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1、第 三 章 基本形体的投影第一节第一节 平面体的投影平面体的投影第二节第二节 曲面体的投影曲面体的投影第三节第三节 平面与形体表面相交平面与形体表面相交第四节第四节 直线与形体表面相交直线与形体表面相交 第五节第五节 两形体表面相交两形体表面相交 1 空间物体空间物体可以看作是由一些可以看作是由一些简单的几简单的几何体所组成何体所组成。而这些简单的几何体又是由。而这些简单的几何体又是由一些一些表面围成表面围成。几何体可分为几何体可分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两类。两类。 本章主要介绍常见的一些立体的本章主要介绍常见的一些立体的投影投影及它们的及它们的三面投影图画法三面投影图画法，为
2、进一步分析，为进一步分析复杂的物体打下基础。复杂的物体打下基础。概概 述述2 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环3三棱柱的投影三棱柱的投影三棱锥的投影三棱锥的投影三棱柱体表面定点三棱柱体表面定点四棱柱体表面定线四棱柱体表面定线第一节第一节 平面体的投影平面体的投影三棱锥体表面定点三棱锥体表面定点4平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体
3、平面立体：由若干平面所围成的几何体，：由若干平面所围成的几何体， 如棱柱、棱锥等如棱柱、棱锥等。平面立体的投影平面立体的投影5XOHYWVZ 三棱柱的投影三棱柱的投影直观图直观图投影图投影图6 三棱柱体表面定点三棱柱体表面定点a（b ）yybaab解题思路：利用棱柱表面的积聚性7WXHaOacsbYVbacsABCSZ（c ）bsacbsabcsa（c ）bs 三棱锥的投影三棱锥的投影直观图直观图投影图投影图81sbsaacbm（n）sc ay2cb( )y1nnmm2y1y1 三棱锥体表面定点三棱锥体表面定点解题思路：解题思路：辅助直线法定点辅助直线法定点9 四棱柱体表面定线四棱柱体表面定线
4、byybacdac( )dcdab10圆柱体的投影圆柱体的投影圆柱体表面定点圆柱体表面定点圆柱体表面定线圆柱体表面定线圆锥体表面定点圆锥体表面定点球体的投影球体的投影球体表面定点球体表面定点第二节第二节 曲面体的投影曲面体的投影圆锥体的投影圆锥体的投影圆锥体表面定线圆锥体表面定线11常用的回转曲面立体常用的回转曲面立体, ,简称简称回转体回转体. . 直母线生成的回转曲面称为直线回转面如直母线生成的回转曲面称为直线回转面如: :圆柱面、圆锥面等圆柱面、圆锥面等. . 回转曲面回转曲面是由母线是由母线( (直线或曲线直线或曲线) )绕绕定轴线作回转运动生成的定轴线作回转运动生成的. . 曲母线生
5、成的回转曲面称为曲线回转面如曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如: :圆球面、圆环面等圆球面、圆环面等. .曲面体的投影曲面体的投影12 在曲面立体表面上取点的方法在曲面立体表面上取点的方法: 素线法素线法 纬圆法纬圆法ES圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球：由曲面或曲面与平面共同：由曲面或曲面与平面共同 围成的立体。围成的立体。学习要点学习要点曲面立体的投影特性及在形体表面上取点的方法曲面立体的投影特性及在形体表面上取点的方法曲面立体曲面立体13圆柱体的投影圆柱体的投影直观图直观图投影图投影图14ABa a b yAyAyBb byB注注利用积聚投影求点利用积聚投影求点。Ccca圆柱体表面定点圆柱体表
6、面定点15abybcy 圆柱体表面定线圆柱体表面定线1a(c)(1)bac116 圆锥面圆锥面是由直线是由直线SASA绕与它相交的轴线绕与它相交的轴线OOOO1 1旋转形成的。旋转形成的。圆锥体的组成圆锥体的组成:由由圆锥面和底面圆锥面和底面组成。组成。 S S称为称为锥顶锥顶，直线直线SASA称为称为母线母线。圆锥面。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线素线。 圆锥体的投影圆锥体的投影17 圆锥体的投影圆锥体的投影直观图直观图投影图投影图18s s sS E ee 方法之一方法之一 :素线法素线法(e ) 圆锥体表面定点圆锥体表面定点19S e s s s方
7、法之二方法之二 :纬圆法纬圆法Ee(e ) 圆锥体表面定点圆锥体表面定点20【例例】已知圆锥表面的点已知圆锥表面的点A A、C C的的V V面投影及面投影及B B点的点的H H面投影面投影, ,完成其它投影。完成其它投影。a c b a (b )(c )abc21yy 圆锥体表面定线圆锥体表面定线ac1babab1c解题时注意曲线AB的性质( )c( )122 球体的投影球体的投影直观图直观图投影图投影图23M m m 注注纬圆法纬圆法求点求点。m直观图直观图投影图投影图 球体表面定点球体表面定点24M m m 注注纬圆法纬圆法求点求点。m直观图直观图投影图投影图 球体表面定点球体表面定点25
8、ymm (n )m n球体表面球体表面的特殊点的特殊点可利用轮可利用轮廓素线的廓素线的投影直接投影直接求出。求出。(n )y 球体表面定点球体表面定点( (特殊点）特殊点）26第三节第三节 平面与形体表面相交平面与形体表面相交平面与曲面立体表面相交平面与曲面立体表面相交平面与平面立体表面相交平面与平面立体表面相交27 平面与形体表面相交平面与形体表面相交截交线(a)截交线ABSC截平面截交线切割体(b)ABSC截面切割体28 截交线为截交线为封闭的平面折线封闭的平面折线平面多边形。平面多边形。 其各条边其各条边棱面（或底面）与棱面（或底面）与截平面的交线；截平面的交线； 其各顶点其各顶点棱线（
9、或底边）棱线（或底边）与截平面的交点与截平面的交点。 求解方法：求解方法： 交点法：求平面立体的棱线与截平面之交点，交点法：求平面立体的棱线与截平面之交点， 再将同一棱面上的交点两两相连。再将同一棱面上的交点两两相连。 交线法：求平面立体的棱面与截平面的交线。交线法：求平面立体的棱面与截平面的交线。可见性的判别：可见棱面上的截交线可见，否则不可见性的判别：可见棱面上的截交线可见，否则不 可见。可见。 ACB 平面与形体表面相交平面与形体表面相交29VP 正垂面正垂面P P截割三棱柱的截交线截割三棱柱的截交线12331213230【例例】求截平面求截平面P P与四棱柱的截交线。与四棱柱的截交线。
10、ab(d)m(n)abdmnd b a n m 31PVss abcacb【例例】求截平面求截平面P P与三棱锥的截交线。与三棱锥的截交线。12312332PHsabcabcs注意：同一棱面上的两点才能连接。注意：同一棱面上的两点才能连接。【例例】求截平面求截平面P P与三棱锥的截交线。与三棱锥的截交线。2341234133 四棱锥切割体的投影四棱锥切割体的投影1y2y1y2y12(3 )4(5 )664531213254634【例例】已知切割体的已知切割体的V面投影，完成其面投影，完成其H、W面投影。面投影。注意：同一棱面上注意：同一棱面上 的两点相连接的两点相连接1abcssabc253(
11、4 )61 2 3 5 6 (4 )b a (c )s 123456351234567865【例例】已知棱柱切割体的两投影，求已知棱柱切割体的两投影，求H面投影。面投影。步骤：步骤：1、根据、根据“三等关系三等关系”作出原形体的投影。作出原形体的投影。2、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。3、修正棱线的投影。、修正棱线的投影。1234877865431236截交线为封闭的平面曲线截交线为封闭的平面曲线(含直素线含直素线)，或平面曲线与直线组成。，或平面曲线与直线组成。 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交求解的方法：素线法，纬圆法求解的方
12、法：素线法，纬圆法P特殊点特殊点P P特殊点：轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等特殊点：轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等掌握体的截交线的特性及投影的求法、可见性判别掌握体的截交线的特性及投影的求法、可见性判别学习要点学习要点37圆柱的截交线圆柱的截交线38 截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为 ，其交线的，其交线的H H投投影影为为椭圆椭圆，且椭圆的，且椭圆的长、短轴长、短轴随随的变化而变化的变化而变化 截平面与圆柱轴线成截平面与圆柱轴线成4545时时, ,投影为投影为圆圆圆柱的截交线圆柱的截交线39yyyyPV 正垂面正垂面P P截割圆柱的截交线截割圆柱的截交线5(6 )3(4
13、 )(8 )7231451656148723( )7( )2( )840yyyy 圆柱切割体的投影圆柱切割体的投影123( )4 5( )( )67751463579( )89( )98268( )143241【例例】已知圆柱切割体的正面投影，求其它两投影。已知圆柱切割体的正面投影，求其它两投影。步骤步骤：1、求截交线的投影。、求截交线的投影。2、求相邻截平面之交线。、求相邻截平面之交线。3、判别可见性。、判别可见性。213542(3)4(5)16615324642平面与圆锥相交平面与圆锥相交 根据截平面的不同位置有五种情况：根据截平面的不同位置有五种情况：圆锥的截交线圆锥的截交线P圆圆P椭圆
14、椭圆P两条素线两条素线PP平行于圆锥上一平行于圆锥上一条素线条素线抛物线抛物线PP平行于圆锥上两条平行于圆锥上两条素线素线双曲线双曲线43平面与圆锥体表面相交，可以得到平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线五种截交线 44VP 正垂面正垂面P P截割圆锥的截交线截割圆锥的截交线1(8 )75(6 )(4 )32468135718642357( )245【例例】求侧平面求侧平面P与圆锥的截交线。与圆锥的截交线。分析分析： 圆锥的表面没圆锥的表面没有积聚性，必须通有积聚性，必须通过素线法或纬圆法过素线法或纬圆法求解截交线上的特求解截交线上的特殊点及一般位置点。殊点及一般位置点。cbaab(d)c
15、baPVc(e)dedePH46wPHP 正平面正平面P P截割圆锥的截交线截割圆锥的截交线314523( )54( )211435247 圆锥切割体的投影圆锥切割体的投影12(3 )4 (5 )(7 )6(9)81024681097315135 7986421048平面与球相交平面与球相交 截交线为圆，但其投影可能是圆、椭圆或直线（积聚）。截交线为圆，但其投影可能是圆、椭圆或直线（积聚）。 球的截交线球的截交线PVRRRHRW49 正垂面正垂面P P截割球的截交线截割球的截交线PV1（6 ）53（4 ）7 （8 ）26(4)(8)(7)(3)51(5) (3) 7(6)(4)82(1)( )
16、250 球切割体的投影球切割体的投影1( )2376( )875154( )386421783562451不完整圆球面视图及其表面的曲线不完整圆球面视图及其表面的曲线52第四节第四节 直线与形体表面相交直线与形体表面相交 直线与形体表面相交直线与形体表面相交 直线直线ABAB与三棱柱的贯穿点与三棱柱的贯穿点 直线直线KLKL与三棱锥的贯穿点与三棱锥的贯穿点 直线直线ABAB与圆柱的贯穿点与圆柱的贯穿点 水平线水平线ABAB与圆锥的贯穿点与圆锥的贯穿点 正垂线正垂线ABAB与球的贯穿点与球的贯穿点 53直线与立体表面相交所得的交点称为直线与立体表面相交所得的交点称为贯穿点贯穿点(两个两个)。贯穿
17、点的求解方法：辅助平面法贯穿点的求解方法：辅助平面法1. 经过已知直线作一个辅助截平面；经过已知直线作一个辅助截平面；2. 求出此辅助截平面与已知立体的截交线；求出此辅助截平面与已知立体的截交线；3. 确定所求截交线与已知直线的交点。确定所求截交线与已知直线的交点。 辅助截平面：一般选择投影面的垂直面辅助截平面：一般选择投影面的垂直面特殊情况特殊情况(有积聚性有积聚性)可直接求出贯穿点。可直接求出贯穿点。可见性的判别：可见性的判别：直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，其余与直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，其余与 形体重影的线段应判别可见性，不可见的画虚线。形体重影的线段应判别可见性，不
18、可见的画虚线。掌握体的贯穿点的特性及其投影的求法掌握体的贯穿点的特性及其投影的求法可见性的判别可见性的判别学习要点学习要点PLMN 直线与形体表面相交直线与形体表面相交54ababmnm（n ） 直线直线ABAB与三棱柱的贯穿点与三棱柱的贯穿点55 直线直线KLKL与三棱锥的贯穿点与三棱锥的贯穿点akbkabsslcclmnnmVP56aabb 直线直线ABAB与圆柱的贯穿点与圆柱的贯穿点mn33nm57aabbVP 水平线水平线ABAB与圆锥的贯穿点与圆锥的贯穿点m(n )mn58【例例】求直线求直线ABAB与圆锥的贯穿点。与圆锥的贯穿点。ba(b)an)(mmn59ab（b ）a(m n
19、) 正垂线正垂线ABAB与球的贯穿点与球的贯穿点nm60【例例】求直线求直线ABAB与球的贯穿点。与球的贯穿点。aabbnPVmn(m)61两形体表面相交两形体表面相交两个三棱柱的相贯线两个三棱柱的相贯线 三棱锥与四棱柱的相贯线三棱锥与四棱柱的相贯线 三棱柱与圆锥的相贯线三棱柱与圆锥的相贯线 四棱锥与圆柱的相贯线四棱锥与圆柱的相贯线 圆柱与圆柱的相贯线圆柱与圆柱的相贯线 第五节第五节 两形体表面相交两形体表面相交 圆柱与圆锥的相贯线圆柱与圆锥的相贯线62相贯线的特性：相贯线的特性： 1. 共有性：相贯线是两立体表面的交线也是其表面的分界线。共有性：相贯线是两立体表面的交线也是其表面的分界线。
20、2. 封闭性：相贯线一般为封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下封闭性：相贯线一般为封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下 相贯线为平面图形。相贯线为平面图形。 335 5 两立体相贯两立体相贯利用辅助平面法求作相贯线并准确作出相贯线上利用辅助平面法求作相贯线并准确作出相贯线上的特殊点并掌握可见性的判别。的特殊点并掌握可见性的判别。学习要点学习要点两立体相交，称为相贯，其表面交线称为相贯线。两立体相交，称为相贯，其表面交线称为相贯线。相贯的分类：相贯的分类：互贯互贯全贯全贯63335 5 两立体相贯两立体相贯一、两平面立体相贯一、两平面立体相贯相贯线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。相贯
21、线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。求解方法：求解方法： 交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立体棱面的贯穿交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立体棱面的贯穿 点。可归结为求解直线与平面的交点。点。可归结为求解直线与平面的交点。 交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。连点的原则：连点的原则： 连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能 相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。判别相贯线的可见性：判别相贯线的可见性： 由相贯
22、线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相由相贯线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相 贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。64【例例1 1】求两个三棱柱的相贯线。求两个三棱柱的相贯线。113242345656 E、 F、 GA、C 、BXXX（1）互贯，一组相贯线。）互贯，一组相贯线。（2）求）求A、B、F三条棱线三条棱线 的六个贯穿点。的六个贯穿点。（3）连点并判别可见性。）连点并判别可见性。（4）补全投影轮廓线。）补全投影轮廓线。cbacabacbfggeef egf 交点法：交点法：34125665
23、【例例1 1】求两个三棱柱的相贯线。求两个三棱柱的相贯线。66ggefscbacbf gdesbaesacf dd【例例2 2】求三棱锥与四棱柱的相贯线。求三棱锥与四棱柱的相贯线。13PVRV123414234全贯，两组相贯线全贯，两组相贯线2674badcadcbggfeef 12356123456【例例3 3】求三棱锥与三棱柱的相贯线。求三棱锥与三棱柱的相贯线。68【例例4 4】求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线。求作垂直于正面的长方体和正三棱锥的相贯线。（1）全贯，两组相贯线。）全贯，两组相贯线。PVQV（2）四棱柱的）四棱柱的V面投影积聚。面投影积聚。（3）求四棱柱的四条棱线及）
24、求四棱柱的四条棱线及 三棱锥的三棱锥的SB棱线的棱线的10个个 贯穿点。贯穿点。（4）连点并判别可见性。）连点并判别可见性。（5）补全投影轮廓线。）补全投影轮廓线。1(7)23(8)4(9)6(10)5sabcsbca12345678910s 7 (8 )1 (3 )2 9 (10 )4 (6 )5 a (c )b 69【例例5 5】求正三棱锥的贯穿孔。求正三棱锥的贯穿孔。PVQVsabcsbcas a (c )b 70二、平面立体和曲面立体相贯二、平面立体和曲面立体相贯平面立体与曲面立体相交，其相贯线由若干平面曲线（或平面立体与曲面立体相交，其相贯线由若干平面曲线（或与直线段）构成的空间曲线
25、组成。与直线段）构成的空间曲线组成。求解相贯线一般是求作：求解相贯线一般是求作： 1. 平面与曲面立体的截交线；平面与曲面立体的截交线； 2. 棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与平面立体棱面的贯穿棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与平面立体棱面的贯穿点。点。特殊情况：特殊情况： 1. 若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。 2. 若立体在一个投影有积聚性时可借助在另一立体的表面上取点、取若立体在一个投影有积聚性时可借助在另一立体的表面上取点、取线的方法求出。线的方法求出。连点原则和相贯线可见性的判别方法同上连点原则和相贯线可见性的判别方法同上
26、335 5 两立体相贯两立体相贯711276【例例1 1】求平面立体与曲面立体的相贯线。求平面立体与曲面立体的相贯线。利用在棱锥表面上利用在棱锥表面上取点的方法求解取点的方法求解135426734572bac（ ）caca（ ）98（ ）67bb（ ）4532（ ） 【例【例2】 三棱柱与圆锥的相贯线三棱柱与圆锥的相贯线67425311089869742351011107374【例例3 3】求棱柱与圆柱的相贯线。求棱柱与圆柱的相贯线。3 (4 )5 (6 )7 11 (2 ) 7 13735 5246246 已知相贯线的已知相贯线的两投影求第三两投影求第三投影投影75【例例4 4】求圆锥与三棱
27、柱的相贯线。求圆锥与三棱柱的相贯线。PVRVQV3 1 2 4 5 3124534“(5)1(2)76两曲面立体的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情两曲面立体的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情况下，是封闭的空间曲线；特殊情况下，是平面曲线。况下，是封闭的空间曲线；特殊情况下，是平面曲线。求解方法为辅助平面法求解方法为辅助平面法第一步，加辅助截平面；第一步，加辅助截平面；第二步，分别求出此辅助截平面与两曲面的截交线；第二步，分别求出此辅助截平面与两曲面的截交线；第三步，确定所求截交线的交点。第三步，确定所求截交线的交点。求出一系列的公共点，用曲线依次光滑地连接起来。求出一系列的公共
28、点，用曲线依次光滑地连接起来。辅助面的选择：辅助面的选择：辅助面应与两曲面都相交成最简单的截交线（直线和圆）；辅助面应与两曲面都相交成最简单的截交线（直线和圆）；辅助面的位置使所求的公共点最好是相贯线上的特殊点（两曲面外辅助面的位置使所求的公共点最好是相贯线上的特殊点（两曲面外形轮廓线上的点，也是相贯线投影的虚实分界点）。形轮廓线上的点，也是相贯线投影的虚实分界点）。335 5 两立体相贯两立体相贯三、两曲面立体相贯三、两曲面立体相贯77【例例】求求直立圆柱与水平半圆柱的相贯线直立圆柱与水平半圆柱的相贯线 1 4 3 2 1(2)4(5)3 5 1234578【例例】求两圆柱面的相贯线求两圆柱
29、面的相贯线PV 1 2 (3 ) 4 (5 )214 1 4 235 3 579【例例】求圆锥与圆柱的相贯线。求圆锥与圆柱的相贯线。243PVRVSV1654315781079810692 1 2 3(4) 5(6) 7(8) 9(10)80RVRW【例例】求圆锥与圆柱的相贯线。求圆锥与圆柱的相贯线。yyyyQVQWPWPV43 54 3 12 1 2 1 25 53481【例例】求作圆柱与半球的相贯线。求作圆柱与半球的相贯线。（1）全贯，未惯出，一组相贯线。）全贯，未惯出，一组相贯线。 （2）直立圆柱的）直立圆柱的H面投影积聚，面投影积聚， 相贯线的相贯线的H面投影已知。只面投影已知。只 需
30、求相贯线的需求相贯线的V面投影。面投影。（3）求一系列特殊点及一般点。）求一系列特殊点及一般点。（4）连点并判别可见性。）连点并判别可见性。82【例例】求圆锥与圆柱的相贯线。求圆锥与圆柱的相贯线。 1 1 5 3 6 4 2 3 4 5 6 543216PV 283外切于同一球面的圆柱相交时，其相贯线为两条平面外切于同一球面的圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线曲线椭圆椭圆 两曲面立体相贯的特殊情况两曲面立体相贯的特殊情况334 4 两立体相贯两立体相贯84两曲面立体相贯的特殊情况两曲面立体相贯的特殊情况334 4 两立体相贯两立体相贯 外切于同一外切于同一球面的圆锥相交球面的圆锥相交时，其相贯线为时，其相贯线为两条平面曲线两条平面曲线椭圆。椭圆。85本章结束本章结束86
