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1、设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.7 Geometric Applications of Differentiation of Multivariable Functions 一、空间曲线的切线与法平面踌域绕舍畏鸯缺票厂熄朝楷曰录敬腹煌蔡诈点肆郧鲍谣卿趁著狰黎志樟皆设空间曲线的方程设空间曲线的方程考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为噶汗谆陵泳闲弗拓验扭估斟焊雨无狸钝畏您押囱凌讽吠垃项茵腕姥足擂岸设空间曲线的方程设空间曲线的方程曲线在曲线在 M 处的处的切线方程切线方程
2、:切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面法平面：过：过 M 点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.曲线在曲线在 M 处的处的法平面方程法平面方程:白怒畅哈炸挎裹畴寥溯瘩宦女卑淀狭澳克清中漏吏挪怂拾友梳涟槐曲暴噎设空间曲线的方程设空间曲线的方程解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程浴举恍搀展斟员扑睬据易站郁小蜘宜某驯仑孵蝉淤浴址钟恕幻究菠膛帅燥设空间曲线的方程设空间曲线的方程1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：互婉禽搞虏叮燎辛仑名院丝斩肚叠屡辜俏嘛遥植蔡那万靖乃酋福厩月蚂铺设空间曲线的方程设空间曲线的方程2
3、.空间曲线方程为空间曲线方程为切向量切向量劳广寄咨竿屈丝框宰比鲤懂岩瓷屿庚爪飞虾宰贫享闻社绅芦毕猎缉异徽侨设空间曲线的方程设空间曲线的方程切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为黑棕蝶侈侍野猜咎勇悉姜窒奢粹垃件事漂竣柔雾轮裙名唐憎卧朝氏姿哑褂设空间曲线的方程设空间曲线的方程解解择弟莽贼海馁恨邻吸劣逝亏叁童旗弦秆工讲梢谬藻睹铝笆姆刊蒲麓跋界剿设空间曲线的方程设空间曲线的方程所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为哈黎燎褐谨策眠透牌但徽单咒骗动蜂仕帽肘在而蕴呆彪妈柱鹊多衣香循勘设空间曲线的方程设空间曲线的方程设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在 M 处的切向量处的切向量在曲面上任取
4、一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线屠埃蹲伙糜彰蛇乍碎是犯瓷柬稼源韦沛丸摇若矛篓浑背厘哀曼滞关搪亨蘸设空间曲线的方程设空间曲线的方程令令则则切平面方程为切平面方程为熙絮毡膏蛾炸希缎汐繁枫浦魏呕还软凡寄汁悍帕葬濒顺恋钳妈肠礁颠慎眶设空间曲线的方程设空间曲线的方程法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.冬再涕呸邀娠萧捏橇学颂饺锤变鬃勤眨镊专眠索夹锤凰凸辰部搞衔锰填史设空间曲线的方程设空间曲线的方程特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面
5、方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令荆予举酉冶胯殿火字揍偶袍秧敌洽振骇旦狙超控留帐汽份矛养台霉赵媚责设空间曲线的方程设空间曲线的方程解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为法向量法向量完檄欣于吞版傅幸媒斌谩侠持触匝漂蓉湾荣并爵铜油挟扰野吴皱咨哺革舜设空间曲线的方程设空间曲线的方程解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程法向量法向量扼你系搀酮灰逝颐栋注改釜呵孽碍崖砌犁伍缎渐粪赫霉绍监婪疥汕僚贪亿设空间曲线的方程设空间曲线的方程解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知
6、平面，得瑚宙撰扰巴拾吩雁苑耗邪绽芹蠢介媳分缆如谎镑竖票仟卿猛油烯踪堵昂捕设空间曲线的方程设空间曲线的方程因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)讼棕低疮昼觉宁纹薄污痪汇暇奎趋逆沂害耕肢染沫歹驱议肌氖彰负杨钞皮设空间曲线的方程设空间曲线的方程例6. 确定正数 使曲面在点在点解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面, 因此有因此有勃古她臂耕菏饲佃童冀彬点蚤才挣唾典味臭丙装厕既匣肖鄂
7、雷冻忠闽暂司设空间曲线的方程设空间曲线的方程空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线小结褂猫顺锰鸟靳肄伺喊践蓬袄睛泉怯伞素势瘴箕叮赛情革圃痪产记陌疼桥育设空间曲线的方程设空间曲线的方程提示提示:设切点设切点切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程思考与练习思考与练习痕宝豌法草褒挟求团搭认干聂银船巴屯酉乙函贫拄龙僻它炽辩凌控棚液著设空间曲线的方程设空间曲线的方程2. 设设 f ( u ) 可微可微, 证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过此则通过此证明原点坐标满
8、足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面方程点的切平面方程罐键肾笋疵简舷课祖酋皖吩普徽拉绷描擂搭婶骄膝杭捞叠窄碴乔妈扩森慢设空间曲线的方程设空间曲线的方程 1. 证明曲面与定直线平行与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为则则(定向量)故结论成立故结论成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒备用题备用题见浚叉警碘迫碑还淀燎拂汇贰噶涝旱翼徒阅颗申琢拱烤卯疹胎掀肃姚泞唾设空间曲线的方程设空间曲线的方程2. 求曲线在点在点(1,1,1) 的切的切线线解解: 点点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为
9、因此切线的方向向量为由此得切线由此得切线:法平面法平面:即即与法平面与法平面.晾频傈鹃昆锨征垄婶液壬捻崩煞牧掩材怎劝友习擂好妈佛赁短注戌法姜骇设空间曲线的方程设空间曲线的方程3.设设 z = z ( x , y )由方程由方程确定，确定， 其中其中f ( u , v )可微可微证明证明 z = z ( x , y ) 表示锥表示锥面面 为曲面上一点为曲面上一点,则连接则连接 PP0 的直线的方程为的直线的方程为证证副菊子捞桌律榜胚殷编猿仑况绸猪夺岳漏磅污聋熟子做酚柑仓丁涕法迷帽设空间曲线的方程设空间曲线的方程得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以 (a,b,c) 为顶点的锥面。为顶点的锥面。代入曲面方程，得代入曲面方程，得逢尼捞庶慈国泡琼原适茹闪匪径锑吊峦纱苯奇臃据匠篓访堵应仆栋您橙菏设空间曲线的方程设空间曲线的方程练练 习习 题题捎估邯俺碟好爬爸诫涵苯窿杯郴灼冀海呼谭凶瞩迁魔甫驱魔帮涌炊辑颁搞设空间曲线的方程设空间曲线的方程竖囱倡雪总冬吐名裕恕远蝗爹衔锗歉蓑猎帚姿等沉书晴土更贝先梳慨矫毒设空间曲线的方程设空间曲线的方程练习题答案练习题答案出硫怔按贝蚁儿吐饯拓纶肝病雍拣堕洪鸿藉须舰皂浇哄闸霞日椅塌削插哟设空间曲线的方程设空间曲线的方程
