《高中数学 导数及其应用第一节变化率与导数人教版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 导数及其应用第一节变化率与导数人教版选修11（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一创设情景一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数函数，随着对函数的研究，产生了微积分微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数导数是微积分的核心核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数导数研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度对于另一个变量变化的快慢程度思考：当空气容量从V1增加到V
2、2时,气球的平均膨胀率是多少? hto 探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图的图像，结合图形可知，形可知， ，所以，所以，虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态动员的运动状态直线直线AB的斜率的斜率AB例题分析例题分析例题分析例题分析回顾总结回顾总结1平均变化率的概念平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率函数在某点处附近的平均变化率问题：瞬
3、时速度问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是: : S(t S(t)= gt)= gt2 2, , 12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？ 能否用求平均速度的方法求某一时刻能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？的瞬时速度？ （我们可以取（我们可以取t=3t=3临近时间间隔内的临近时间间隔内的平均速度当作平均速度当作t=3t=3时刻的平均速度，时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）不过时间隔要很小很小） 问题：瞬时速度问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是: : S(t S(t)= gt)= gt2 2, , 1
4、2如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？ 解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t = = g(3+t)g(3+t)2 2g gV = V = t(6+ t)问题：瞬时速度问题：瞬时速度解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t = = g(3+t)g(3+t)2 2g gV = V = t(6+ t)当当t 0t 0时，时，v 3g =29.4v 3g =29.4（平均速度的极限为瞬时速度）（平均速度的极限为瞬时速度） 瞬时速度：瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度）（平均速度的极限为瞬时速度） 即：即：limlimt 0t 0S(
5、3S(3+ +t)t)S(3)S(3)t t= 29.4= 29.4 思考：在思考：在t t0 0时刻的瞬时速度呢？时刻的瞬时速度呢？limlimt 0t 0S(tS(t0 0+ +t)t)S(tS(t0 0) )t t瞬时变化率：瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数瞬时速度，那么如何求函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0点的瞬时变化率呢？点的瞬时变化率呢？可知可知: :函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0
6、 0) )x xlimlimx 0x 0f fx x=导数导数函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x xlimlimx 0x 0f fx x=我们称它为函数我们称它为函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数记作：记作：f f(x(x0 0)=)=limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x x小结：由定义知，求小结：由定义知，求f(xf(x) )在在x x0 0处的导数步骤为：处的导数步骤为：例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：小结：小结：平均速度瞬时速度；平均速度瞬时速度；平均变化率瞬时变化率；平均变化率瞬时变化率；导数导数f f(x(x0 0)=)=limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x x
