示白色象素点，1表示黑色象素点(如右图)，以此方便后续程序的读写及人为地纠错。接着，第二个程序实现了各个球心坐标求取。确定每张切片与中轴线的交点的坐标及半径：按理论来说，血管截面边界是
7、圆滑曲线，对一个球体过球心切割，无论怎样切，都必得到一个大圆，由假设5，每个切片包含且仅包含一个这样的大圆，即它的最大内切圆，圆心即球心，圆半径即球半径。下面我们确定每张切片中最大内切圆的圆心。对第i张切片上的第j个内点，求到边界点k的距离Sjk,从中选取一个最小距离Sj,=minSjk再从中选取一个最大的,记为ri=maxSj.不难理解，这就是第i张切片的最大内切圆的半径。相应的内点即为圆心（中轴线与截面的交点）。对100张切片搜索后就得到100个球心点。但我们要面临的问题是切片是由大量的象素点近似描绘出来的，会给我们的计算带来一定的误差，但是由于象素很小，误差就不会很大，我们依然可以应用上
8、述理论，人为的进行误差分析和修改，更准确地得到球心(xyz)及由假设4可知半径r=29个像素单位（29=ri=29.69）。XYZXYZXYZXYZXYZ(-16100)(-16101)(-16102)(-16103)(-16104)(-16105)(-16106)(-16117)(-16118)(-16119)(-161210)(-161211)(-161212)(-161413)(-161514)(-161615)(-161816)(-1611017)(-1611318)(-1611719)(-1611820)(-1611921)(-1612022)(-1612023)(-1612024)
9、(-1612025)(-1612026)(-1602927)(-1603028)(-1593529)(-1593530)(-1593531)(-1584032)(-1574433)(-1564834)(-1555135)(-1564836)(-1564837)(-1526038)(-1506539)(-1506540)(-1388841)(-1369142)(-1369143)(-1369144)(-1369145)(-1369146)(-11911247)(-11811348)(-11711449)(-11611550)(-11511651)(-11411752)(-11311853)(-1
10、1211954)(-10412655)(-9613256)(-7114757)(-7114758)(-6015259)(-6015260)(-4615761)(-2016362)(-2016363)(-2016364)(-1316465)(-1316466)(-1316467)(3816368)(4316269)(4816170)(5316071)(6015872)(6015873)(6715674)(7515375)(8015176)(8714877)(8714878)(11613179)(11912980)(13111981)(13111982)(13211883)(14410684)(1
11、4410685)(14510586)(14510587)(1519888)(1519889)(1638190)(1667691)(1755892)(1755893)(1775394)(1804595)(1804596)(1814297)(1833598)(1843199)在此之后我们找到两种求中轴线的方案，并对其进行分析模型1：把从切片中得到的100个球心分别投影到XY,XZ,YZ平面，直接应用三次样条插值中连续性方程如下：由假设3知一阶导数连续，又可得到n-1个等式，则可求解。相应地求出三条三次样条插值曲线Y(z),Y(x),Z(x)沿垂直于它们所在平面的方向扩展到空间，将得到三个曲面，它们
12、两两相交得到三条曲线。如果三条曲线能够重合，那无疑就是我们要求的中轴线，但是由于曲线Y(z),Y(x),Z(x)都是三次样条插值拟合出的曲线。在插值过程中，由于分别利用空间点的投影数据，因此插值结果将分别丧失一维信息，这样由投影点拟合的曲线，将极有可能不能还原成三维结果，即使还原也不会完全通过100个先前得到样本点，因此误差将会较大。如果能找到一个准则将三条曲线合并成一条，问题就解决了，但是三条曲线中的任意一条都满足过样本点且处处连续，我们已有的数据只有样本点，所以找不到这样的一个准则。那么我们只能任意选取两条曲线沿它们所在平面的垂直方向扩展得到的曲面相交得到的曲线作为中轴线。这样我们可以解决
13、重建血管的三维形态的问题，但是它存在着很大弊端，由上面的分析我们知道，因为中轴线是由两条三次样条插值曲线分别沿着它们所在平面的垂直方向扩展的两个曲面相交而得到的，而不能由那三个曲面的两两相交得到的三条曲线重合得到，也就不可避免地存在较大误差，这种方案也就存在着一定的局限性。因此，在此基础上我们提出第二种方案。模型2：当100个中心轴样点坐标已知后，考虑采用样条插值将已知样点光滑连接，但实际问题是一空间曲线的插值问题，因此与一般的一维插值有技术上的差别。我们将Z轴坐标z视为x及y坐标的参数，当z做单调变化时,则x(z),y(z)可分别看作相应此参量的横、纵坐标方向的变化量，这样我们就可以利用一维
14、样条插值思想将空间曲线模拟出来。当中轴线确定后，再分别令x=0，y=0，z=0，便可以得到中轴线在三个坐标平面上的投影，(见下图)而且还可在中轴线上取充分多点，利用Matlab画出半径为29的球，由此而形成的球体包络线便可展现三维血管的空间形态，且能得到分别在三个坐标面上的投影。（见后图）六、算法分析1、估计圆心我们可以用计算机搜索第i张切片半径ri=maxjminkSjk，记录下该内点就是此切片中最大内切圆的圆心，即中轴线上的一点，最小距离中的最大值就是据此切片得到的管道半径。但是这样运算量非常大，所以我们进行如下优化。首先我们对第一个切片图象进行分析，找到半径一个初始值。第一个切片图象可以
15、近似地看作一个圆，在截面的边界点中选取4个不要挨的太近且不在两条平行线上的点，每两点相连，得到两条线段，分别作它们的垂直平分线必相交于一点O0，计算四个所选取的四个边界点到这交点的距离，取一个最小的作为r0的值。因为圆上任意一条弦的垂直平分线必过圆心，所以O0点可以近似的看作圆心，那么管道的真实半径一定大于r0，但不会相差很多。于是我们就可以在计算机搜索第一张切片时加上约束条件：如果内点到边界点的距离出现一个小于r0就将这个内点舍去，搜索下一个；如果只有一个边界点到内点的距离达到最小值，也将这个内点舍去。这样我们就大大地降低了计算量，通过对第一个切片的搜索可以得到该切片中的球心（x1，y1，0
16、）及半径r1,由此我们可以适当选取新的更为接近管道真实半径的r0值，对以后的99个切片做如上相同约束条件的搜索。记录下每一个切片得到的圆心坐标和半径，对100个圆心进行样条插值，得到的插值函数就是我们所要求的中轴线。七、结果模拟利用距阵投影即把我们得到的100张图象信息文本文件相应象素进行并位运算,合并出100张图的信息,然后按照bmp格式重新存入一个文件,得到一张新的位图(左图),与我们得到的结果相比(右图),发现具有惊人的一致性,从而验证了我们的重建结果是可信的。左图：距阵XY投影叠加图右图：三维重建XY投影图八、模型特点（1）算法合理易行，便于接受。（2）模型用到的数学知识是简单易懂的。一阶导数的差分公式及三次样条函数的内容现在已广泛为人所知且在实际中用得很广。（3）只要有一台计算机以及连续系列BMP格式切片图象，即可重建血管的三维形态。（4）模型结果直观形象，具有非常高的实用和推广价值
