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1、1.3.21.3.2奇偶性奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与断定第一课时函数奇偶性的定义与断定课标要求课标要求:1.:1.结合详细函数结合详细函数, ,了解函数奇偶性的含义了解函数奇偶性的含义.2.2.学会利用图象了解学会利用图象了解和研讨函数的性质和研讨函数的性质.3.3.掌握判别函数奇偶性的方法掌握判别函数奇偶性的方法. .自主学自主学习新知建构新知建构自我整合自我整合【情境导学】【情境导学】 导入函数入函数f(x)=x2-1,f(x)=- ,f(x)=x2-1,f(x)=- ,f(x)=2xf(x)=2x的的图象分象分别如下如下图. .想一想想一想 1:(1) 1:(1)导入中三个函数的定
2、入中三个函数的定义域分域分别是什么是什么? ?它它们有什么共同特点有什么共同特点? ?(R;(-,0)(0,+);R;(R;(-,0)(0,+);R;关于原点关于原点对称称) )(2)(2)对于于导入中的三个函数入中的三个函数计算算f(-x),f(-x),察看察看对定定义域内每个域内每个x,f(-x)x,f(-x)与与f(x)f(x)有有怎怎样的关系的关系? ?(f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).(f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).f(-x)= ,f(-x)=-f(x).f(-x)= ,f(-x)=-f(x).f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x)f(-x)=-2x,f
3、(-x)=-f(x)想一想想一想 2: 2:导入中的三个函数的入中的三个函数的图象具有怎象具有怎样的的对称性称性? ?(图象关于象关于y y轴对称称;图象关于原点象关于原点对称称) )知识探求知识探求奇函数、偶函数的定奇函数、偶函数的定义(1)(1)偶函数偶函数: :普通地普通地, ,假假设对于函数于函数f(x)f(x)的定的定义域内域内 一个一个x,x,都有都有 , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. .(2)(2)奇函数奇函数: :普通地普通地, ,假假设对于函数于函数f(x)f(x)的定的定义域内域内 一个一个x,x,都有都有 , ,那么函数那么函数f(x)f(
4、x)就叫做奇函数就叫做奇函数. .探求探求1:1:假假设函数具有奇偶性那么它的定函数具有奇偶性那么它的定义域有何特点域有何特点? ?答案答案: :定定义域关于原点域关于原点对称称. .探求探求2:2:假假设函数函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,且点且点(a,f(a)(a,f(a)是是y=f(x)y=f(x)图象上一点象上一点, ,点点(-a,(-a,-f(a)-f(a)能否在函数能否在函数图象上象上? ?答案答案: :由由f(-a)=-f(a)f(-a)=-f(a)知点知点(-a,-f(a)(-a,-f(a)一定在函数一定在函数y=f(x)y=f(x)图象上象上. .恣意恣意f
5、(-x)=f(x) f(-x)=f(x) 恣意恣意f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) 自我检测自我检测1.(1.(偶函数定义偶函数定义) )知知f(x)=ax2+bxf(x)=ax2+bx是定义在是定义在a-1,3aa-1,3a上的偶函数上的偶函数, ,那么那么a+ba+b的的值是值是( ( ) )C C 2.(2.(奇函数定奇函数定义义) )知知f(x)=x3+2x,f(x)=x3+2x,那么那么f(a)+f(-a)f(a)+f(-a)的的值值是是( ( ) )(A)0 (A)0 (B)-1 (B)-1 (C)1 (C)1 (D)2(D)23.(3.(偶函数定偶函数定义义)f(x
6、)f(x)为为定定义义在在R R上的偶函数上的偶函数, ,假假设设f(2)=3,f(2)=3,那么那么f(-2)f(-2)等于等于( () )(A)-3 (A)-3 (B)-2 (B)-2 (C)3 (C)3 (D)2 (D)2A AC C4.(4.(判别奇偶性判别奇偶性) )函数函数f(x)= f(x)= 的奇偶性是的奇偶性是( ( ) )(A)(A)奇函数奇函数(B)(B)偶函数偶函数(C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数(D)(D)既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数B B5.(5.(由奇偶性求参数由奇偶性求参数) )知函数知函数f(x)= +af(x)= +a
7、为为奇函数奇函数, ,那么那么a=a=.答案答案:0:0题型一题型一 函数奇偶性的断定函数奇偶性的断定课堂探求堂探求典例分析典例分析举一反三一反三【例【例1 1】 判别以下函数的奇偶性判别以下函数的奇偶性: :(1)f(x)=x3+x;(1)f(x)=x3+x;规范解答范解答:(1):(1)函数的定函数的定义域域为R,R,关于原点关于原点对称称.1.1分分又又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),2f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),2分分因此函数因此函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数.3.3分分规范解答范解答:(3)函数函数f(x)的定的定
8、义域是域是(-,-1)(-1,+),7分分不关于原点不关于原点对称称,所以所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. 9分分方法技巧方法技巧 判判别函数奇偶性的方法函数奇偶性的方法(1)(1)函数函数图象法象法. .(2)(2)定定义法法:求函数求函数f(x)f(x)的定的定义域域; ;判判别函数函数f(x)f(x)的定的定义域能否关于原点域能否关于原点对称称, ,假假设不关于原点不关于原点对称称, ,那么那么该函数既不是奇函数函数既不是奇函数, ,也不是偶函数也不是偶函数, ,假假设关于原点关于原点对称称, ,那么那么进展下一步展下一步; ;结合函数合函数f(x)f(x)
9、的定的定义域域, ,化化简函数函数f(x)f(x)的解析式的解析式; ;求求f(-x);f(-x);根据根据f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)之之间的关系的关系, ,判判别函数函数f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性: :奇函数奇函数, ,偶函数偶函数, ,既既奇又偶函数奇又偶函数, ,非奇非偶函数非奇非偶函数; ;其中既奇又偶函数的表达式是其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,f(x)=0,xA,A A是关于原点是关于原点对称的非空数集称的非空数集. .即时训练即时训练1-1:1-1:判别以下各函数的奇偶性判别以下各函数的奇偶性: :(1)f(x)=x4-1;(2)f(x)=x+
10、;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.(1)f(x)=x4-1;(2)f(x)=x+ ;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)=(x-1)2.解解:(1)由于由于对于恣意的于恣意的xR,都有都有f(-x)=(-x)4-1=x4-1=f(x),所以函数所以函数f(x)=x4-1是是偶函数偶函数.(3)(3)函数函数f(x)=2|x|f(x)=2|x|的定的定义义域是域是R.R.由于由于对对于恣意的于恣意的xR,xR,都有都有f(-x)=2|-x|=f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),2|x|=f(x),所以函数所以函数f(x)=2|x|f(x)=2|x|是偶函数是偶
11、函数. .(4)(4)函数函数f(x)=(x-1)2f(x)=(x-1)2的定的定义义域是域是R.R.由于由于f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2f(x)f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2f(x)且且f f(-x)-f(x).(-x)-f(x).所以函数所以函数f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .题型二题型二 函数奇偶性的图象特征函数奇偶性的图象特征【例【例2 2】 知奇函数知奇函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5,-5,5,且在区间且在区间0,50,5上的图象如下图上的图象如下图. .(1)(1)画出在区间画出在区间-5,0-5,0上的图象上的图象; ;(
12、2)(2)写出使写出使f(x)0f(x)0的的x x的取值集合的取值集合. .解解:(1)由于函数由于函数f(x)是奇函数是奇函数,所以所以y=f(x)在在-5,5上的上的图象关于原点象关于原点对称称.由由y=f(x)在在0,5上的上的图象象,可知它在可知它在-5,0上的上的图象象,如下如下图.(2)由由图象知象知,使函数使函数值y0f(x)0的解集的解集为为( () )(A)(-1,1)(A)(-1,1)(B)(0,1)(B)(0,1)(C)(1,2)(C)(1,2)(D)(0,2)(D)(0,2)解析解析:由于由于f(x+1)在在R上是偶函数上是偶函数,所以所以f(-x+1)=f(x+1)
13、,那么函数那么函数f(x)关于直关于直线x=1对称称,由于由于f(x)在在1,+)上上单调递减减,且且f(2)=0,所以所以f(x)在在(-,1上上单调递增增,f(0)=0,画出函数的表示画出函数的表示图.由由图得得,f(x)0的解集是的解集是(0,2),应选D.题型三题型三 利用函数奇偶性求参数利用函数奇偶性求参数答案答案:(1)-1 :(1)-1 (2)(2)知函数知函数f(x)= f(x)= 是奇函数是奇函数, ,那么那么a=a=.解析解析:(2)(特特值法法)由由f(x)为奇函数奇函数,得得f(-1)=-f(1),即即a(-1)2+(-1)=-(-12+1),整理得整理得a-1=0,解
14、得解得a=1.答案答案:(2)1:(2)1变式探求变式探求: :能否存在实数能否存在实数a a使函数使函数f(x)= f(x)= 为偶函数为偶函数, ,阐明理由阐明理由. .误区警示区警示 由函数的奇偶性求参数由函数的奇偶性求参数应留意两点留意两点(1)(1)函函数数奇奇偶偶性性的的定定义既既是是判判别函函数数的的奇奇偶偶性性的的一一种种方方法法, ,也也是是在在知知函函数数奇奇偶偶性性时可以运用的一个性可以运用的一个性质, ,要留意函数奇偶性定要留意函数奇偶性定义的正用和逆用的正用和逆用. .(2)(2)利利用用常常见函函数数如如一一次次函函数数、反反比比例例函函数数、二二次次函函数数具具有有奇奇偶偶性性的的条条件件也也可可求得参数求得参数. .
