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1、广义相对论课堂21Schwarzschild时空轨道2011.11.25课程安排复习内容：讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义新内容：Schwarzschild时空应用下次课：经典检验测验发草稿纸助教课后发调查表测验目的了解大家的学习困难、不足、效果确保掌握重点和难点改进动钟变慢误导吗？动=速度不为零=钟尺测量速度=相对于坐标钟加速钟d2=-2dt2双生子佯谬=为什么反过来不可以？钟尺网格Marzke-Wheeler坐标实验不需理论引入钟尺网格试图在球面上构造全局性惯性系skew坐标测地线非测地线，除赤道圈换成也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O 相对于北极点O OO大圆上坐标失效，无能区分不
2、同点非全局！对比极点（，）坐标简并、类似匀加速系直线+曲线网格三种理论4种钟尺网格理论理论参考系（惯性参考系（惯性v、加速）、加速）坐标系（正交、坐标系（正交、非正交）非正交）钟与钟与钟、尺钟、尺与与尺尺钟与尺钟与尺不同网格之间不同网格之间跨系跨系事件坐标符号事件坐标符号意义？意义？事件之间差值事件之间差值微分、差分？微分、差分？牛顿相对静止相对静止同步化同步化刚性刚性t,x,y,zdt与tSR惯性系Lorentz坐标惯性系skew坐标加速系正交加速系非正交相对静止相对静止t,x,y,zt,x,y,z或t,x,y,zGR任意正交(史瓦西为例)任意非正交：Cookt,r,无非是将平直时空（事件集
3、合）用网格划分网格点标记数学的威力Einstein求助重要的是数学表达了什么物理第一个活动惯性斜交坐标系写在纸上不要太潦草上交我查看多留空白、隔行写方便批改尽量文字说明你的推理要点、步骤测量钟与尺相对运动平直时空坐标网格三位一体惯性系skew坐标钟的世界线尺子原点刻度的世界线和钟的世界线重合吗？类时、切矢量类空=尺子延展方向、分量表达与坐标网格的关系线元和度规i方向的基准尺子相对基准钟运动不是j方向另选尺子相对不动的总能做到吗？Cook没讲到：钟尺相对运动线元存在时空交叉项基准钟尺相对运动？转盘系Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐标Kerr时空Boyer
4、-Lindquist坐标未解之谜：Kerr环奇点转动宇宙Godel度规应用进一步可探讨对比习题7.21Cook雷达回波、t,x坐标下第二个活动匀加速正交坐标系匀加速正交坐标系完美完美类比平面几何及坐标系欧式欧式平面几何平面几何半曲线半曲线正交正交原点原点同心同心射线射线+同心圆圆距离距离平方和平方和 都是都是尺子尺子延延展展空间空间线线闵氏平直时空同心“圆圆”距离平方减 钟尺世界线+尺子延展类空线第四点：测地线方程（组） 径向方程测试粒子和光线的测地运动三个初积分运动常数守恒量单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义!单位质量粒子角动量L(因为L=rv)所有的轨道都是在某一个过球
5、心平面上运动：1。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称2。教材9.22，L=0，初始d/d=0，则以后沿测地线处处为d/d=0， =Const.在一个平面上3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论=/2第三个初积分，四速度归一/0化，即线元四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用e,L表达第五点：有效势机械能=径向动能+有效势能（势能+角向动能=离心势能）牛顿情况给定M，首先按照角动量分类牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡外力，不再有机械能守恒分析；径向远离，E0可逃逸到
6、无穷远（势能为0)，E0)或抛物线(E=0)2。E0,V-L2/R3-;R-,V-1/R-0;中间V-L2/2R22.0=V,R01,02=;L4；随L分别为减函2R0143.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大RminRmax;L3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面4. d2V/dR2=0按单位质量角动量分类L=l/M1.L0逃逸，其余投入或回落2.L=3.46,同上拐点R=L2/2处=V不稳定圆周轨道3.3.46L4,最高点不稳定+最低点稳定圆周束缚(Vmin4,+散射轨道0Vmax第六点：有效势曲线分析原理势能曲线的分析原理d/d径向方程后，得
7、到dr/d=0或d2r/d2=-V=有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由d2r/d2连续性仍然有d2r/d2=-V=有效力；问题：在=V， dr/d=0是否可以保持圆周运动？答：不会1。仍然有效力不为0,V0;牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程d2r/d2-r_tt(ut)2-r_(u)2-r_rr(ur)2势能曲线的分析原理：续2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即L, 决定了一条且仅
8、仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则只有从RR_max过来的圆周运动部分）所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力重力有效力，即所谓势能曲线分析反省3问题1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？如果不是，请问哪些你没学到？如果不确定，请解释原因。2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？3、不清楚的原因是讲课不够清楚？缺少提问的机会？你事先没有准备？缺乏课堂讨论？其他？回补+进一步牛顿力学练习题链条滑落光滑球面时速度常引力场中光滑锥面上运动最低点Zeldovich相对论天体物理库仑力场第六点：轨道类型六个量四个变量
9、,t,r,两两组合数6种，5个速度（三个固有速度两个坐标速度）1个形状量（写成杨辉三角4层4321）仅取决于三个方程：e,L,径向方程径向运动dd0，Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿势，d=dr/2(+1/r)，1/2径向自由下落，取负号，=0, e=1,无穷远e=dt/d=1静止，解得教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有时有限；从无穷远当然无限坐标时间，从某个r到2M无限，r-2M，9.40最后一项-+，这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度，在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有ut不为零）测量V,E=mV(
10、LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF中随动标架），g_tt*ut=e=1圆周轨道不稳定圆周轨道3Mr_max6M随L增大而增，L=3.46最小，三个施瓦西半径定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟(同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同光线受的引力时间膨胀一样，测出t；圆弧长/圆周长V=0+=V=9.45，也适用于非稳定圆周轨道得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式，不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler束缚轨道的形状方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数项为牛顿能量高阶小量从内转折点转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远星点） ，再回到内转折点1圈turn一般1圈后2不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称）2，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组E(L)，m圈后=n(2)闭合，mn，习题13近日点进动图9.5不同L（勘误）和E，参数取值边界为稳定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、相对论效应小太阳系行星近日点进动类似Binet方程, 微扰方法求解，Dinverno 15.3节习题15方法，反比于L2 （L越小，越接近引力体越大）,用天文测量数据表达，半主轴a越小、偏心率，小行星Icarus、水星依次为最. Einstein: 不但牛顿理论从GR中作为一级近似导出，水星进动作为二级近似
