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1、3.5 线性系统的稳定性分析 一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。 控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。 如果系统是稳定，那么随着时间的推移，系统地各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散，即使系统的扰动消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态。 因因此此，显显然然不不稳稳定定的的控控制制系系统统是是无无法法正正常常工工作作的的。因因此此，如如何何分分析析的的稳稳定定性性并并提提出出保保证证系系统统稳稳定定的的措措施施，是是自自动
2、动控控制制理理论论研究的基本任务。研究的基本任务。 钟摆的运动 平平衡衡点点（状状态态）为为A、D，对对于于平平衡衡点点A，在在扰扰动动消消失失后后，由由初初始始偏偏差差角角开开始始的的自自由由运运动动随随着着时时间间的的推推移移，摆摆终终究究会会停停止止运运动动并并回回到到平平衡衡点点A，所所以以平平衡衡点点A是是一一个个稳稳定定的的平平衡衡点点（状状态态）；对对于于平平衡衡点点D哪哪怕怕是是由由扰扰动动引引起起的的微微小小偏偏差差角角，在在扰扰动动消消失失后后，无无论论经经过过多多长长的的时时间间，摆摆都都不不会会再再回回到到原原来来的的平平衡衡点点D，所所以以平平衡衡点点D是是一个不稳定
3、的平衡点（状态）。一个不稳定的平衡点（状态）。 DCBA（1）控制系统稳定的实例：）控制系统稳定的实例： 1系统运动的稳定性（2）系统运动稳定性的描述稳定性描述：线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。 通通过过前前面面关关于于系系统统动动态态性性能能的的分分析析可可知知，线线性性系系统统由由扰扰动动作作用用而而使使被被控控量量产产生生偏偏差差，当当扰扰动动消消失失后后，偏偏差差能能否否“消消失失”，实实际际上上是是指
4、指系系统统的的暂暂态态响响应应能能否否消消失失，若若暂暂态态响响应应能能消消失失的的，则则系系统统是是稳稳定定的的，若若暂暂态态响响应应不不能能消消失失，则则系系统统是是不不稳稳定定。对对于于暂暂态态响响应应不不能能消消失失有有2种种情情况况，一一种种情情况况是是系系统统的的暂暂态态响响应应呈呈现现发发散散状状态态，另另外外一一种种情情况况是是系系统统的的暂暂态态响响应应呈呈现现等等幅幅振振荡荡状状态态，对对于于等等幅幅振振荡荡情情形形可可以以称为临界稳定状态。称为临界稳定状态。 结结论论：线线性性系系统统的的稳稳定定性性，与与系系统统的的输输入入信信号号、初初始始状状态态均均无无关关，它是系
5、统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。它是系统的固有本质属性，完全取决于系统的结构和参数。 由于线性系统的稳定性与输入信号形式和初始状态无关，因而只需要研究系统无论是“什么”激励信号产生的暂态响应，也即系统的自由运动能否随着时间的推移而消失，因此可以假设系统的初始条件为零，外部激励为脉冲函数输入信号，即研究单位脉冲响应g(t)，随着时间推移并趋向无穷大时的衰减和发散情况。这种假设相当于在扰动信号作用下，输出信号偏离原来的工作状态的情形。 2线性控制系统稳定性的充分必要条件序号序号脉冲函数极限脉冲函数极限值值脉冲响脉冲响应应衰减情况衰减情况稳稳定状定状态态1衰减系统稳定2发散系统不稳定3
6、或等幅振荡系统临界稳定 若时间 时，脉冲响应函数 趋向于零，则系统是稳定的，若发散则系统不稳定，若等于某个定值或趋于等幅振荡则系统临界稳定。 线性系统稳定的充分必要条件为：系统微分方程的特征根全部都是负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于s平面的左半平面。 ， 当当特特征征根根出出现现正正实实数数或或实实部部为为正正的的复复数数或或有有极极点点分分布布于于s平平面面的的右右半半平平面面时时，线线性性系系统统为为不不稳稳定定；当当特特征征根根出出现现纯纯虚虚数数或或有有极极点点位位于于s平平面面的的虚虚轴轴时时，线线性性系系统统为为临临界稳定。界稳定。不稳定区域稳定区域临界稳
7、定S平面解：闭环统的传递函数为 ，其闭环极点为 、 ，所以系统稳定。例3 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： ，试判别闭环系统的稳定性。 例1系统的闭环传递函数为： ，判别系统稳定性。解：由给定闭环传递函数可知系统的闭环极点分别为 、 ，所以系统稳定。例2已知线性系统的闭环特征方程为 ，试判别系统的稳定性。解：由给定的闭环特征方程 ，可求得特征根为： ， ，依据线性系统稳定的充分必要条件可知系统为临界稳定。3代数稳定判据 设线性系统的特征方程为： ，依照以下的方法构造劳斯表，构造方法如下： 二阶系统： ，构造劳斯表：劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表第一列的所有元素符号不改变，且符
8、号改变的次数为特征根位于s右半平面的个数。例4 讨论二阶、三阶系统稳定的充分必要条件。 由劳斯表并依据劳斯判据可知，二阶系统稳定的充分必要条件为： 三阶系统： ，构造劳斯表： 由劳斯表并依据劳斯判据可知，三阶系统稳定的充分必要条件为：且 例5 设闭环系统的特征方程为 ，试判别其稳定性。解：构造劳斯表 由劳斯表可见，其第一列元素的符号发生了2次改变，所以该系统是不稳定的，且有2个特征根位于s右半平面。 在构造劳斯表的时候，可能会遇到2种特殊的情况，致使劳斯表无法正常构造，为此需要进行相应的数学处理，具体的方法如下： 第一种特殊情况：劳斯表中第一列的某一行元素出现零元素。 结论：当出现这种情况时，
9、说明系统特征方程式具有正实数根或纯虚根，表明系统不稳定或临界稳定。 处理方法：可以用一个小正数 来代替那个零元素，然后继续构造下去，并令 ，判别第一列元素符号改变的次数。例6 设系统的特征方程为解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。 由劳斯表可见，其第一列元素的符号没有改变，故系统临界稳定，存在一对虚根。 第二种特殊情况：劳斯表中出现某一行元素全为零。 结论：出现这种特殊情况，说明存在着等值反号的实数根或成对出现的纯虚根或对称于s平面坐标轴原点的偶数对共轭复数根。特征方程存在着大小相等而径向相反的根。可见系统是不稳定的或临界稳定。 处理方法：利用全零行上一行的元素及相应的阶次构造辅助多项式 ，并以
10、 各系数代替全零行元素，然后继续构造劳斯表的其余部分。例7 设系统的特征方程为解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。 由于劳斯表第一列元素的符号发生改变，所以系统必然不稳定。4代数判据的应用 利用劳斯判据可以分析系统中某个参数对系统稳定性的影响。 解：闭环特征方程为 由三阶系统稳定的充分必要条件可以得到，当 时该闭环系统是稳定的。 例9单位反馈系统的开环传递函数为 ，且 ，试确定闭环系统稳定时放大倍数K的取值范围。 解：系统的闭环传递函数为 系统的闭环特征方程为： 三阶系统稳定的条件为： 例8设单位反馈控制系统的开环传递函数为 ，试分析闭环系统稳定时放大倍数K的取值范围。 例10单位反馈控制系统的开环传递函数为 ，若要求闭环特征根均位于S平面 垂线的左侧，试分析闭环系统稳定时K的取值范围。 解：闭环特征方程为 作线性变换，令 ，并代入上述闭环特征方程，整理得到 根据劳斯判据，可以得到满足条件时K的取值范围 。显然，由于相对稳定性的提高，使K的取值范围变小了。稳定区域示意图：稳定区域示意图：不稳定区域稳定区域临界稳定S平面
