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1、习题课习题课线面积分的计算线面积分的计算一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法基本方法曲线积分曲线积分第一类第一类 ( 对弧长对弧长 )第二类第二类 ( 对坐标对坐标 )(1) 统一积分变量统一积分变量转化转化定积分定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类: 下小上大下小上大第二类第二类: 下始上终下始上终 (1)计算计算其中其中L为圆周为圆周提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,原式原式 =说明说明: 若用参数方程计算若用参数方程计算, 则则其中其中L为摆线为摆线上对应上对应 t 从从 0 到
2、到 2 的一段弧的一段弧.提示提示:(2)其中其中 由平面由平面 y= z截球面截球面提示提示: : 因在因在 上有上有故故原式原式 = = 从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向. .(3)(3)(1) (1) 利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算 ; ;(2) (2) 利用积分与路径无关的等价条件利用积分与路径无关的等价条件; ;(3) (3) 利用格林公式利用格林公式 ( (注意加辅助线的技巧注意加辅助线的技巧) ; ) ; (4) (4) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式 ; ;(5) (5) 利用两类曲线积分的联系公式利用两类曲线积分的联系公式 . .
3、2. 2. 基本技巧基本技巧例例1 1 已知已知 L L的长度为的长度为a，求，求解：解： 即即3x2+4y2=12，所以，所以又又L关于关于x轴对称，而轴对称，而sin(xy)关于关于y为奇函数，所以为奇函数，所以 于是于是 I = 12a。 又如又如 逆时针方向，则逆时针方向，则 例例2. 2. 计算计算其中其中 为曲线为曲线解解: : 利用轮换对称性利用轮换对称性 , , 有有利用重心公式知利用重心公式知( ( 的的重心在原点重心在原点) )例例3. 3. 计算计算其中其中L 是沿逆是沿逆时针方向以原点为中心时针方向以原点为中心, ,解法解法1 1 令令则则这说明积分与路径无关这说明积分
4、与路径无关, , 故故a 为半径的上半圆周为半径的上半圆周. .解法解法2 2 它与它与L所围区域为所围区域为D, ,( (利用格林公式利用格林公式) )思考思考: :(2) (2) 若若 L 同例同例3 , 3 , 如何计算下述积分如何计算下述积分: :(1) (1) 若若L 改为顺时针方向改为顺时针方向, ,如何计算下述积分如何计算下述积分: :则则添加辅助线段添加辅助线段思考题解答思考题解答: :(1)(1)(2)(2)解：解：L：即：即 。 所以所以例例4 4 计算计算顺时针方向顺时针方向 L： 注：注： 应充分利用应充分利用L的方程简化被积函数。的方程简化被积函数。 例例5 5 设设
5、L是是分分段段光光滑滑的的简简单单闭闭曲曲线线，取取正正向向，点点（2 2，0 0）和（和（2 2，0 0）不在）不在L上。计算上。计算解：解：(x，y)()(2 2，0)0)或或(2(2，0)0) （2 2）当点）当点( (2 2，0)0)和和(2(2，0)0)一个在一个在D D内一个在内一个在D外时外时 不妨设不妨设(2(2，0)0)在在D D内而内而( (2 2，0)0)在在D D外。外。 （1 1）当点）当点( (2 2，0)0)和和(2(2，0)0)均在均在 L所围区域所围区域D D外时外时 -2-22 2O Ox xD DL L以以(2(2，0)0)为为圆圆心心，充充分分小小的的正
6、正数数为为半半径径作作圆圆L L1 1，取取正正向向，则有：则有：L L1 12 22 2x xL L（3 3）当点）当点( (2 2，0)0)和和(2(2，0)0)均在均在D D内时内时2 22 2x xL L1 1L LO OL L2 2例例10 10 设设Q(x，y)具有连续的一阶偏导数，曲线积分具有连续的一阶偏导数，曲线积分 与路径无关，且对任意的实数与路径无关，且对任意的实数t，恒有，恒有 ，求，求Q(x，y)。 解：由积分与路径无关知解：由积分与路径无关知 故故 其中其中 为待定函数。为待定函数。 取折线作为积分路径取折线作为积分路径先积先积x x(t(t，1) 1) (t(t，0
7、) 0) (0(0，0) 0) 左端左端由题设有由题设有 两端对两端对t t求导求导 所以所以 右端右端先积先积x x(1(1，t) t) (1(1，0) 0) (0(0，0) 0) 计算计算其中其中L L为上半圆周为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向沿逆时针方向. .(4).(4).设在右半平面设在右半平面 x 0 0 内内, , 力力构成力场构成力场, ,其中其中k 为常数为常数, , 证明在此力场中证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关. .提示提示: :令令易证易证F F 沿右半平面内任意有向路径沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为所作的功为(5)(
8、6)(6)求力求力沿有向闭曲线沿有向闭曲线 所作的所作的功功, ,其中其中 为平面为平面x + y + z = 1被三个坐标面所截成三被三个坐标面所截成三提示提示: : 方法方法1 1从从 z 轴正向看去沿顺时针方向轴正向看去沿顺时针方向. .利用对称性利用对称性角形的整个边界角形的整个边界, ,设三角形区域为设三角形区域为 , ,方向向上方向向上, , 则则方法方法2 2 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式7 7解解二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 1. 基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( ( 对面积对面积 ) )第二类第二类( ( 对坐标对坐标 ) )转化转化二重积分
9、二重积分(1) (1) 统一积分变量统一积分变量 代入曲面方代入曲面方程程(2) (2) 积分元素投影积分元素投影第一类第一类: : 始终非负始终非负第二类第二类: : 有向投影有向投影(3) (3) 确定二重积分域确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面思思 考考 题题1) 1) 二重积分是哪一类积分二重积分是哪一类积分? ? 答答: : 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例. .2) 2) 设曲面设曲面问下列等式是否成立问下列等式是否成立? ? 不对不对 ! ! 对坐标的积分与对坐标的积分与 的的侧侧有关有关 2. 2. 基本技巧基本技巧(1) (1)
10、利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算(2) (2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧( (辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面) )(3) (3) 两类曲面积分的转化两类曲面积分的转化练习练习: :其中其中 为半球面为半球面的上侧的上侧. .且取下侧且取下侧 , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面原式原式 = =记半球域为记半球域为 , ,高斯公式有高斯公式有(1)(1)计算计算为辅助面为辅助面, , 利用利用例例1.1.证明证明: : 设设( (常向量常向量) )则则单位外法向向量单位外法向
11、向量, , 试证试证设设 为简单闭曲面为简单闭曲面, , a 为为任意固定任意固定向量向量, ,n 为为 的的 例例2. 2. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中, ,解解: :思考思考: : 本题本题 改为椭球面改为椭球面时时, ,应如何应如何计算计算 ? ?提示提示: : 在椭球面内作辅助小球面在椭球面内作辅助小球面内侧内侧, , 然后用高斯公式然后用高斯公式 . .解：解：例例6.6.计算曲面积分计算曲面积分中中 是球面是球面解解: : 利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式例例7.7.设设L L 是平面是平面与柱面与柱面的交线的交线从从 z z 轴正向看去轴正向看去, , L L 为逆
12、时针方向为逆时针方向, , 计算计算 解解: : 记记 为平面为平面上上 L L 所围部分的上侧所围部分的上侧, , D D为为 在在 xoy 面上的投影面上的投影. .由由斯托克斯公式斯托克斯公式D D 的形心的形心证明：证明：取取z z轴正向铅直向下，轴正向铅直向下，xOy平面位于液平面位于液面上。液体中点面上。液体中点( (x，y，z) )处的压强处的压强p=z。 物体的表面记为物体的表面记为取外侧，在取外侧，在上任取一有向上任取一有向曲面元曲面元 dS=ndS dydz，dzdx，dxdy ， n为为上点上点( (x，y，z) )处的向外的单位法向量处的向外的单位法向量 例例8 8 利用高斯公式证明阿基米德利用高斯公式证明阿基米德定理。定理。 x xy yz zO O即浸没在液体中的物体所受液体的即浸没在液体中的物体所受液体的压力压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力。等于这物体所排开的液体的重力。这有向曲面元受到的液体的压力这有向曲面元受到的液体的压力 FzndS= =zdS = =-zdydz, ,dzdx x, ,dxdy = =dF=dFx，dFy，dFz F F = 0= 0，0 0，VV
