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1、中考专题复习中考专题复习最短途径问题最短途径问题 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦有一天,一位将军专程访问名的学者,名叫海伦有一天,一位将军专程访问海伦,讨教一个百思不得其解的问题:从图中的海伦,讨教一个百思不得其解的问题:从图中的A A 地出发,到一条笔直的河边饮马,然后到地出发,到一条笔直的河边饮马,然后到B B地到地到河边什么地方饮马可使他所走的道路全程最短?河边什么地方饮马可使他所走的道路全程最短?BA将军饮马问题将军饮马问题知知晓数学、物理学的海数学、物理学的海伦稍加思索,利用稍加思索,利用轴对称称的知的知识回答了回答
2、了这个个问题这个个问题后来被称后来被称为“将将军饮马问题BA将军饮马问题将军饮马问题1.1.可以利用根身手可以利用根身手实实“两点之两点之间线间线段最短和段最短和“轴对轴对称的性称的性质质,从复,从复杂杂的的图图形中形中笼统笼统出出“最短最短途径途径问题问题的根本数学模型。的根本数学模型。2.2.能将立体能将立体图图形中的形中的“最短途径最短途径问题问题转转化化为为平平面面图图形来形来处处理。理。3 3、经过训练经过训练,提高,提高综综合运用知合运用知识识的才干。的才干。学习目的学习目的如下图:从如下图:从A A地到地到B B地有三条路可供选择,选择哪地有三条路可供选择,选择哪条路间隔最短?他
3、的理由是什么?条路间隔最短?他的理由是什么?两点之两点之间线段最短段最短知识回想知识回想对应点所点所连的的线段被段被对称称轴垂直平分。垂直平分。知识回想知识回想 如图,要在燃气管道如图,要在燃气管道L L上建筑一个泵站,分别上建筑一个泵站,分别向向A A、B B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?所用的输气管线最短?P所以所以泵站建在点站建在点P P可使可使输气管气管线最短最短数学原理:两点之数学原理:两点之间线段最短段最短 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦有一天,一位
4、将军专程访问名的学者,名叫海伦有一天,一位将军专程访问海伦,讨教一个百思不得其解的问题:从图中的海伦,讨教一个百思不得其解的问题:从图中的A A 地出发,到一条笔直的河边地出发,到一条笔直的河边l l 饮马,然后到饮马,然后到B B地地到河边什么地方饮马可使他所走的道路全程最短?到河边什么地方饮马可使他所走的道路全程最短?BAl他能将他能将这个个问题笼统为数学数学问题吗? 将将A A,B B 两地笼统为两个点,将河两地笼统为两个点,将河l l 笼统为一条直线笼统为一条直线 BAl 点点P P是直是直线上的上的一个一个动点,当点点,当点P P在在l l 的什么位置的什么位置时,PA+PBPA+P
5、B最小?最小? 他能利用他能利用轴对称的有关知称的有关知识解答解答这个个问题吗?1 1作点作点B B 关于直关于直线l l 的的对称称 点点BB;BlABP 如图,点如图,点A A,B B 在直线在直线l l 的同侧,点的同侧,点P P是直线上的是直线上的一个动点,当点一个动点,当点P P在在l l 的什么位置时,的什么位置时,PA+PBPA+PB最小?最小? 2 2衔接接ABAB,与直,与直线l l 相交相交 于点于点P P那么点那么点P P 即即为所求所求 作法:作法: 知直线知直线l l 和和A A、B B两点,点两点,点P P是直线上的一个动点,是直线上的一个动点,当点当点P P 在在
6、l l 的什么位置时,的什么位置时,PA+PBPA+PB最小?最小? lAB1A、B两点两点在直在直线异异侧时:PBlABP2A、B两点两点在直在直线同同侧时:模型分析模型分析 如如图,在平面直角坐,在平面直角坐标系中,一次函数系中,一次函数y=-2x+4的的图象与象与x、y轴分分别交于点交于点A、B两点,两点,OA、AB的中点分的中点分别为C、D,P为OB上一上一动点,当点,当PCD的周的周长最小最小时,求,求P点坐点坐标PC典型例题典型例题1 1 1. 1.什么情况下,什么情况下,PCDPCD的周的周长最小?最小? 2. 2.如何找到点如何找到点P?P?题组一题组一1.如如图图,在在边长为
7、边长为1的等的等边边三角形三角形ABC中中,点点D是是AC的的中点中点,AE BC,点,点P是是AE上任一点上任一点,那么那么PC+PD的最的最小小值为值为 。ABC DEP利用等利用等边三角形三角形的的轴对称性称性2.如图,正方形如图,正方形ABCD的边长为的边长为8,M在在DC上,且上,且DM2,N是是AC上的一动点,上的一动点,DNMN的最小值为的最小值为 。利用正方形利用正方形的的轴对称性称性N题组一题组一 如图,圆柱形玻璃杯,高为如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm12cm,底面周长为,底面周长为18cm18cm,在杯内离杯底,在杯内离杯底4cm4cm的点的点C C处有一滴蜂蜜,此时处有
8、一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm4cm与蜂蜜相对的与蜂蜜相对的点点A A处,那么蚂蚁到达处,那么蚂蚁到达C C的最短间隔为的最短间隔为_cm_cm 典型例题典型例题2 2BA 1.在棱长为在棱长为1的立方体的立方体的右下角的右下角A处有一只蚂蚁,处有一只蚂蚁,欲从立方体的侧面爬行去吃欲从立方体的侧面爬行去吃右上角右上角B处的食物,问怎样处的食物,问怎样爬行途径最短,最短途径是爬行途径最短,最短途径是多少?多少?题组二题组二AB 1.在底面半径为在底面半径为1、高为、高为2的圆柱体的左下角的圆柱体的左下角A处有一处有一只蚂蚁,欲从圆柱体的侧面只蚂蚁
9、,欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角爬行去吃右上角B处的食物,处的食物,问怎样爬行途径最短,最短问怎样爬行途径最短,最短途径是多少?途径是多少?题组二题组二AA B 沿过点沿过点A的的母线剪开,那么母线剪开,那么侧面展开图如下侧面展开图如下图,衔接图,衔接AB,那么那么AB为爬行为爬行的最短途径的最短途径.最短途径:最短途径:ABC 2. 2.如图如图, ,圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为1,1,母线长为母线长为4,4,一一只蚂蚁要从底面圆周上一点只蚂蚁要从底面圆周上一点B B出发出发, ,沿圆锥侧面沿圆锥侧面爬行一圈再回到点爬行一圈再回到点B,B,问它爬行的最短道路是多问它爬行的最短道路是多少少
10、? ?题组二题组二ABCB 圆锥的的侧面展开面展开图如下如下图,衔接接BB,那,那么么BB为蚂蚁爬行的最爬行的最短途径短途径.ABC41B解解: :设圆锥的的侧面展开面展开图为扇形扇形ABB, BAB=nABB, BAB=n ABB ABB是直角三角形是直角三角形解得解得: n=90: n=90 圆锥底面半径底面半径为1,1,母母线长为4 4衔接接BB,BB,即即为蚂蚁爬行的最短道路爬行的最短道路BB=BB=答答: :蚂蚁爬行的最短道路为蚂蚁爬行的最短道路为 . . 2= 2=这节课我学会了我学会了反思小结反思小结1、“最短途径最短途径问题问题的数学模型。的数学模型。2、利用、利用转转化的数学方法化的数学方法处处理理问题问题。3、分析、分析问题时问题时,要抓住,要抓住问题问题的本的本质质,注重,注重处处理理问题问题的通性通法。的通性通法。543AB 在长为在长为5、宽为、宽为3、高、高为为4的长方体的左下角的长方体的左下角A处有一只蚂蚁,欲从长方处有一只蚂蚁,欲从长方体的外外表爬行去吃右上体的外外表爬行去吃右上角角B处的食物,问怎样爬处的食物,问怎样爬行途径最短,最短途径是行途径最短,最短途径是多少?多少?拓展提升拓展提升