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1、2.6 2.6 线性最小均方误差估计线性最小均方误差估计 linear minimum mean square error estimationlinear minimum mean square error estimation一、线性最小均方误差估计准则一、线性最小均方误差估计准则放宽了对待估计量先验知识的要求。放宽了对待估计量先验知识的要求。设第设第k k次观测为：次观测为：为已知的观测系数，为已知的观测系数， 为观测噪声，估计量为观测噪声，估计量标量标量单参量情况单参量情况使估计的均方误差使估计的均方误差最小化的估计叫最小均方误差估计。记为：最小化的估计叫最小均方误差估计。记为：多参量
2、情况多参量情况观测模型：观测模型：N维观测矢量维观测矢量NM维系数矩阵维系数矩阵M维待估计矢量维待估计矢量N维观测噪声矢量维观测噪声矢量M维列矢量维列矢量N维列矢量维列矢量MN维维确定确定 使均方误差使均方误差最小化的估计叫最小均方误差估计。记为：最小化的估计叫最小均方误差估计。记为：二、线性最小均方误差估计二、线性最小均方误差估计已知已知 的前二阶矩：的前二阶矩：使使 最小化的估计：最小化的估计：矩阵函数对矩阵求导公式矩阵函数对矩阵求导公式解得：解得：估计中只用到二阶矩。估计中只用到二阶矩。三、线性最小均方误差估计的性质三、线性最小均方误差估计的性质（1）估计矢量是观测矢量的线性函数；）估计
3、矢量是观测矢量的线性函数；（2）估计矢量是无偏的；）估计矢量是无偏的；（3）估计误差矢量与观测矢量正交，）估计误差矢量与观测矢量正交， 即：即：（4）估计矢量均方误差阵的最小性）估计矢量均方误差阵的最小性线性最小均方误差估计矢量在线性估计中有最小的线性最小均方误差估计矢量在线性估计中有最小的均方误差，而且均方误差阵也具有最小性。均方误差，而且均方误差阵也具有最小性。设设 是是 的任意线性估计，则均方误差的任意线性估计，则均方误差阵为：阵为：上式中第一项、第二项是非负定的，第三项是上式中第一项、第二项是非负定的，第三项是四、线性最小均方误差估计应用四、线性最小均方误差估计应用信道均衡信道均衡 数
4、字通信系统中，除了信道的噪声干扰之外，另一数字通信系统中，除了信道的噪声干扰之外，另一个重要的干扰就是码间干扰。它与加性的噪声干扰不同，个重要的干扰就是码间干扰。它与加性的噪声干扰不同，是一种乘性的干扰。造成码间干扰的原因有很多，实际是一种乘性的干扰。造成码间干扰的原因有很多，实际上，只要传输信道的频带是有限的，就会造成一定的码上，只要传输信道的频带是有限的，就会造成一定的码间干扰。（间干扰。（ISI- Inter-Symbol Interference ）信道h(n)+均衡器h1(n)x(n)x1(n)w(n)r(n)判决电路通常通常h1(n)是一个横向滤波器，即是一个横向滤波器，即DDDD
5、wN-1w2w1w0+产生的误差为：是理想输出信号， 因此，在信道均衡中，就是根据某种准则确定横向滤波器的权系数，通常采用的准则为最小均方误差准则。2.7 2.7 最小二乘估计最小二乘估计 该方法不需要知道任何先验知识，仅需要知道该方法不需要知道任何先验知识，仅需要知道被估计量的观测模型。被估计量的观测模型。一、最小二乘估计方法一、最小二乘估计方法 假设待估计量假设待估计量 的信号模型的信号模型 观测模型：观测模型：则则 的最小二乘估计就是使的最小二乘估计就是使最小化的估计。记为最小化的估计。记为多参量情况：多参量情况：最小化的估计：最小化的估计：二、线性最小二乘估计二、线性最小二乘估计线性观
6、测模型：线性观测模型：N1维NMNM维M1维N1维其中其中因为因为是非负定的，所以是非负定的，所以 是是 的最小值。的最小值。估计量的性质：估计量的性质：（1）估计矢量是观测矢量的线性函数；）估计矢量是观测矢量的线性函数；（2）如果）如果 ，则估计是无偏的；，则估计是无偏的；（3）如果）如果 为协方差阵，则为协方差阵，则LS估估计的均方误差阵：计的均方误差阵：三、线性加权最小二乘估计三、线性加权最小二乘估计令令线性加权最小二乘估计就是使线性加权最小二乘估计就是使达最小的估计。达最小的估计。N*N对称正定矩阵估计量的性质：估计量的性质：（1）估计矢量是观测矢量的线性函数；）估计矢量是观测矢量的线
7、性函数；（2）如果）如果 ，则估计是无偏的；，则估计是无偏的；（3）如果）如果 为协方差阵，则为协方差阵，则LS估估计的均方误差阵：计的均方误差阵：如何选取权矩阵，使均方误差为最？可以证明，当如何选取权矩阵，使均方误差为最？可以证明，当均方误差阵取最小值，均方误差阵取最小值，四、非线性最小二乘估计四、非线性最小二乘估计 的信号模型的信号模型 是非线性的，是非线性的，最小化的问题十分困难。最小化的问题十分困难。（1 1）参量变换法）参量变换法（2 2）参量分离法）参量分离法五、最小二乘估计应用举例五、最小二乘估计应用举例 （1）光条中心高斯曲线拟合；）光条中心高斯曲线拟合； （2）图像畸变的多项式修正）图像畸变的多项式修正（u，v）校准后的坐标，（）校准后的坐标，（x，y）校准前的坐标。）校准前的坐标。
