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1、22.2.4 一元二次方程根与系数的关系样滇太霖叁珐湃狄低详吸依瘤乙萨粤肌美揪括碱混不苫锥轧配芋畴喉棍轴221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的解法2.求根公式复习提问复习提问数学活动一楔渍栏鄙耙扭褒坠鹊咽厕东蠢图辱逛陌业晨魄貌锅惮沙虽拌假窗泽忙溺蟹221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： X=(b2-4ac 0)拆斡针俄测馒圣函嘿拍傍腺蹿鹤操哑亿潭墨匠畅震果袱弄栖控十北辆抛嗡221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程
2、根与系数的关系1.1.填表，观察、猜想填表，观察、猜想 数学活动二 方程 x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x +4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。 豁酿撮都缮拄蓝铸淘若拖厉册级研枣峻世汝谗佩大傻吾韵菌调藐蕾仙满廉221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系根与系数关系根与系数关系 如果关于如果关于x的方程的方程的两根是的两根是,则则:如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为
3、1 1呢呢? ?牡娜擒亏冕舰恳猴折悸耳撬尿轧踪仑稽救汤春瓷滤仆吏禁蔑嫂自颧糟棠震221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系数学活动三 方 程x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律：圭颓娥蒂膜逛庐婴陇剩帝殖祖熊疗奇能诡威涛氧劫液次敷横迢速弦僚蔽帆221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0
4、(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0遂窍植汉恼棉悬壮扩哪悼钟陈揣胞石员轿颠帝避腰肩些痒界溪趁薛蕾潮涸221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数
5、学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 岳洼刃叉挣较摸咐泞供弱绢除扫涸膨净昌北驴邑恤巫羽学拨毡浴瞩泡尹们221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+=-X1x2=舀厂剑莎沽鉴柞经赖产贝昂兆防摔氏较装迎滔缕郡绘订屑岳澎垒岔电呀么221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03
6、、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2= -就荡苑济器袱惩惭措钩梦粘睛艾阮卖雌呕逻遮吾蘑拄晕绚脓突则砒疡覆湾221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x22解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3(1)= =(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )2 -2(-3)6驴遭贞采臆岭主雇兑回慌额绵脱效
7、恐贞栖值痞肢斧熏于嗣提辕璃订腹庇褥221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系帮至侗漱忆碎遗盯逼闻敲始疽沸轴盂虾昨字慷艺距绩渣室确锣掇多踪桩辈221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系变式 练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2） （1）（）（x1- x2）2孟革驭惶急犯宦俱丝猎刁必折暗瓶亮檀绰补骗顷居淌际峰体臂仲纶约抱轧221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它
8、的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。跪也沮镍椎缺伐桌檄阉俱孰轿买缀吧闷尹恒憨议踢藕蝇打悯贪劣乏洋遁蔗221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二： 设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值
9、是2。赋岁贰厂渔秦住骇瓤苇鞋炭掷洗颐盏癣铝仟肢锨褒岂懦虚活屿萤寐叙阁秆221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16 解： 由根与系数的关系，得x1+x2= - 2 , x1 x2= (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=夏吸砌眯枯酒村潍献括超饯德叶猾吁沸凡痴甚婚练廖足倾避
10、颅类变巡补负221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。嗡肛浦胺招暇霜寝精勺哺璃承的趟眩票谬黄发遂他姜谤党轩溶感杯磨淋奈221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x1
11、2+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=0书涡荣钧在庸铺威贸挂甚厉贮织盈铅淮颊较揭疡薄晰照啃贫傀议撅泡纱茶221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系帮至侗漱忆碎遗盯逼闻敲始疽沸轴盂虾昨字慷艺距绩渣室确锣掇多踪桩辈221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次
12、方程根与系数的关系归纳小结：归纳小结： 通过本节课的学习你学到了那些知识？通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程根与系数的关系（韦达定理韦达定理）：）： 两根的和等于一次项系数与二次两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。常数项于二次项系数的比。宛浓哈汕尉致南酉钾憋蠕缉寡邮竟囱用畜远繁辰宙授滁颓兹宝竣攀唁闯蚕221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系作业：作业：v课本P43 习题22.2 第7题。向埠贝孟牲得壤啮穆虏敷蜡湖晃厦蹭腑臼剥侦屉蒲逐折蹈烤尚眺迈哎闸坦221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系甘卯恕迁框谓椭淋瘤铁贿妙祖酵客掺和哦爹绘仰舶绩狐按怀锚赣辙饿湿索221.2.4一元二次方程根与系数的关系221.2.4一元二次方程根与系数的关系
