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1、第十三章第十三章 轴对称轴对称13.4 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题 复习引入线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质： 垂线段最短.AB最短路径问题BAl问题问题1如图，牧马人从如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河地出发，到一条笔直的河边边 l 饮马，然后到饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？饮马，可使所走的路径最短？ 思考：思考：你能把这个问题转化你能把这个问题转化为数学问题吗？为数学问题吗？ABllABCC转化为数学问题转化为数学问题 当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与BC的和最小
2、？的和最小？分析：分析：ABl 如图，点如图，点A、B分别是直线分别是直线l异侧的两个点，异侧的两个点，如何在如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点上找到一个点，使得这个点到点A、点、点B的距离的和最短？的距离的和最短？联想：联想：两点之间，线段最短.lABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：分析：lABClABClABCB 如下左图，作点如下左图，作点B关于直线关于直线 l 的对称点的对称点B .当点当点C在直线在直线 l 的什么位置时，的什么位置时，AC与与C
3、B的和最小？的和最小？如上右图，在连接如上右图，在连接AB两点的线中，线段两点的线中，线段AB最短最短. 因此，线段因此，线段AB与直线与直线 l 的交点的交点C的位置即为所求的位置即为所求.lABCB 在直线在直线 l 上任取另一点上任取另一点C ，连接连接AC 、BC 、B C 直线直线 l 是点是点B、B的对称轴，的对称轴， 点点C、C在对称轴上，在对称轴上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在在ABC中，中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC，即即AC+BC最小最小lABCBC证明：如图证明：如图.问题问题1 归纳归纳“一线两点一线两点”lABClABCBlA
4、BC抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题ABl问题问题2 （造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在同一条两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何桥造在何处可使从处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考：思考：你能把这个问题转化你能把这个问题转化为数学问题吗？为数学问题吗？ 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在在什么情况下最短
5、呢？分析：分析：aBAbMN 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.分析：分析：lABCaBAbMNA 如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：解：另任意造桥MN，连接AM、BN、AN.由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+
6、BNAA+AN+BN.在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，AM +MN +BN AM+MN+BN.证明：证明：aBAbMNANM问题问题2 归纳归纳抽象为数学问题抽象为数学问题用旧知解决新知用旧知解决新知联想旧知联想旧知解决实解决实际问题际问题lABC小结归纳小结归纳lABClABCB轴对称轴对称变换变换平移平移变换变换两点之间，线段最短. 如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.草 地小 河A课堂练习已知：如图，在l1、l2之间有一点A.求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.
7、l1l2AMNl1l2 如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短.MNA1AA2方法归纳：方法归纳：“两线一点两线一点”要作两次轴对称要作两次轴对称课堂小结AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线段性质：垂线段最短.BAl教材复习题13 第15题.课后作业1.必做作业 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P处的球经BC反弹后，会击中Q处的球. 请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）2.选做作业ACDBPQACDBPQPM
