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1、第四、五章第四、五章 第七讲第七讲数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识群范仑蚜天果薄究有邪脐庙廷迸镀遍氰静悲惺搞杰疚鸿革估档燥夏氖铺犊数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识复习复习n自然数的基数理论如何定义自然数自然数的基数理论如何定义自然数及其运算？序数理论呢？及其运算？序数理论呢？n算术系统：定义了加法和乘法的自算术系统：定义了加法和乘法的自然数系统，它是数学中最基础的一然数系统，它是数学中最基础的一个公理系统。但已证明个公理系统。但已证明“算术系统算术系统的相容性不可能用自身的公理加以的相容性不可能用自身的公理加以证明证明”。翁净什诲四逐琉路魏独躲膳乙肋赡渔泞音袋搐乓砷害盔院嘶伙鼎妖拉宪尘
2、数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识证明与自然数有关的命题证明与自然数有关的命题上节课用序数理论上节课用序数理论数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识设使设使成立的所有成立的所有a a组组成的集合为成的集合为M M，为证，为证MN，证（，证（1）1 M M；（；（2 2）假定假定aMaM，要证，要证a+M a+M 归纳公理可证第一数学归纳法数学归纳法的其他数学归纳法的其他6 6种形式种形式玫忌自措冬宪柴奠堤文速菱秧杯讫忽晾护旺掷掉床庇坐亿捉逾弱污潜琵贡数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识定理：第一数学归纳法定理：第一数学归纳法n 设设P(n)是关于自然数是关于自然数n的命题，若的命题，若 （1）
3、(奠基奠基) P(n)在在n1时成立；时成立； （2）（归纳）（归纳) 在在P(k)(k是任意自然数是任意自然数)成立的假定下可以推出成立的假定下可以推出P(k+1)成立，成立，则则P(n)对一切自然数对一切自然数n都成立都成立 n 移动起点的第一数学归纳法移动起点的第一数学归纳法 n=n0 殷峰签膊娜鬼鹿山笑基柞辩棠含娟邪戍及竞胯旗刑蚂姥只咎嘶扶咽俺养绣数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识n逻辑推理方法分演绎和归纳逻辑推理方法分演绎和归纳n数学归纳法是完全归纳法吗？数学归纳法是完全归纳法吗？n数学归纳法是一种演绎方法数学归纳法是一种演绎方法n数学归纳法是一
4、种递推法数学归纳法是一种递推法n n前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判前面有限个我们可以逐个去验证，但是为了使判定的工作可以一个接一个地自动进行，需要设计定的工作可以一个接一个地自动进行，需要设计定的工作可以一个接一个地自动进行，需要设计定的工作可以一个接一个地自动进行，需要设计一种方案：假定当自然数一种方案：假定当自然数一种方案：假定当自然数一种方案：假定当自然数n n取某一个值取某一个值取某一个值取某一个值k k时，命题时，命题时，命题时，命题已被判为真，那么若能证明当已被判为真，那么若能证明当已被
5、判为真，那么若能证明当已被判为真，那么若能证明当n nk k1 1时，命题也时，命题也时，命题也时，命题也是真的，就做好了自动传递推证的准备工作。是真的，就做好了自动传递推证的准备工作。是真的，就做好了自动传递推证的准备工作。是真的，就做好了自动传递推证的准备工作。n n两步：奠基，启动递推装置；递推两步：奠基，启动递推装置；递推两步：奠基，启动递推装置；递推两步：奠基，启动递推装置；递推 两步缺一不可两步缺一不可两步缺一不可两步缺一不可颧兑瘴钟恃坎抵击昼定览履吻槛撼哲拽雅甚俏巾斜印魏定龚捂蓟汝我钉惶数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识防止貌合神离防止貌合神离n用数学归纳法证明用数学归纳法证明
6、 n3+5n能被能被6整除整除错证：（错证：（1）当）当n=1时，时，13+51=6，命题成，命题成立；立；（2）假设当）假设当n=k时，时，k3+5k能被能被6整除，当整除，当n=k+1时，时，(k+1)3+5(k+1)=(k+1)(k+1)2+5=k(k+1)(k+2)+6(k+1)因为三个连续自然数的因为三个连续自然数的积能被积能被6整除，第整除，第2项也能被项也能被6整除，所以整除，所以n=k+1时命题也成立。时命题也成立。由（由（1）、（）、（2），原命题成立。），原命题成立。5=-1+6未用数学归纳法晴抚王户哆钨呕描嗓尾烛曳沃向郸技爬券镶鸥斜元走涂饥迎憨匿狱及辞宅数学归纳法的再认识
7、数学归纳法的再认识数学归纳法的几种其他形式数学归纳法的几种其他形式n第二数学归纳法（串值归纳法）第二数学归纳法（串值归纳法）设设P(n)是关于自然数是关于自然数n的命题，若的命题，若1. 1.P(n)P(n)在在在在n=1n=1时成立时成立时成立时成立2. 2.假设假设假设假设P(m)P(m)对于所有适合对于所有适合对于所有适合对于所有适合mkmn时，时，f(m)f(n)求证求证f(x)=x在在N上恒成立上恒成立n n例：设例：设n5, 证明每一个正方形可以分为证明每一个正方形可以分为n个正个正方形。方形。反向归纳法反向归纳法串值归纳法串值归纳法跳跃式归纳法跳跃式归纳法登狙掏爸惟贷嘶纫筏厢授邮
8、竟屠澄鸵痈喧划禽嫁狭付唤件锑芹囱碰短瓦录数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识用反向归纳法证明用反向归纳法证明n易证有无限多个自然数易证有无限多个自然数2n,使命题使命题成立成立n若若f(x)=x,(x1),可证可证f(x-1)f(x-2),f(x-1)f(x-2)+1f(x-3)+2 f(1)+x-2=x-1咀呈罗工廉尽延宫秩蔼桅展到滥篆赞肺踪叼堰梧故邯恕摔每拭慕深集桂步数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识用串值归纳法证明用串值归纳法证明由串值归纳法由串值归纳法广辛瀑汁橇僵行驻惹铁勺绊轴捉裴流萨吩涣哩猜徒鄙铆押蓬氮蔬獭框绒囚数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识用跳跃式归纳法证明用跳跃式归纳法证
9、明n先证可以分成先证可以分成6、7、8个正方形个正方形n再假设命题对于再假设命题对于n（n8)成立，先将其分成成立，先将其分成n个正方形，再将其中一个正方形分为个正方形，再将其中一个正方形分为4个相个相等的正方形，原来的正方形就被分为等的正方形，原来的正方形就被分为n+3个个匀卖妓魏舟蛹砚弦蛤煤蒂窝灰押肿们务口肿心墓乙该癣葛舒毒涂竖汝任寂数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识n n例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以例：已知大小可能不一的几个正方形，证明可以把它们剪拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。把它们
10、剪拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。把它们剪拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。把它们剪拼成有限块，再重新拼成一个大正方形。n n勾股定理的割补证明勾股定理的割补证明勾股定理的割补证明勾股定理的割补证明赵爽对勾股定理的证明赵爽对勾股定理的证明 ab滴狞急欺勃误透荐祟搏枣顾处郑证危治垮疡衰护甩岂瞧赦酬脸虑龚夜赣盛数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识刘徽对勾股定理的证明刘徽对勾股定理的证明 芥崭易诧怠恤脖痈抡亢正氰包妈兹戌窟皖樟纽晒噬咀鲸汾线杜擦蛋辊淳厌数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识观察、归纳与证明观察、归纳与证明n观察异同观察异同n归纳猜想归纳猜想n不完全归纳不完全归纳n完全归纳（由每一
11、对象都具有某种性完全归纳（由每一对象都具有某种性质得到的）质得到的）n证明或推翻猜想证明或推翻猜想阀呐哩棘笨舌桨渴绕悄莎渠桥碎篡挚聋菇雏色秽娠推包坞汇退保滦夕吭捌数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识探索探索n一个整数是一个整数是3、9、11的倍数的特征各是什的倍数的特征各是什么？么？n n一个整数是一个整数是3的倍数，则各位上数字的和是的倍数，则各位上数字的和是3的倍数的倍数n n一个整数是一个整数是9的倍数，则各位上数字的和是的倍数，则各位上数字的和是9的倍数的倍数n n一个整数是一个整数是11的倍数，则其奇数位上数字的的倍数，则其奇数位上数字的和减去偶数位上数字的和是和减去偶数位上数字的和
12、是11的倍数的倍数揪姑冤巨瓮滁蔫钩库准椒屈缘阎蹲嚏史律弟册淋崭咖你贺殊沏箔突裸宏貌数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识观察猜想要小心观察猜想要小心n数列：数列：1，2，4，8，16，？，？n32 熟悉这个模式熟悉这个模式n31 1 1，2 2，4 4，8 8，1616，3131， An An 1 1，2 2，4 4，8 8，1515， Bn Bn 1 1，2 2，4 4，7 7， Cn Cn 1 1，2 2，3 3， Dn Dn4112657慰蓟柬辩山毅涣丘态甲浴根房舔妨赁佃氓味朗砒卜蚜涯速赚脉昏的滁幢萍数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识1 1，2 2，4 4，8 8，1616，3131，？
13、，？nDn: 1，2，3，4， nCn: 1，2，4，7，11， Cn+1Cn = Dn = n CnCn-1= n-1 C2C1=1 所以所以Cn+1 =1+(1+n) Cn =1+(1+n-1) =n同理求出同理求出Bn、 An拥朴以澄舔饼蛀达每纷窘贩缅阅等矫捐聚霞沫男蕾壹习汗秒坐兆笨箔蠕窘数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识连接圆上所有点连接圆上所有点圆上的点数圆被分割成的区域数11223448516631757胚瘸俏背膝柴又静砧打赵灸嘘翘蛊年东泊速脐富佐渊颂煮夫认峻环宽载制数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识平面上凸平面上凸平面上凸平面上凸n n边形内部最边形内部最边形内部最边形内部最
14、多被分为多被分为多被分为多被分为mm块，块，块，块，m+nm+n即即即即为所求为所求为所求为所求圆上每圆上每4 4个点，连线后多个点，连线后多1 1个点个点, ,于是一共增加于是一共增加C(n,4)C(n,4)个点，将这些点个点，将这些点“拉出拉出”圆平面，构成圆平面，构成一个凸多面体，根据一个凸多面体，根据 V+F-E=2V+F-E=2V=n+C(n,4) V=n+C(n,4) （下上）（下上）2E=(n-1)n+4C(n,4) 2E=(n-1)n+4C(n,4) 可求出可求出F F，m=F-1m=F-1，m+n m+n 即得即得呕剃陌睦房蛇粕骆倡拿忿愤唯允歌盂钾累况蛛掘思砚硫屋剃迟阁搐鄙骇瓷数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识作业作业1. 用数学归纳法证明用数学归纳法证明:若若且且 求证：求证：粒禁梆境朵袄罪笑嗓酥勃配恳睦佑沤透翌就仰谎擅求远耕系吭纠蜜俏舰价数学归纳法的再认识数学归纳法的再认识
