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1、 二、函数的间断点二、函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第三节 函数的连续性 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质1:增量增量:自变量的增量自变量的增量 函数的增量函数的增量2:一点连续的定义一点连续的定义:一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义若若在在则称函数在该点连续。则称函数在该点连续。的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，设设注注 1、函数、函数在点在点 (1) 在点在点即即(2) 极限极限(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: :存在存在 ;有定义有定义 , ,存在存在 ; ; 2、由函数
2、在一点有极限的充要条件有、由函数在一点有极限的充要条件有: 一点连续的充要条件一点连续的充要条件:在在在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数(2) 函数函数不不存在存在;(3) 函数函数存在存在 , 但但 不连续不连续 :设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则下列情形则下列情形这样的点这样的点之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:及及 均存在均存在 ,若若 若若第二类间断点第二类间断点: 及及 中至少一个不存
3、在中至少一个不存在 ,称称若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡 ,称称若若其中有一个为其中有一个为则则 为可去间断点为可去间断点 .则则 为跳跃间断点为跳跃间断点 .为无穷间断点为无穷间断点 . .为振荡间断点为振荡间断点 .为其为其无穷间断点无穷间断点 . .为其为其振荡间断点振荡间断点 .为为可去间断点可去间断点 .例如例如: :显然显然为其为其可去间断点可去间断点 .(4)(5) 为为其跳跃间断点其跳跃间断点 .、连续函数的运算法则、连续函数的运算法则 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性、初等函数的连续性、初等函数的连续性 定理定理3： 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的
4、反函数、连续函数的运算法则、连续函数的运算法则定理定理2：在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 差差 、积、积 、商商(分母不为分母不为 0) 运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .(递减递减).).递增递增(递减递减)也也连续单调连续单调定理定理4： 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.定理定理1：基本初等函数在其定义区间上连续。基本初等函数在其定义区间上连续。例例1. 求求解解: 原式原式例例2. 求求解解: 令令则则原式原式说明说明: 当当时时, 有有、初等函数的连续性、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间
5、内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续一切初等函数在定义区间内连续四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质1、最值定理最值定理 2、零点定理（根的存在定理）零点定理（根的存在定理） 推论推论:2、零点定理、零点定理定理定理2( 零点定理零点定理 )至少有一点至少有一点且且使使在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 1、最值定理、最值定理定理定理1:在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大值和最小
6、值值和最小值.例例1. 证明方程证明方程一个根一个根 . .证证: 显然显然又故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间内至少有内至少有内容小结内容小结左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反
7、函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定初等函数在定义区间内连续义区间内连续 说明说明: : 分段函数在界点处是否连续需讨论分段函数在界点处是否连续需讨论 其左、右连续性其左、右连续性. .、初等函数的连续性、初等函数的连续性思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设时时为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证证：3、证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理 ,原命题得证原命题得证 .内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然正根正根 .
