自相似性的一点注记自相似性的一点注记 部分与整体具有严格的自相似的分形又称部分与整体具有严格的自相似的分形又称作有规分形作有规分形如如KochKoch曲线曲线, ,它是按一定的数学它是按一定的数学法则法则( (迭代迭代) )生成的，因此它的任一片段与整体生成的，因此它的任一片段与整体严格自相似严格自相似 但自然界的分形，其自相似性并不是严格但自然界的分形，其自相似性并不是严格的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是一种统计意义下的自相似对于一种统计意义下的自相似对于Koch曲线也可曲线也可以以“随机生成随机生成”－可用掷硬币的方式来决定新－可用掷硬币的方式来决定新的部分位于被去掉部分的哪一侧的部分位于被去掉部分的哪一侧这类分形又这类分形又称作无规分形称作无规分形 分形相似维数分形相似维数(Similar Dimension) 计计 算算 分形几何学起初确实没有太多公式，但分形几何学起初确实没有太多公式，但它揭示了众多现象的自相似性，它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot紧紧抓住了双对数关系紧紧抓住了双对数关系(幂律关系幂律关系)，在非线性，在非线性中找到了一个重要不变量中找到了一个重要不变量——分数维数。
分数维数有有了这些，对于一门学科的初创者来说，也就了这些，对于一门学科的初创者来说，也就足够了 康托尔尘埃康托尔尘埃(Cantor dust)生成方法生成方法：：初始元为正初始元为正方形，将初始元分成方形，将初始元分成1616个小正方形个小正方形( (如右如右图图) )，保留，保留4 4个小正方个小正方形，形成生成元，无形，形成生成元，无穷次操作形成一点集穷次操作形成一点集, ,显然它是一个严格的显然它是一个严格的自相似形自相似形分形维数分形维数 : :生成元由生成元由4 4个个与初始元相似比为与初始元相似比为4 4的的部分组部分组 Ds=ln4/ln4=1 谢尔宾斯基海绵谢尔宾斯基海绵(sierpinski’s sponge)1.1.如图所示，取一立方体如图所示，取一立方体, ,第一步将立方体等分第一步将立方体等分成成2727个小立方体，舍去体心的一个小立方体个小立方体，舍去体心的一个小立方体和六个面上面心的小立方体和六个面上面心的小立方体, , 即舍去即舍去7 7个小立个小立方体，保留方体，保留2727－－7 7＝＝2020个小立方体个小立方体. . (2)2.2.第二步再对每个小立第二步再对每个小立方体进行同样的操作：方体进行同样的操作：此时保留下来的小立方此时保留下来的小立方体数目为体数目为20×2020×20＝＝400400个；个；3.3.如此反复操作直至无如此反复操作直至无穷，穷，极限情况下，小立极限情况下，小立方体的体积为零，而其方体的体积为零，而其表面面积之和趋于无穷表面面积之和趋于无穷大。
大所以实际得一个面所以实际得一个面集，是一个具有自相似集，是一个具有自相似性结构的规则分形系统性结构的规则分形系统. . 维数计算维数计算 从一个小立方体出发，将小立方体的每边从一个小立方体出发，将小立方体的每边放大放大3 3倍，则此时体积放大倍，则此时体积放大2727倍，共舍去体心倍，共舍去体心和六个面面心上的和六个面面心上的7 7个小立方体，实际得的是个小立方体，实际得的是N=20 个小立方体；个小立方体； 边长放大倍数为边长放大倍数为k＝＝3. 几种严格自相似分形的生成格几种严格自相似分形的生成格式式(1)Koch(1)Koch曲线曲线基线为单位长度线段；基线为单位长度线段；主型中折线段数为主型中折线段数为4，即，即 N=4 ；；折线段长度为折线段长度为1/3；； Levy曲线分形曲线分形Levy曲线主型：曲线主型： 皇冠分形曲线皇冠分形曲线 桧树分形小枝：桧树分形小枝：桧桧(gui)树树(刺柏刺柏)分形小枝：分形小枝： 主型由五条折线段组成，主型由五条折线段组成，设其长度为设其长度为r 其它分形图其它分形图花篮族花篮族 羊凿树叶状分形羊凿树叶状分形 分数维分数维(Fractal Dimension)的意的意义义 我们把我们把维数看成是维数看成是““复杂性指标复杂性指标””，看，看作是图形填充空间的程度。
作是图形填充空间的程度则在曲线的构成则在曲线的构成中，以中，以KochKoch曲线为例，当转角由零度到九十曲线为例，当转角由零度到九十度度 从小到大变化时，其分形维数也由从小到大变化时，其分形维数也由1(1(直线直线段维数段维数) )从小到大，甚至接近并达到从小到大，甚至接近并达到2(2(三角形三角形面片面片) ) 练习题练习题1.按照分形的自相似原理，设计一个严格按照分形的自相似原理，设计一个严格自相似分形集，并计算其自相似分维自相似分形集，并计算其自相似分维。