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1、 导数的加减法法则：导数的加减法法则： 导数的乘除法法则：导数的乘除法法则：引例引例 一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积成一个圆形油膜，其面积 是半径是半径 的函数：的函数： 油膜半径油膜半径 随着时间随着时间 的增加而扩大，其函数关的增加而扩大，其函数关系为：系为： 问：油膜面积问：油膜面积 关于时间关于时间 的瞬时变化率是多的瞬时变化率是多少？少？分析：分析：油膜面积油膜面积 关于时间关于时间 的新函数：的新函数：由于由于所以由导数的运算法则可得：所以由导数的运算法则可得： 概括概括 一般地，对函数一般地，对函数 和和
2、 ，给定给定 的一个值，可得的一个值，可得 的值，进而确定的值，进而确定 的值，的值，这就确定了新函数这就确定了新函数 ，它是由，它是由 和和 复合而成的，我们称之为复合函复合而成的，我们称之为复合函数，其中数，其中 是中间变量。是中间变量。复合函数复合函数 的导数：的导数：复合函数复合函数 中，令中，令 ，则，则注意：注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中课本我们只讨论课本我们只讨论 的情况。的情况。推广：推广：注意：注意：不要写成不要写成 ！对对x求导求导对对 求导求导 例例1 求函数求函数 的导数。的导数。例例2 求函数求函数 的导数。的
3、导数。 例例3 一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中，一个港口的某一观测点的水位在退潮过程中，水面高度水面高度 关于时间关于时间 的函数为：的函数为：求其在求其在 时的导数，并解释其意义。时的导数，并解释其意义。例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们是未知的，是抽象的复合函数。它们的导数如何求得？的导数如何求得？解析解析（1）首先要首先要弄清复合关系弄清复合关系，特别要，特别要注意中间变量注意中间变量；（2）尽可能地将函数尽可能地将函数化简
4、化简，然后再，然后再求导求导；（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用运用；复合函数求导法则的注意问题：复合函数求导法则的注意问题：1. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2. 求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。动手做一做动手做一做例例4求下列函数的导数：求下列函数的导数：动手做一做动手做一做小结小结关键：关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 复合函数求导公式：复合函数求导公式： 对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, , 要从其形式上把握其要从其形式上把握其结构特征，找出中间变
5、量；另外要充分运用复合关结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。系的求导法则。 抽象复合函数的导数：抽象复合函数的导数： 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，弄清复合关系，而选择而选择中间变量中间变量是复合函数求导的是复合函数求导的关键。关键。分析：分析： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：解：解：例例2解：解： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知： 利用复合函数的求导法则来求导
6、数时，利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间选择中间变量是复合函数求导的关键变量是复合函数求导的关键。必须。必须正确分析复合函数正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，的，分清分清其间的复合关系其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作。要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量，求导后要把中间变量转换成自特别要注意中间变量，求导后要把中间变量
7、转换成自变量的函数。变量的函数。总结总结函数由与函数由与复合而成。复合而成。分析：分析：解：解： 令令 ，由复合函数求导法则可，由复合函数求导法则可以求得：以求得： 当当 时，水面高度下降的速度是时，水面高度下降的速度是 。 对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, ,一方面要从其形式上一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。运用复合关系的求导法则。分析分析: :解：解：（1）函数是由）函数是由 与与 复合而成的，复合而成的， 由复合函数的求导法则知：由复合函数的求导法则知：（2）函数由）函数由 与与 复合而成，复合而成，由复合函数的求导法则知：由复合函数的求导法则知：
