《动力响应分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动力响应分析（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 返回首页Theory of Vibration with Applications无阻尼系统对初始条件的响应无阻尼系统对初始条件的响应无阻尼振动系统对激励的响应无阻尼振动系统对激励的响应有阻尼系统对激励的响应有阻尼系统对激励的响应1 返回首页Theory of Vibration with Applications已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程当t=0时，系统的初始位移与初始速度为求系统对初始条件的响应。求解的方法是：求解的方法是：利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成成n n个独立的单自由度形式的运动微分方程；个独立
2、的单自由度形式的运动微分方程；利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；或正则坐标表示的响应；再反变换至原物理坐标求出再反变换至原物理坐标求出n n自由度无阻尼系统对初始条自由度无阻尼系统对初始条件的响应件的响应. .。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。2 返回首页Theory of Vibration with Applications由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为3 返回首页Theory of Vibration with Applications系统的响
3、应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法振型叠加法对于半正定系统，有固有频率 i = 0系统具有刚体运动振型4 返回首页Theory of Vibration with Applications例9 在例1中，设初始条件是 ,求系统的响应。 解：已求出系统的正则振型矩阵和质量矩阵5 返回首页Theory of Vibration with Applications得到用正则坐标表示的响应求出系统对初始条件的响应其中6 返回首页Theory of Vibration with Applications例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度
4、系数均为 ，轴重不计。若已知运动的初始条件解：系统的位置可由三圆盘的转角 确定，求系统对初始条件的响应。运动微分方程是求主振型7 返回首页Theory of Vibration with Applications写出特征方程得到系统的频率方程解出三个固有频率8 返回首页Theory of Vibration with Applications三个固有频率求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列将各频率依次代入，即得各阶主振型9 返回首页Theory of Vibration with Applications各阶主振型将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵求出主质量矩阵求出正则振型，进一步建立正则振型
5、矩阵10 返回首页Theory of Vibration with Applications求系统初始条件的正则坐标表示11 返回首页Theory of Vibration with Applications求出响应为若初始条件为求系统的响应12 返回首页Theory of Vibration with Applications由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率2作谐振动。 13 返回首页Theory of Vibration with Applications设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为为了求系统对此激振力的
6、响应，现采用主振型分析法和正则振型分析法。利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解偶的分析方法，称为正规模态法或实模态分析法。 14 返回首页Theory of Vibration with Applications利用主坐标变换以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组n个独立的单自由度方程，即同单自由度无阻尼受迫振动一样，设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即15 返回首页Theory of Vibration with Applications返回原物理坐标这就是系统对简谐激振力的稳态响应。上述方法即为主振型分析法。16 返回首页Theory of Vibration with Applic
7、ations将正则坐标变换的关系式由正则振型的正交条件可得到解偶的运动微分方程可写成n个独立的方程返回原物理坐标17 返回首页Theory of Vibration with Applications可以看出，当激振力的频率等于系统固有频率中任何一个时，以上二式的分母都将为零，这时振幅将会无限增大，即系统发生共振。与单自由度系统不同，n自由度系统一般有n个固有频率，因此可能出现n次共振。可以证明，当系统发生共振时，譬如 ，这时第i阶主共振的振幅会变得十分大，称系统发生了第i阶共振，且系统在第i阶共振时的振动形态接近于第i阶主振型。18 返回首页Theory of Vibration with
8、Applications例11 在图示的三自由度弹簧质量系统中，物块质量均为m，且，试求系统的稳态响应。解：设取广义坐标x1、 x2、 x3 如图所示。系统的运动微分方程为19 返回首页Theory of Vibration with Applications由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在F1(t)和F2(t)单独作用下的响应，然后再将两部分叠加起来，最后得到系统对激励 f (t)的响应。20 返回首页Theory of Vibration with Applications现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵利用正则坐标变换得到以正则坐标表示的运动微分方程21 返回首页Theory
9、of Vibration with Applications将qN分成两种情况(用下标1，2分别表示F1(t)、F2(t)单独作用的情况)。22 返回首页Theory of Vibration with Applications由于激振力是不同频率的， F2(t)的频率是F1(t)的三倍，因此系统的总响应不再是简谐的，而是周期性的。23 返回首页Theory of Vibration with Applications在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼和速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分方程式中的阻尼矩阵一般是n阶方阵。有C是阻尼矩阵，与刚度影响系数和柔度影
10、响系数类似，阻尼矩阵中的元素cij称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第j个坐标上产生单位速度而相应于在第i个坐标上所需施加的力。 24 返回首页Theory of Vibration with Applications利用主坐标分析法，用主振型矩阵AP试对阻尼矩阵C进行对角化CP一般不是对角阵1. 将阻尼矩阵假设为比例阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合a、b是正的常数称为主阻尼矩阵25 返回首页Theory of Vibration with Applications若用正则振型矩阵变换振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数振型阻尼比或模态阻尼比26 返回首页Theory of Vi
11、bration with Applications2. 由实验测定各阶振型阻尼比对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定。有时更方便的办法是，通过实验确定各个振型阻尼比。这样，在列写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方程式中引入阻尼比，直接写出有阻尼存在时的正则坐标表示的运动微分方程式。实践证明，这一方法具有很大的实用价值。它一般试用于小阻尼系统，即 的情形27 返回首页Theory of Vibration with Applications当振动系统的计算模型已经确定，可根据计算模型写出阻尼矩阵C，然后经过正则坐标变换，即求出3.
12、忽略矩阵CP中的全部非对角元素若CN不是对角阵，则可这样处理，即考虑到工程上大多数振动系统中的阻尼都比较小，可将CN中的非对角元素改为零，只保留对角元素进行分析计算。这样做的结果往往也能得到较好的近似解。28 返回首页Theory of Vibration with Applications当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，利用正则坐标变换解偶。即 稳态响应为由正则坐标变换关系式得到系统的稳态响应这种方法称有阻尼系统的响应的振型叠加法29其中 ,各阶振型阻尼比为 ,试求系统的响应。 返回首页Theory of Vibration with Applications例12 图所示有阻尼
13、的弹簧质量振动系统，如k1= k2= k3= k ; m1= m2= m3= m，各质量上作用有激振力解：1 由简化模型列写无阻尼受迫振动方程30 返回首页Theory of Vibration with Applications解：1、2 求固有频率和正则振型由频率方程由特征矩阵的伴随矩阵的第一列31 返回首页Theory of Vibration with Applications求出主振型和正振型矩阵3 进行坐标变换32 返回首页Theory of Vibration with Applications4 引入振型阻尼比33 返回首页Theory of Vibration with Applications5 关于对正则坐标的响应34 返回首页Theory of Vibration with Applications6 求出系统的响应35 返回首页Theory of Vibration with Applications36
