《高考数学 6.6直接证明与间接证明配套课件 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 6.6直接证明与间接证明配套课件 文 新人教A版（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节 直接证明与间接证明1.1.直接证明直接证明内容内容 综综 合合 法法分分 析析 法法定义定义 利用已知条件和某些利用已知条件和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理等，经过一系列的推理论证，最后推导出论证，最后推导出_的证明的证明方法方法从要证明的从要证明的_出发，逐步寻出发，逐步寻求使它成立的求使它成立的_，直到，直到最后，把要证明的结论归结为最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件判定一个明显成立的条件( (已知已知条件、定理、定义、公理等条件、定理、定义、公理等) )的的证明方法证明方法思维思维特点特点 由因导果由因导果 执果索因执果索因 所要所
2、要证明的结论成立证明的结论成立结论结论充分条件充分条件内容内容 综综 合合 法法分分 析析 法法实施实施流程流程 文字文字表示表示 “因为因为所以所以”“由由得得”等等“要证要证”“只需证明只需证明”“即证即证” 2.2.间接证明间接证明(1)(1)反证法反证法: :假设原命题不成立假设原命题不成立( (即在原命题的条件下，结论不成立即在原命题的条件下，结论不成立) )，经，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证，从而证明了明了_的证明方法的证明方法. .假设错误假设错误原命题成立原命题成立(2)(2)利用反证法证题的步骤：利用反证法证题的步骤：假
3、设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立. .简言之，否定简言之，否定归谬归谬断言断言. .判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明综合法是直接证明，分析法是间接证明.( ).( )(2)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分析法是从要证明的结论出发，逐步寻
4、找使结论成立的充要条件要条件.( ).( )(3)(3)用反证法证明结论用反证法证明结论“abab”时，应假设时，应假设“abaBAB，只需，只需CDCbab，则，则 与与 的大小关系的大小关系是是_【解析【解析】答案：答案：5 5设设a a，b b是两个实数，给出下列条件：是两个实数，给出下列条件：(1)a(1)ab2b2；(2)a(2)a2 2b b2 22.2.其中能推出：其中能推出：“a a，b b中至少有一个大于中至少有一个大于1 1”的条件的是的条件的是_(_(填上序号填上序号) )【解析【解析】取取a a2 2，b b1 1，则，则a a2 2b b2 222，从而，从而(2)(
5、2)推不出结推不出结论论(1)(1)能够推出结论，即若能够推出结论，即若a ab2b2，则，则a a，b b中至少有一个大中至少有一个大于于1.1.可用反证法证明如下：假设可用反证法证明如下：假设a1a1，且，且b1b1，则，则a ab2b2与与a ab2b2矛盾，因此假设不成立，所以矛盾，因此假设不成立，所以a a，b b中至少有一个大于中至少有一个大于1.1.答案：答案：(1)(1) 考向考向 1 1 综合法的应用综合法的应用【典例【典例1 1】 对于定义域为对于定义域为0,10,1的函数的函数f(xf(x) )，如果同时满足，如果同时满足以下三条：以下三条：对任意的对任意的x0,1x0,
6、1，总有，总有f(x)0f(x)0；f(1)=1f(1)=1；若若x x1 10,x0,x2 200，x x1 1+x+x2 211都有都有f(xf(x1 1+x+x2 2)f(x)f(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )成立，成立，则称函数则称函数f(xf(x) )为理想函数为理想函数. .试判断试判断g(xg(x)=2)=2x x-1(x0,1)-1(x0,1)是否是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由. .【思路点拨【思路点拨】根据理想函数的定义，分析判断根据理想函数的定义，分析判断g(xg(x) )是否满足理是否满足
7、理想函数的三个条件即可想函数的三个条件即可. .【规范解答【规范解答】g(xg(x)=2)=2x x-1(x0,1)-1(x0,1)是理想函数，是理想函数，证明如下：证明如下：因为因为x0,1x0,1，所以，所以2 2x x11，2 2x x-10-10，即对任意即对任意x0,1x0,1，总有，总有g(x)0g(x)0，满足条件，满足条件. .g(1)=2g(1)=21 1-1=2-1=1-1=2-1=1，满足条件，满足条件. .当当x x1 10,x0,x2 20,x0,x1 1+x+x2 211时，时，g(xg(x1 1+x+x2 2)= )= g(xg(x1 1)+g(x)+g(x2 2
8、)=)=于是于是g(xg(x1 1+x+x2 2)-g(x)-g(x1 1)+g(x)+g(x2 2)由于由于x x1 10,x0,x2 200，所以，所以于是于是g(xg(x1 1+x+x2 2)-g(x)-g(x1 1)+g(x)+g(x2 2)0,)0,因此因此g(xg(x1 1+x+x2 2)g(x)g(x1 1)+g(x)+g(x2 2),),满足条件满足条件，故函数故函数g(xg(x)=2)=2x x-1(x0,1)-1(x0,1)是理想函数是理想函数. .【互动探究【互动探究】本例中条件不变，问题变为本例中条件不变，问题变为“若函数若函数f(xf(x) )是理想是理想函数，证明函
9、数，证明f(0)=0f(0)=0”，如何求解？，如何求解？【证明【证明】令令x x1 1=x=x2 2=0=0，则满足，则满足x x1 100，x x2 200，x x1 1+x+x2 211，于是有于是有f f（0+00+0）ff（0 0）+f+f（0 0），），得得f f（0 0）00，又由条件，又由条件知知f f（0 0）00，故必有故必有f f（0 0）=0.=0.【拓展提升【拓展提升】综合法证题的思路综合法证题的思路【变式备选【变式备选】设设a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求证：求证：【证明【证明】方法一：方法一：a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,又又2
10、 a+b=1,2 a+b=1,当且仅当当且仅当a=b= a=b= 时取等号，时取等号，abab , ,方法二：方法二：a+ba+b=1,=1,故故 等号成立的条件是等号成立的条件是考向考向 2 2 分析法的应用分析法的应用【典例典例2 2】已知函数已知函数f(x)=3f(x)=3x x-2x-2x，求证：对于任意的，求证：对于任意的x x1 1,x,x2 2RR，均有均有 【思路点拨思路点拨】用分析法证明，从要证明的不等式出发，将要证用分析法证明，从要证明的不等式出发，将要证明的不等式逐步简化，直至得出明显成立的不等式明的不等式逐步简化，直至得出明显成立的不等式. .【规范解答【规范解答】要证
11、明要证明即证明即证明因此只要证明因此只要证明 即证明即证明因此只要证明因此只要证明由于由于x x1 1,x,x2 2RR时，时，由基本不等式知由基本不等式知 显然成立，显然成立，故原结论成立故原结论成立. .【拓展提升【拓展提升】分析法证题的技巧分析法证题的技巧(1)(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件找使结论成立的充分条件. .正确把握转化方向是使问题顺利获正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键解的关键. .(2)(2)在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑在求解实际问题时，对于较复杂的问
12、题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证证. .【提醒【提醒】用反证法证明问题时，必须用文字说明，否则是错误用反证法证明问题时，必须用文字说明，否则是错误的的. .【变式训练【变式训练】已知已知a0a0，求证：，求证：【证明【证明】要证要证只要证只要证a0a0，故只要证，故只要证即即从而只要证从而只要证只要证只要证即即 而该不等式显然成立，而该不等式显然成立，故原不等式成立故原不等式成立. .考向考向
13、 3 3 反证法的应用反证法的应用【典例【典例3 3】 已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=,a=,an+1n+1= a= an n+n-4+n-4，nNnN* *，其中其中为实数为实数. .求证：数列求证：数列aan n 不是等比数列不是等比数列. .【思路点拨【思路点拨】先假设数列先假设数列aan n 是等比数列，则其前是等比数列，则其前3 3项构成项构成等比数列，由此推出矛盾等比数列，由此推出矛盾. .【规范解答【规范解答】由已知可得由已知可得a a1 1=,a=,a2 2= -3,a= -3,a3 3= -4.= -4.假设存在实数假设存在实数，使，使aan n 是等比数
14、列，则必有是等比数列，则必有即即( -3)( -3)2 2=( -4)=( -4)，于是，于是 2 2-4+9= -4+9= 2 2-4,-4,可得可得9=09=0，矛盾，所以数列，矛盾，所以数列aan n 不是等比数列不是等比数列. .【互动探究【互动探究】本题条件不变，问是否存在实数本题条件不变，问是否存在实数，使得，使得aan n 是是等差数列？等差数列？【解析【解析】假设存在实数假设存在实数，使得，使得aan n 是等差数列，是等差数列，由已知得由已知得a a1 1=,a=,a2 2= -3,a= -3,a3 3= -4,= -4,所以所以2( -3)=+( -4),2( -3)=+(
15、 -4),解得解得=-18.=-18.于是于是a an n=-18+3(n-1)=3n-21,=-18+3(n-1)=3n-21,因此因此a an+1n+1=3n-18.=3n-18.代入代入a an+1n+1= a= an n+n-4+n-4中检验，成立，中检验，成立，所以存在实数所以存在实数=-18=-18，使得，使得aan n 是等差数列是等差数列. .【拓展提升【拓展提升】反证法证明问题的特点反证法证明问题的特点一般地，当一个命题的结论是以一般地，当一个命题的结论是以“至多至多”“”“至少至少”“”“唯一唯一”或或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法关键是在正确的以否定形式出现时，
16、宜用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等. .【变式备选【变式备选】(2013(2013广州模拟广州模拟) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且满足且满足a an n+S+Sn n=2.=2.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)求证数列求证数列aan n 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列中不存在任意三项按原来顺序成等差数列. .【解析【解析】(
17、1)(1)当当n=1n=1时，时，a a1 1+S+S1 1=2a=2a1 1=2=2，则，则a a1 1=1.=1.又又a an n+S+Sn n=2=2，a an+1n+1+S+Sn+1n+1=2=2，两式相减得，两式相减得a an+1n+1= a= an n，aan n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为 的等比数列，的等比数列，(2)(2)反证法反证法: :假设存在三项按原来顺序成等差数列，假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为记为a ap+1p+1,a,aq+1q+1,a,ar+1r+1(p(pq qr)r)，则，则222 2r-qr-q=2=2r-pr-p+1(*)+1(*)又
18、又p pq qr r，r-q,r-pNr-q,r-pN* *. .(*)(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，假设不成立，原命题得证假设不成立，原命题得证. .【满分指导【满分指导】分析法与综合法的综合应用分析法与综合法的综合应用【典例【典例】(14(14分分)(2013)(2013长沙模拟长沙模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=ln(x+2)=ln(x+2)，a,b,ca,b,c是两两不相等的正实数，且是两两不相等的正实数，且a,b,ca,b,c成等比数列，试判断成等比数列，试判断f(a)+f(cf(a)+f(c) )与与2f(b)2f(b)
19、的大小关系，并证明你的结论的大小关系，并证明你的结论. .【思路点拨【思路点拨】【规范解答【规范解答】f(a)+f(cf(a)+f(c)2f(b)2f(b). . 2 2分分证明如下：因为证明如下：因为a,b,ca,b,c是两两不相等的正实数，是两两不相等的正实数，所以由所以由基本不等式可得基本不等式可得 ，4 4分分又因为又因为a,b,ca,b,c成等比数列，所以成等比数列，所以b b2 2=ac,=ac,于是于是 6 6分分而而f(a)+f(cf(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln(a+2)(c+2)=lnac+2(a+c)+4,=lnac+2(a+c)+4,2f(b)=2ln
20、(b+2)=ln(b2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2 2+4b+4),+4b+4), 1010分分由于由于ac+2(a+c)+4=bac+2(a+c)+4=b2 2+2(a+c)+4b+2(a+c)+4b2 2+4b+4,+4b+4,1212分分且函数且函数f(xf(x)=ln(x+2)=ln(x+2)是单调递增函数是单调递增函数，因此因此lnac+2(a+c)+4ln(blnac+2(a+c)+4ln(b2 2+4b+4),+4b+4),故故f(a)+f(cf(a)+f(c)2f(b).)2f(b).1414分分【失分警示【失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1
21、.(20131.(2013西安模拟西安模拟) )设设S S是整数集是整数集Z Z的非空子集，如果的非空子集，如果 a,ba,bS S，有，有abSabS，则称，则称S S关于数的乘法是封闭的关于数的乘法是封闭的. .若若T T，V V是是Z Z的两个的两个不相交的非空子集，不相交的非空子集，TV=ZTV=Z，且，且a,b,cTa,b,cT，有，有abcT;abcT;x x, ,y,zVy,zV，有，有xyzVxyzV，则下列结论恒成立的是，则下列结论恒成立的是( )( )(A)T(A)T，V V中至少有一个关于乘法是封闭的中至少有一个关于乘法是封闭的(B)T(B)T，V V中至多有一个关于乘法
22、是封闭的中至多有一个关于乘法是封闭的(C)T(C)T，V V中有且只有一个关于乘法是封闭的中有且只有一个关于乘法是封闭的(D)T(D)T，V V中每一个关于乘法都是封闭的中每一个关于乘法都是封闭的【解析【解析】选选A.A.考虑把整数集考虑把整数集Z Z拆分成两个互不相交的非空子集拆分成两个互不相交的非空子集T T，V V的并集，如的并集，如T T为奇数集，为奇数集，V V为偶数集，或为偶数集，或T T为负整数集，为负整数集，V V为为非负整数集，进行分析排除即可非负整数集，进行分析排除即可. .不妨设不妨设T T为奇数集，为奇数集，V V为偶数为偶数集，满足题意，此时集，满足题意，此时T T与
23、与V V关于乘法都是封闭的关于乘法都是封闭的, ,排除排除B B，C;C;若若T T为负整数集，为负整数集，V V为非负整数集，也满足题意，此时为非负整数集，也满足题意，此时T T与与V V关于乘关于乘法都是封闭的，排除法都是封闭的，排除D;D;从而可得从而可得T,VT,V中每一个关于乘法都是封中每一个关于乘法都是封闭的闭的,A,A正确正确. .2.(20132.(2013韶关模拟韶关模拟) )用反证法证明命题：用反证法证明命题：“若若a,bN,aba,bN,ab可被可被5 5整除，那么整除，那么a,ba,b中至少有一个能被中至少有一个能被5 5整除整除”时，假设的内容应时，假设的内容应该是该
24、是( )( )(A)a,b(A)a,b都能被都能被5 5整除整除 (B)a,b(B)a,b都不能被都不能被5 5整除整除(C)a,b(C)a,b不都能被不都能被5 5整除整除 (D)a(D)a能被能被5 5整除整除【解析解析】选选B B，“a,ba,b中至少有一个能被中至少有一个能被5 5整除整除”的否定是的否定是“a,ba,b都不能被都不能被5 5整除整除”. .3.(20133.(2013深圳模拟深圳模拟) )在一条公路上每隔在一条公路上每隔1010公里有一个仓库，共公里有一个仓库，共有有5 5个仓库个仓库. .一号仓库存有一号仓库存有1010吨货物，二号仓库存有吨货物，二号仓库存有202
25、0吨货物，吨货物，五号仓库存有五号仓库存有4040吨货物，其余两个仓库是空的吨货物，其余两个仓库是空的. .现在要把所有现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1 1公里需要公里需要0.50.5元运输费，则最少需要的运费是元运输费，则最少需要的运费是( )( )(A)450(A)450元元 (B)500(B)500元元 (C)550(C)550元元 (D)600(D)600元元【解析【解析】选选B.B.可以分步运算得到：一号仓库不需要考虑；可以分步运算得到：一号仓库不需要考虑；若存到二号仓库，则花费若存到二号仓库，则花费101010100
26、.5+400.5+4030300.5=650(0.5=650(元元) )；若存到三号仓库，则花费若存到三号仓库，则花费101020200.5+200.5+2010100.5+400.5+4020200.5=600(0.5=600(元元););若存到四号仓库，则花费若存到四号仓库，则花费101030300.5+200.5+2020200.5+400.5+4010100.5=550(0.5=550(元元););若存到五号仓库，则花费若存到五号仓库，则花费101040400.5+200.5+2030300.5=500(0.5=500(元元).).最少需要的运费为最少需要的运费为500500元元. .
27、4.(20134.(2013南昌模拟南昌模拟) )已知集合已知集合M=(x,y)|y=f(xM=(x,y)|y=f(x)，若对于任意，若对于任意(x(x1 1,y,y1 1)M)M，存在，存在(x(x2 2,y,y2 2)M)M，使得，使得x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0成立，则称集合成立，则称集合M M是是“好集合好集合”. .给出下列给出下列4 4个集合个集合: :M=(x,y)|y= M=(x,y)|y= ； M=(x,y)|y=eM=(x,y)|y=ex x-2-2；M=(x,y)|y=cos xM=(x,y)|y=cos x； M=(x,y)|y=ln x.
28、M=(x,y)|y=ln x.其中所有其中所有“好集合好集合”的序号是的序号是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选B.B.问题等价于过坐标原点的两条互相垂直的直线问题等价于过坐标原点的两条互相垂直的直线与集合中的曲线都存在公共点与集合中的曲线都存在公共点. .设直线方程为设直线方程为y=kxy=kx, , 中，当中，当k=1k=1时，直线时，直线y=-xy=-x与曲线与曲线 无公共点无公共点, ,故故中的集中的集合不是合不是“好集合好集合”;中，当中，当k k0 0时，直线时，直线y=kxy=kx与曲线与曲线y=ey=ex x-2-2总有两
29、个不同的公共点，此时直线总有两个不同的公共点，此时直线y=-kxy=-kx与曲线与曲线y=ey=ex x-2-2有一个有一个公共点，同理讨论公共点，同理讨论k k0,k0,k不存在的情况，故不存在的情况，故中的集合是中的集合是“好好集合集合”;中，根据函数中，根据函数y=cosy=cos x x的图象总能过坐标原点作互相的图象总能过坐标原点作互相垂直的两直线，使之与曲线垂直的两直线，使之与曲线y=cosy=cos x x都有公共点，故都有公共点，故中的中的集合是集合是“好集合好集合”;中，由于中，由于(ln x-x(ln x-x) = ) = 可可得函数得函数(x)=ln x-x(x)=ln
30、x-x的最大值点是的最大值点是x=1x=1，而，而(1)=-1(1)=-10 0，故，故lnln x xx x，即当，即当k=1k=1时，直线时，直线y=xy=x与曲线与曲线y=lny=ln x x无公共点无公共点 ，故，故中的集合不是中的集合不是“好集合好集合”. .1.1.已知集合已知集合P=1,4,9,16,25,P=1,4,9,16,25, ，若当，若当aP,bPaP,bP时，有时，有abPabP，那么运算，那么运算“”可能是实数四则运算中的可能是实数四则运算中的( )( )(A)(A)加法加法 (B)(B)减法减法 (C)(C)乘法乘法 (D)(D)除法除法【解析【解析】选选C.C.
31、集合集合P P中的元素都是完全平方数，因此它对乘法中的元素都是完全平方数，因此它对乘法运算是封闭的，即运算运算是封闭的，即运算“”可能是实数四则运算中的乘法可能是实数四则运算中的乘法. .2.2.设设a,b,ca,b,c均为大于均为大于1 1的正数，且的正数，且abab=10.=10.求证：求证：logloga ac+logc+logb bc4lg c.c4lg c.【证明【证明】因为因为abab=10=10，所以，所以lg a+lg b=lg (ablg a+lg b=lg (ab)=1.)=1.因此因此logloga ac+logc+logb bc-4lg c c-4lg c 又因为又因为a,b,ca,b,c均为大于均为大于1 1的正数，的正数，所以所以lg a,lg b,lglg a,lg b,lg c0 c0，故，故即即logloga ac+logc+logb bc4lg c.c4lg c.
