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1、第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、一、 链锁法则链锁法则二、二、 全微分的形式不变性全微分的形式不变性2021/3/251一、链锁法则引入：复合函数怎样求它的偏导数？问：若上面三个函数都是具体函数，那么， 它们的复合函数也是具体函数，当然， 我们会求它的偏导数。但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，那么，它们的复合函数也是抽象函数， 它的偏导数又怎么求？2021/3/252这是一个新问题， 要求出这样一个函数的偏导数，还需要新的公式。 这就是下面要研究的多元函数的求导法则（或链锁法则）。2021/3/253定理1 设函数 及 都在点t可导，函数z=f(u,v)
2、在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 在点t可导 ，且有1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：2021/3/254将上式两边同时除以 ，得证：这时的对应增量为获得增量由第三节定理2 的证明过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，2021/3/255令取极限，得，即即2021/3/256=2021/3/257 如果函数 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w) 具有连续偏导数，则复合函数 在点 t 的导数存在，且有注2021/3/2582、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数 及
3、 在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 在点(x,y)的两个偏导数存在，且有2021/3/259已知对y的偏导数，在点(x,y)具有对x及函数 z=f (u,v) 在对应点 (u , v) 具有连续偏导数，现在，将 y 取定为常数， 则由定理1得+得复合函数对 x 的偏导数存在，且有同理，将 x 取定为常数，则可得（4）式.此即（3）式.2021/3/2510 为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的示意图如下：zuv
4、xy2021/3/2511在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： 设 都在点(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数，则复合函数注2021/3/2512(1)求下列函数的复合函数的导数或偏导数(3)(2)2021/3/2513解 (1)+=+=+2021/3/2514(2)+=+2021/3/2515+=(3)+相同, 但所表示的意思不同! 必须加以区别!对自变量 x的偏导数对中间变量 x的偏导数2021/3/2516为了避免混淆,一般地,将对中间变量的偏导数记为将对自变量的偏导数记为2021/3/2517例如上面的(3)可
5、写为: +=+=+2021/3/2518注意： 这里 与 是不同的， 是把复合函数 中的y看作常数而对x的导数, 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常数而对x的导数. 与 也有类似的区别.2021/3/2519由复合函数求导法则得解：=+=+2021/3/2520例2解：+=+=+=+=2021/3/2521例3解：+=+2021/3/2522解：+=+2021/3/2523解注2021/3/2524例6 设 ，f 具有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数， 下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有2021/3/2525因所给函数由w=f(u,v)及u=x+
6、y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法则，有 =+根据复合函数求导法则，有+=+=+仍是 x, y, z的复合函数，2021/3/2526+=+()+=+2021/3/2527例7 设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中形式.解=由（1）式得这样，可看作由复合而成.得2021/3/2528两式平方后相加，得根据复合函数求导法则，得2021/3/2529=+=2021/3/2530再求二阶偏导数，得=+2021/3/2531=2021/3/2532=+2021/3/2533同理可得两式相加，得2021/3/2534二、全微分形式不变性: 设函数 具有连续偏导数，则有全微分若u、v又是x、y的函数, ，且这两个函数也具有连续偏导数, 则复合函数的全微分为2021/3/2535所谓全微分的形式不变性是指: 无论z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分的形式不变性.=+证=+2021/3/2536例8 用全微分形式不变性解下题:解: 将du、dv代入，得2021/3/2537即2021/3/2538作作 业业P822, 4, 6, 8, 9, 11, 12(1), 13.2021/3/2539Thank you!2021/3/2540
