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1、大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 5.4 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 力的时间累积效应力的时间累积效应冲量、动量、动量定理。冲量、动量、动量定理。 冲量矩、动量矩、动量矩定理。冲量矩、动量矩、动量矩定理。1动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩动量矩的引入：动量矩的引入：但是但是 在质点的匀速圆周运动中在质点的匀速圆周运动中, ,动量动量 不守恒。不守恒。2动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修
2、订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例子例子: 开普勒行星运动定律的面积定律开普勒行星运动定律的面积定律: 实例都说明实例都说明 是一个独立的物理量。是一个独立的物理量。 再考虑到行星的质量再考虑到行星的质量m为恒量，为恒量，行星在相等的时间内扫过相等的面积。行星在相等的时间内扫过相等的面积。 3动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩开普勒第二定律开普勒第二定律(面积定律面积定律):行星在相等的时间内扫过相等的面积。行星在相等的时间内扫过相等的面积。 4动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物
3、理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 在描述行星的轨道运动在描述行星的轨道运动, 自转自转运动运动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。都具有独特作用。 因此因此, 必须引入一个新必须引入一个新的物理量的物理量 动量矩动量矩 L, 来描述这一现象。来描述这一现象。 卫星卫星地球地球+5动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩一、动量矩一、动量矩1. 质点的动量矩质点的动量矩( 对对O点点 ) 质量为质量为 的质点以的质点以速度速度 在空
4、间运动在空间运动, 某时某时刻相对原点刻相对原点O的位矢为的位矢为 , 质点相对于原点的动量矩质点相对于原点的动量矩大小：大小： 方向方向: 符合右手螺旋法则。符合右手螺旋法则。6动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩讨论讨论 (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢质点的动量矩与质点的动量及位矢有关有关 (取决于固定点的选择取决于固定点的选择) 。(2) 在直角坐标系中的分量式在直角坐标系中的分量式 7动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 (
5、3) 当质点作圆周运当质点作圆周运动时：动时： 质点以角速度质点以角速度 作半径为作半径为r 的圆运动，相的圆运动，相对圆心的动量矩的大小对圆心的动量矩的大小kgm2/s (5) 单位单位: (4) 动量矩的定义并没有限定质点只能作曲动量矩的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。线运动而不能作直线运动。8动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2. 刚体绕定轴转动的动量矩刚体绕定轴转动的动量矩 O质点对质点对 z 轴的动量矩轴的动量矩 刚体上任一质量元对刚体上任一质量元对 z 轴轴的动量矩为的动量矩为 Oz9
6、动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 刚体上任一质量元对刚体上任一质量元对 z 轴的轴的动量矩具有相同的方向。动量矩具有相同的方向。(所有质元对所有质元对 z 轴的角动量之和轴的角动量之和) O Oz说明说明 动量矩与质点动量动量矩与质点动量 对比对比: Jz m， v 。10动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二、二、 质点的质点的动量矩动量矩定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律已知已知 1.质点的动量矩定理质点的动量矩定理11动量矩
7、和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 质点动量矩定理的微分形式。质点动量矩定理的微分形式。作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。质点动量矩定理的积分形式。质点动量矩定理的积分形式。积分，得积分，得 冲量矩冲量矩12动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩质点所受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的角动等于质点的角动量的增量。
8、量的增量。 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果。累结果。说明说明 (1) 冲量矩是力矩的时间积累冲量矩是力矩的时间积累,是质点动是质点动量矩变化的原因。量矩变化的原因。13动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2. 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩定理质点动量矩定理 质点动量矩守恒定律。质点动量矩守恒定律。则则 14动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(3) 自然界普遍适用的一条基本规
9、律。自然界普遍适用的一条基本规律。(2) 向心力的角动量守恒。向心力的角动量守恒。 (4) 质点对轴的动量矩守恒定律质点对轴的动量矩守恒定律: 若若 Mz=0, 则则Lz =常数。即若力矩在某轴上的分常数。即若力矩在某轴上的分量为零量为零(或力对某轴的力矩为零或力对某轴的力矩为零)，则质点对，则质点对该轴的动量矩守恒。该轴的动量矩守恒。(1) 守恒条件守恒条件讨论讨论15动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩三、三、 刚体绕定轴转动下的刚体绕定轴转动下的动量矩动量矩定理和定理和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律质点的动量矩
10、定理质点的动量矩定理刚体内任一质量元所受力矩刚体内任一质量元所受力矩刚体内所有质量元所受力矩刚体内所有质量元所受力矩1. 动量矩定理动量矩定理16动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体, Jz 为常量为常量, 刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。 而而 或或 17动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩刚体定轴转动中刚体定轴转动中, 动量矩定理与转动定律的关系动量矩定理与转动定律的关
11、系 刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。18动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量。动量矩的增量。刚体定轴转动刚体定轴转动动量矩定理积分形式动量矩定理积分形式: J 不变时不变时J 改变时改变时讨论讨论 19动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2.
12、刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体若若 动量矩动量矩L不变的含义不变的含义:刚体刚体: J 不变不变 , 则则 不变。不变。非刚体非刚体:因因 J 可变可变,则则 J 乘积不变。乘积不变。变形体绕某轴转动时变形体绕某轴转动时, 若若mk则变形体对该轴的动量矩则变形体对该轴的动量矩20动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩动量矩守恒举例动量矩守恒举例花样滑冰、花样滑冰、跳水跳水、芭蕾舞等、芭蕾舞等.21动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第
13、第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩求求: 此时质点对三个参考点的动量矩的大小。此时质点对三个参考点的动量矩的大小。 md1d2 d3ABC解解:例例1一质点一质点m,速度为速度为 ,如图所示如图所示,A、B、C 分别为三个参考点分别为三个参考点,此时此时m 相对三个点的距相对三个点的距离分别为离分别为d1 、d2 、 d3 。22动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例2半径为半径为R 的光滑圆环上的光滑圆环上A点有一质量为点有一质量为m 的的小球小球, 从静止开始下滑从静止开始下滑, 若不计摩擦力。若
14、不计摩擦力。解解: 小球受重力矩作用小球受重力矩作用, 由动量矩定理：由动量矩定理：求求: 小球到达小球到达B点时对点时对O的动量矩和角速度。的动量矩和角速度。 ABRO23动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩即即积分积分ABRO24动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 求求: 发射角发射角及着陆滑行时的速度及着陆滑行时的速度v 多大？多大？例例3 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M , 半径为半径为R的行星。当
15、飞船静止于空间距行星中的行星。当飞船静止于空间距行星中心心 4 R 时时, 以速度以速度 v0发射一质量为发射一质量为 m 的仪器。的仪器。 要使该仪器恰好掠过行星表面。要使该仪器恰好掠过行星表面。25动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解: 引力场（有心力）引力场（有心力）质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒26动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例4 设人造地球卫星引力作用下沿着平面椭圆轨设人造地球卫星引
16、力作用下沿着平面椭圆轨道运动，地球中心可以看着固定点，且为椭圆轨道运动，地球中心可以看着固定点，且为椭圆轨道的焦点道的焦点,如图所示。卫星的近地点如图所示。卫星的近地点A离地面的距离地面的距离为离为439km, 远地点远地点B离地面的距离为离地面的距离为2384km。已知卫星在近地点的速度为已知卫星在近地点的速度为vA=8.12kms-1, 求卫星求卫星在远地点在远地点B的速度大小。设地球的平均半径为的速度大小。设地球的平均半径为R=6370km。解解 以卫星为研究对象，根据以卫星为研究对象，根据质点动量矩守恒定律，有质点动量矩守恒定律，有B27动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修
17、订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩因为因为固有固有28动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例5 如图，质量为如图，质量为m的小球系在绳子的一端，的小球系在绳子的一端，绳穿过一绳穿过一 铅直套管，使小球以速度铅直套管，使小球以速度v0绕管心绕管心作半径为作半径为r0的四周运动的四周运动, 然后向下拉绳然后向下拉绳, 使小使小球运动的轨迹最后成为半径为球运动的轨迹最后成为半径为r1的圆。的圆。 求求（1）小球距管心为）小球距管心为r1时速度时速度v的大小；的大小； （2）由）由r0缩短到
18、缩短到r1过程中，力过程中，力F 所做的功。所做的功。解解 小球受到的是有心力，根据小球受到的是有心力，根据质点的动量矩守恒，故有质点的动量矩守恒，故有29动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩所以所以根据动能定理，力根据动能定理，力 F 做的功为做的功为30动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例6 一均质棒一均质棒,长度为长度为 L,质量为质量为M,现有一子弹现有一子弹在距轴为在距轴为 y 处水平射入细棒处水平射入细棒,子弹的质量为子弹的
19、质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求: 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解:其中其中m子弹、细棒系统的动量矩守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒 31动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例7 如图所示如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端射入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速穿出后速度损失度损失3/4, 已知棒长为已知棒长为 l, 质量为质量为M 。mM解解: 选取子弹和棒为系统选取子弹和棒为系统, 其动量矩守恒其动量矩守恒因为因为求求: 子弹穿出后棒
20、的角速度子弹穿出后棒的角速度 。l所以所以 32动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例8 质量分别为质量分别为 M1、M2 , 半径分别为半径分别为R1 、R2的的两均匀圆柱两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动,二轴二轴平行。原来它们沿同一转向分别以平行。原来它们沿同一转向分别以10 ,20 的角的角速度匀速转动速度匀速转动, 然后平移二轴使它们的边缘相接然后平移二轴使它们的边缘相接触触,如图所示。如图所示。 求求: 最后在接触处无相对滑动时最后在接触处无相对滑动时, 每个圆柱的角速度每个圆
21、柱的角速度 1 和和 2 。 R1M1R2M2R1M1R2M233动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二圆柱系统动量矩守恒：二圆柱系统动量矩守恒： 对上述问题有以下的解对上述问题有以下的解法法: 在接触处无相对滑动在接触处无相对滑动时时, 二圆柱边缘的线速度二圆柱边缘的线速度一样一样, 故有：故有：由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1， 2 。其中其中 这种解法对吗这种解法对吗? ? R1M1R2M234动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动
22、量矩 原解认为系统的总动量矩为二圆柱各自对自原解认为系统的总动量矩为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的己的轴的角动量之和是错误的, 因为系统的总因为系统的总动量矩只能对同一个轴进行计算。当两柱体边动量矩只能对同一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时缘没有相对滑动时1，2方向相反方向相反, 所以应为所以应为(1) 应对两圆柱分别使用动量矩应对两圆柱分别使用动量矩定理定理, 由于两柱由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反接触时摩擦力大小相等、方向相反, 力矩和冲力矩和冲量矩的大小正比于半径量矩的大小正比于半径,方向相同方向相同:35动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三
23、次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(2)解解(1)(2)式式, 得得:36动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例9 如图所示如图所示, 一质量为一质量为 m 的子弹以水平的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的速度射入一静止悬于顶端长棒的 a 处处, 使使棒偏转棒偏转 30o, 已知棒长为已知棒长为 l , 质量为质量为 M 。 解解: 将子弹和棒看作一个系将子弹和棒看作一个系统统, 在极短时间内系统动量在极短时间内系统动量矩守恒。矩守恒。求求: 子弹的初速度子弹的初速度 v0 。 v0mM
24、la37动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 子弹射入棒后子弹射入棒后,以子弹、棒、地球为一以子弹、棒、地球为一系统系统, 机械能守恒。机械能守恒。初速度初速度v0mMla38动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例10 长为长为 l、质量为、质量为M的均质杆的均质杆, 一端悬挂，杆一端悬挂，杆可绕悬挂轴在铅直平面内自由转动。杆开始处可绕悬挂轴在铅直平面内自由转动。杆开始处于静止状态，在杆的中心作用一冲量于静止状态，在杆的中心作用一冲量 I
25、 ，其方，其方向垂直于杆，如图。求冲量结束时，杆获得的向垂直于杆，如图。求冲量结束时，杆获得的角速度（假设冲量作用时间很短，作用过程中角速度（假设冲量作用时间很短，作用过程中杆不动）杆不动）解解 由动量矩定理由动量矩定理39动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩40动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例11 质量为质量为M、半径为、半径为R的转盘，可绕铅直轴的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一质量无摩擦地转动。转盘的初角速
26、度为零。一质量为为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆的圆周相对转盘匀速走动，如图所示。求当人在转周相对转盘匀速走动，如图所示。求当人在转盘上奏一周回到盘上的原位置时，转盘相对于盘上奏一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。地面转过了多少角度。解解 以人和转盘组成的系统为以人和转盘组成的系统为研究对象研究对象, 人相对转盘的速度人相对转盘的速度为为vr，转盘相对于固定转盘的，转盘相对于固定转盘的角速度为角速度为, 则人相对转盘的则人相对转盘的速度为速度为 vr + r 。41动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5
27、章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩系统对轴的动量矩守恒，即系统对轴的动量矩守恒，即 设在时间设在时间 内，盘相对于地面转过的角内，盘相对于地面转过的角度为度为 ，则，则42动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩其中其中 为人相对转盘转过的角度为人相对转盘转过的角度 所以，盘相对于地面转过的角度为所以，盘相对于地面转过的角度为43动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例12 长为长为 l、质量为、质量为M的均质杆的均质杆, 一端悬挂一
28、端悬挂, 可可绕通过绕通过O 点垂直于纸面的轴转动。今杆自水平点垂直于纸面的轴转动。今杆自水平位置无初速度地下落，在铅垂位置与质量为位置无初速度地下落，在铅垂位置与质量为m,的物体的物体A做完全非弹性碰撞做完全非弹性碰撞, 如图所示如图所示, 碰撞后碰撞后物体物体A沿摩擦系数为沿摩擦系数为的水平面滑动。的水平面滑动。 求物体求物体A沿水平面滑动的距离。沿水平面滑动的距离。解解 第一阶段取杆为研究对象，设第一阶段取杆为研究对象，设 为这一阶段末的角速度，由动能定理为这一阶段末的角速度，由动能定理44动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 第二阶段取杆和物体第二阶段取杆和物体A为研究对象，设碰为研究对象，设碰撞结束时杆的角速度为撞结束时杆的角速度为 ，由动量矩守恒，由动量矩守恒解得解得 45动量矩和动量矩守恒定律大学物理大学物理 第三次修订本第三次修订本第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 第三阶段取物体第三阶段取物体A为研究对象，设物体为研究对象，设物体 A滑过的距离为滑过的距离为S ，根据质点动能定理，有，根据质点动能定理，有46动量矩和动量矩守恒定律
