《辽宁省庄河市高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（4）课件 新人教B版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁省庄河市高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（4）课件 新人教B版必修5（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等比数列的前n项和 1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和 在历年高考要求中，等差数列与等比数列的有限和总是有公式可求。 2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 有些特殊数列的求和可采用分部法转化为等差或等比数列的求和(能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和)或用裂项法，错位相减法，分项和并项求和法，逆序相加法，分组组合法等求和。. 高考要求高考要求1公公式式法法：直直接接应应用用等等差差数数列列，等等比比数数列列的的前前n项项和和公公式式，以以及及正正整整数数的平方和公式、立方和公式等进行求和的平方和公式、立方和公式等进
2、行求和(1)等差数列的前等差数列的前n项和项和 (2)等比数列的前等比数列的前n项和项和.Sn n2n2n数列求和第一课时数列求和第一课时公式法的数列公式法的数列求和求和例 1：(1)求和 13579(2n1)_；(2)求和2223242n3_. 解：(1)这是一个以这是一个以 1 为首项，为首项，2 为公差的等差数列的求和为公差的等差数列的求和问题，其项数为问题，其项数为 n1， 13579(2n1)(2)这是一个以这是一个以4 为首项，为首项，2为公比的等比数列的求和问题，为公比的等比数列的求和问题，其项数为其项数为(n3)21n2，裂项相消法求和裂项相消法求和22.已知 anSn_.，则
3、数列an的前 n 项和 裂项相消法的裂项相消法的关键关键就是将数列的每一项拆成二项或多项就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。 即：即：把数把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和项和变成首尾若干项之和1 1利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后
4、面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等项之差和系数之积与原通项公式相等常见的拆项方法有：常见的拆项方法有：(1) = ;(2) = ;(3) = ; 错位相减法求和错位相减法求和例3：Sn13x5x27x3(2n1)xn1(x0,1).解：因为x1 ，Sn13x5x27x3(2n1)xn1，xSnx3x25x37x4(2n1)xn.3-13-1已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n且且a an nn n2 2n n，则，则S Sn n_._.
5、2n12n2n1(1n)2n12 Sn2n1(n1)2.答案：答案：(n1)2n12即即：如如果果一一个个数数列列的的各各项项是是由由一一个个等等差差数数列列和和一一个个等等比比数数列列对对应应 项项乘乘积积组组成成，此此时时可可把把式式子子Sna1a2an两两边边同同乘乘以以公公比比q，得得到到 qSna1qa2qanq，两式错位相减整理即可求出，两式错位相减整理即可求出Sn. 用乘公比错位相减法求和时，应注意：用乘公比错位相减法求和时，应注意：1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达
6、式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项错项对齐对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式12222 1. 求和14710(3n4)(3n7) 2.已知 an1n11，则数列an的前 n项和 Sn_._.答案：答案： B答案：答案： B【方法规律小结】数列求和需掌握以下基本常用解法：1公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列的公比q与1的讨论2错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广3裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 将数列相邻的两项将
7、数列相邻的两项( (或若干项或若干项) )并成一项并成一项( (或一组或一组) )得到一个得到一个新数列新数列( (容易求和容易求和) ).五、五、并项求和（奇偶分析法）并项求和（奇偶分析法）例例5求和求和 Sn=1- -2+3- -4+5- -6+(- -1)n+1n.n2Sn=- - ,n 为偶数时为偶数时, , n 为奇数时为奇数时. n+1 2数列求和第二课时数列求和第二课时四、倒序相加法四、倒序相加法将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加,就可以得到就可以得到n个个.例例 如如 等差数列求和等差数列求和公式的推导公式的推导.例
8、例4函数函数f(X)满足若满足若x1+x2=1,则则f(x1)+f(x2) =1, 求求f(0)+f()+f()+f( )+f( )若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且数列的形式，且数列 可求出前可求出前N项和项和 则则例例6.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和六六.分组求和法：分组求和法：（1）解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 （1）本课小结：本课小结：数列求和的一般步骤：数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用求和公式求和。非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法不能转化为等差
9、、等比的数列，往往通过裂项相消法求和。（ 5）已知递增的等比数列已知递增的等比数列 an 前前 3 项之积为项之积为 512, 且这三项分且这三项分别减去别减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列, 求数列求数列 的前的前 n 项和项和.an n （ 6）已知数列）已知数列 an 中中, a1=1, (2n+1)an=(2n- -3)an- -1(n2, n N*), 求数列求数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn. ( )()114313212114+-+.+.+.=nnSn (7).数列数列 an 中中, a1=a, 前前 n 项和项和 Sn 构成公比为构成公比为 q(q 1)
10、 的等的等比数列比数列. (1)求证求证: 在在 an中中, 从第从第 2 项开始成等比数列项开始成等比数列; (2)当当 a=250, q= 时时, 设设 bn=log2|an|, 求求 |b1|+|b2|+|bn|.12欢迎你的提问！欢迎你的提问！课本第 53-55 页 能力培养 5.已知递增的等比数列已知递增的等比数列 an 前前 3 项之积为项之积为 512, 且这三项分别且这三项分别减去减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列, 求数列求数列 的前的前 n 项和项和.an n 解解: 设设等比数列等比数列 an 的公比为的公比为 q, 依题意得依题意得:a1a2a3=512
11、a23=512a2=8.前三项分别减去前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列,( - -1)+(8q- -9)=2(8- -3) q=2 或或 q= ( (舍去舍去) ).q812an=a2qn- -2=8 2n- -2=2n+1.所求数列的前所求数列的前 n 项和项和 Sn= + + 122 223 2n+1 n2n+1 n- -1 123 224 Sn= + + + 122n+2 n- - 得得: Sn= + + - -2n+1 1 122 123 122n+2 nSn= + + - -12n 122 2n+1 n12=1- - - - .12n 2n+1 n 6.已
12、知数列已知数列 an 中中, a1=1, (2n+1)an=(2n- -3)an- -1(n2, n N*), 求数列求数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn. = . an- -1 an 2n- -3 2n+1 Sn=a1+a2+an 解解: (2n+1)an=(2n- -3)an- -1, 则则 = , , = , = . an- -2 an- -1 2n- -5 2n- -1 a2 a3 37a1 a2 15 = . a1 an (2n+1)(2n- -1) 3 an=(2n+1)(2n- -1)3 = ( - - ). 321 2n- -1 1 2n+1 321 2n- -1 1 2
13、n+1 = (1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 13151315173n 2n+1 = . (1)证证: 由已知由已知 S1=a1=a, Sn=aqn- -1, 当当 n2 时时, an=Sn- -Sn- -1=aqn- -1- -aqn- -2=a(q- -1)qn- -2. 在在 an中中, 从第从第 2 项开始成等比数列项开始成等比数列. 7.数列数列 an 中中, a1=a, 前前 n 项和项和 Sn 构成公比为构成公比为 q(q 1) 的等比的等比数列数列. (1)求证求证: 在在 an中中, 从第从第 2 项开始成等比数列项开始成等比数列; (2)当当
14、a=250, q= 时时, 设设 bn=log2|an|, 求求 |b1|+|b2|+|bn|.12an+1an = =q(n2), a(q- -1)qn- -2 a(q- -1)qn- -1 (2)解解: 由由(1)知知 an= a, n=1, a(q- -1)qn- -2, n2. 当当 a=250, q= 时时, b1=log2|a1|=log2250=50, 12 n2 时时, bn=log2|an|=log2|250( - -1)( )n- -2|=51- -n, 1212bn=51- -n(n N*). 当当 1n51 时时, |b1|+|b2|+|bn| =(51- -1)+(51- -2)+(51- -n) =51n- -n(n+1) 2=- - n2+ n; 101212当当 n52 时时, |b1|+|b2|+|bn|= + 50(50+1) 2(n- -51)(1+n- -51) 2= n2- - n+2550. 101212 n2- - n+2550, n52. 101212综上所述综上所述 |b1|+|b2|+|bn|=- - n2+ n, 1n51, 101212=(50+49+1)+1+2+(n- -51) =51n- -(1+2+n)
