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1、微积分（一）微积分（一） calculus4.1 微分中值定理微分中值定理4.2 洛必达法则洛必达法则4.3 用导数研究函数的单调性、极值、和最值用导数研究函数的单调性、极值、和最值4.4 函数曲线的凹向及拐点函数曲线的凹向及拐点4.5曲线的渐近线与函数作图曲线的渐近线与函数作图4.6导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用第四章第四章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月1微积分（一）微积分（一） calculus4.1 微分中值定理微分中值定理一、引言一、引言二、微分中值定理二、微分中值定理 1、罗尔、罗尔(
2、Rolle)定理定理 2、拉格朗日、拉格朗日(Lagrange)定理定理 3、柯西、柯西(Cauchy)定理定理三三 、小结、小结2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月2微积分（一）微积分（一） calculus一、引言一、引言(Introduction) 导数刻划函数在一点处的变化率，它反映导数刻划函数在一点处的变化率，它反映函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的整体变化性态。整体变化性态。 中值定理揭示了函数在某区间上的整体性中值
3、定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内某一点导数之间的关系。质与该区间内某一点导数之间的关系。 中值定理既是利用微分学解决应用问题的中值定理既是利用微分学解决应用问题的模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月3微积分（一）微积分（一） calculus二、微分中值定理二、微分中值定理The Mean Value Theorem 在在微微分分中中值值定定理理的的三三个个定定理理中中，拉拉格格朗朗日日(Lagrange)中中值值定定理理是是核核心心定定理理，罗罗尔尔中中值值定
4、定理理是是它它的的特特例例，柯柯西西中中值值定定理理是它的推广。是它的推广。 下面我们逐一介绍微分中值定理。下面我们逐一介绍微分中值定理。2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月4微积分（一）微积分（一） calculus1、罗尔、罗尔 ( Rolle ) 定理定理(R-Th)1) 在闭区间在闭区间 上连续上连续; 2) 在开区间在开区间 内可导内可导;有一点有一点则在则在内至少内至少 使使若函数若函数满足：满足：3)aboyABx2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月5微积分（一）微积分（一） calculus几何
5、意义几何意义: 在在两两端端点点高高度度相相同同的的连连续续光光滑滑的的曲曲线线弧弧上上,若若除除端端点点外外处处处处有有不不垂垂直直于于x轴轴的的切切线线,则则此此曲曲线线弧弧上上至至少少有有一一点点处处的的切切线线是是水水平平的的.或或者者说说切切线线与端点的连线与端点的连线AB平行平行.aboyABx2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月6微积分（一）微积分（一） calculus证明证明xaboyAB1) 若若即即恒为常数恒为常数,可取可取(a, b)内任一点作为内任一点作为2) 若若由由知知,M , m 至少有一个要在至少有一个要在内取得内取得
6、.不妨设不妨设 M 在在内点内点处取得处取得,即即所以所以,证毕证毕.2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月7微积分（一）微积分（一） calculus注意：注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条罗尔定理的条件组是结论成立的充分条件，任一条都不是必要条件。件，任一条都不是必要条件。 若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定理的结论。理的结论。2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月8微积分（一）微积分（一） calculusxyo1 11再如再如,在右端点不连续在右端点不连续,但但2
7、021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月9微积分（一）微积分（一） calculus然而然而,w注注意意：零零值值定定理理求求函函数数的的零零点点(函函数数方方程程的的实实根根)，罗尔定理求导数的零点罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根导数方程的实根)。w题题型型1：验验证证定定理理的的正正确确性性。定定理理结结论论中中的的 客客观观存存在在，且且可可能能不不唯唯一一，但但未未给给出出其其具具体体位位置置。令令导导数数为零，求解方程的根，可确定其具体位置。为零，求解方程的根，可确定其具体位置。w题型题型2：找区间：找区间(比较复杂比较复杂)；w题型题型3：找
8、函数：找函数(由结论入手，求解微分方程由结论入手，求解微分方程)在在x=0处不可导处不可导,也不存在结也不存在结论中的点论中的点2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月10微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月11微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月12微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月13微积分（一）微积分
9、（一） calculus注：注：本例中，应用定理的本例中，应用定理的关键关键是主动是主动找区间找区间。2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月14微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月15微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月16微积分（一）微积分（一） calculus例例4 设设f(x)可导，且可导，且f(a)=f(b)=0，试证在，试证在(a,b)内内至少存在一点至少存在一点 ，使，使f(
10、 )+f ( )=0证明：证明：构造函数构造函数 F(x)=f(x)ex则则 F(a)=f(a)ea=0 F(b)=f(b)eb=0由于由于F(x)在在a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导内可导且且 F (x)=f (x)ex+f(x)ex所以，在所以，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，有，有F ( )=0即即 e f ( )+e f( )=0 f( )+f ( )=02021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月17微积分（一）微积分（一） calculus例例5 已知已知f(x)在区间在区间(a,b)内存在二阶导数，内存在二阶导数
11、，ax1x2x3b，且，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，试证明，试证明在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使f ( )=0证明：证明：f(x)在区间在区间(a,b)内二阶可导内二阶可导f(x)在区间在区间x1,x2，x2,x3内连续可导内连续可导 f(x1)=f(x2)=f(x3)由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在 1(x1,x2) ， 2(x2,x3)使得使得f ( 1)=0，f ( 2)=0再由罗尔定理得，再由罗尔定理得，2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月18微积分（一）微积分（一） calculus解解答答2021/6/162
12、021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月19微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月20微积分（一）微积分（一） calculus解解答答2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月21微积分（一）微积分（一） calculus解解答答2）唯一性）唯一性由零点定理由零点定理即为方程的正实根即为方程的正实根.矛盾矛盾,1）存在性）存在性注意：注意：在后面，本题还将用其他方法加以证明。在后面，本题还将用其他方法加以证明。2021/6/162021/6/16年年9 9月
13、年月年9 9月月年年9 9月月22微积分（一）微积分（一） calculus2、拉格朗日、拉格朗日 (Lagrange) 定理定理(L-Th)或或1) 在闭区间在闭区间上连续上连续; 2) 在开区间在开区间内可导内可导;至少有一点至少有一点若函数若函数满足：满足：aboyABxC则在则在内内定理定理2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月23微积分（一）微积分（一） calculus几何意义：几何意义： 在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一轴的切线，则在曲线弧上至
14、少存在一点点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行，在该点处的切线与连接两端点的弦平行.aboyABxC2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月24微积分（一）微积分（一） calculus分析分析要证要证即证即证即证即证令令只须证只须证只须证只须证在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月25微积分（一）微积分（一） calculus证明证明易见易见在在上连续，上连续， 在在内可导，内可导， 且且即即根据根据罗尔定理罗尔定理知，知，使使即即即即构造辅助函数构造辅助函数2021/
15、6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月26微积分（一）微积分（一） calculus2) 定理结论肯定中间值定理结论肯定中间值 的客观存在的客观存在,但但未指明确切位置未指明确切位置,可通过求解导数方程确可通过求解导数方程确定。定。(题型题型1：验证定理的正确性：验证定理的正确性)1) 定理的条件组是充分条件定理的条件组是充分条件。.注意注意3)题型题型2：找区间；：找区间；4)题型题型3：找函数；：找函数；5)题型题型4：证明等式；：证明等式；6)题型题型5：证明不等式：证明不等式。2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月2
16、7微积分（一）微积分（一） calculus1) (1)或或(2)式对于式对于时也成立时也成立.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.2) 若令若令则则,于是拉格朗日公式可写成于是拉格朗日公式可写成:(3)3) 若令若令则得有限增量公式则得有限增量公式:(4)说明说明（2）注注 式中的式中的可能不止一个可能不止一个, 这并不影响它在理论上的应用这并不影响它在理论上的应用2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月28微积分（一）微积分（一） calculus 4） 是函数增量是函数增量 的近似表达式的近似表达式 是函数增量是函数增量 的精确表达式的精确表达式202
17、1/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月29微积分（一）微积分（一） calculus证明证明 不妨设不妨设在在上应用中值定理上应用中值定理,使使所以所以, 由由的任意性知的任意性知, 对对2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月30微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月31微积分（一）微积分（一） calculus例例8 已知函数已知函数f(x)在在(,+ )内满足关系内满足关系式式f (x)=f(x)，且，且f(0)=1,证明：证明：f(x
18、)=ex 。证明：证明：构造函数构造函数2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月32微积分（一）微积分（一） calculus证明证明由推论由推论1知知即即2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月33微积分（一）微积分（一） calculus解解在闭区间在闭区间0，1上连续上连续,在开区间在开区间(0,1)内可导内可导,满足拉格朗日中值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件, 即即即的确在即的确在 (0,1) 内找到内找到使定理成立使定理成立.应用定理知应用定理知例例9 验证拉格朗日中值定理对函数验证拉格朗日中值定理对函
19、数在区间在区间 0,1 上的正确性上的正确性,并求并求2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月34微积分（一）微积分（一） calculus解解答答2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月35微积分（一）微积分（一） calculus时时,例例10 证明证明: 当当证证 设设对对在在上应用上应用拉氏中值定理拉氏中值定理, 使使即即因因 所以所以即即2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月36微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年
20、月年9 9月月年年9 9月月37微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月38微积分（一）微积分（一） calculus证证明明2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月39微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月40微积分（一）微积分（一） calculus证证明明2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月41微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/
21、162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月42微积分（一）微积分（一） calculus若函数若函数满足满足:则在则在 内至少存在一点内至少存在一点使得使得1) 在闭区间在闭区间上连续上连续; 2) 在开区间在开区间内可导内可导;且且3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(C-Th)定理定理2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月43微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月44微积分（一）微积分（一） calculus2021/6/162021/6
22、/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月45微积分（一）微积分（一） calculusZ 思考思考2、证明、证明2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月46微积分（一）微积分（一） calculus解答解答2o 对对f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即2、证明证明 1o 由所要证明的不等式选定一函数由所要证明的不等式选定一函数f(x) 及定义区间及定义区间: 令令 f(x)=lnx , xb, a.1、 B .点c不能为任意，因为函数和区间确定时，L-TH结论中的c的位置是客观确定的。2021/6/162021/6/16年年
23、9 9月年月年9 9月月年年9 9月月47微积分（一）微积分（一） calculus例例17：设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，证内可导，证明：在明：在(a,b)内存在一点内存在一点，,使得使得f (x)，g(x)在在a,b上满足柯西中值定理，在上满足柯西中值定理，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月48微积分（一）微积分（一） calculus左边分母有理化左边分母有理化又因为又因为f(x)在在a,b上满足拉格朗日中值定理，所以上满足拉格朗日中值定理，所以在在(a,b)内至
24、少存在一点内至少存在一点，使得，使得2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月49微积分（一）微积分（一） calculus小小 结：结：v罗尔定理罗尔定理 如果函数如果函数y f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 在开区间在开区间(a b)内可导内可导 且有且有f(a) f(b) 那么至少存在一点那么至少存在一点 (a b) 使得使得f ( ) 0 如如果果函函数数f(x)在在闭闭区区间间a b上上连连续续 在在开开区区间间(a b)内可导内可导 那么在那么在(a b)内至少有一点内至少有一点 使得使得f(b) f(a) f ( )(b a) v拉格
25、朗日中值定理拉格朗日中值定理1.三个中值定理三个中值定理2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月50微积分（一）微积分（一） calculusv柯西中值定理柯西中值定理 函数函数f(x)及及F(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 在开区在开区间间(a b)内可导内可导 且且F (x)在在(a b)内恒不为零内恒不为零 那那么在么在(a b)内至少有一点内至少有一点 使得使得2.利用三个中值定理证明一些命题利用三个中值定理证明一些命题2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月51微积分（一）微积分（一） calculusP164练习练习4.1 T6(3);P199 T5P196202 习题习题四四 相关练习自选完成相关练习自选完成作业作业先看书先看书再做练习再做练习2021/6/162021/6/16年年9 9月年月年9 9月月年年9 9月月52微积分（一）微积分（一） calculus 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
